Trao đổi bài giảng lớp K55A1T

Giáo trình chính tôi dùng để dạy các bạn có thể lấy ở

https://datuan5pdes.wordpress.com/2007/05/03/giao-trinh-ly-thuy%E1%BA%BFt-ham-suy-r%E1%BB%99ng/

Phần bài tập tôi sẽ dùng

+bài tập tôi đã soạn

https://datuan5pdes.wordpress.com/2007/05/10/bai-t%E1%BA%ADp-mon-ly-thuy%E1%BA%BFt-ham-suy-r%E1%BB%99ng/

+ bài tập trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones, các bạn lấy theo đường link

https://app.box.com/s/brwrmtkp5kppvjip3edf

(chú ý file này đọc bằng phần mềm windjview).

Các bạn sinh viên có thể trao đổi với tôi bằng cách viết vào phần “Comments” ở cuối bài viết.

94 thoughts on “Trao đổi bài giảng lớp K55A1T

  1. datuan5pdes

    Ngày 16/09/2013, tôi bắt đầu chính thức đi vào nội dung bài giảng. Tôi trình bày sự tồn tại của phân hoạch đơn vị. Trong một số trường hợp ta có phân hoạch đơn vị khá đẹp.

    +) Trên đường thẳng thực với phủ mở gồm

    U_j=(j2\pi, (j+1)2\pi), j\in\mathbb Z,

    các bạn xem trong luận văn của Phạm Vân Hà

    https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2011/03/luanvanha3.pdf

    +) Trên đường thẳng thực, bỏ đi điểm gốc, với phủ mở gồm

    U_j=\{x|\; 2^{j-1}<|x|<2^{j+1}\}, j\in\mathbb Z,

    các bạn có thể xem trong bài

    "Estimates for translation invariant operators in L^p spaces", Acta Math., December 1960, Volume 104, Issue 1-2, pp 93-140

    https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2013/09/estimates-for-translation-invariant-operators-in-l-p-spaces.pdf

    của L. Hormander.

    Cả hai kiểu phân hoạch đơn vị trên đều được dùng trong

    http://calvino.polito.it/~nicola/research/Joint-paper.pdf

  2. datuan5pdes

    Một số bài tập về giá

    Cho f, g là các hàm liên tục xác định trên tập mở \Omega trong \mathbb R^n. Hãy chứng minh các khẳng định sau.

    i) supp(f_r)\subset rsupp(f),

    supp(T_h f)\subset h+supp(f),

    trong đó r>0, h\in \mathbb R^n, f_r(x)=f(\frac{x}{r}), T_h f(x)=f(x-h) và miền \Omega bất biến với phép vị tự (trường hợp r, f_r, chẳng hạn nón), hay bất biến với phép dịch chuyển (trường hợp h, T_h f, chẳng hạn không gian con chứa h).

    ii) supp(f+g) \subset supp(f)\cup supp(g),

    supp(fg)\subset supp(f)\cap supp(g).

    iii) Nếu f có đạo hàm riêng đến cấp k liên tục thì supp(D^\alpha f)\subset supp(f) với |\alpha|\le k.

    iv) Nếu f, g \in L^1(\Omega) thì supp(f*g)\subset supp(f)+ supp(g).

    v) Khi nào các bao hàm thức trên là dấu ‘=’. Các khẳng định trên còn đúng khi các thay giả thiết liên tục của các hàm f, g bằng giả thiết đo được với định nghĩa giá

    supp(f)=\{x\in\Omega|\; \forall r>0 \; m\{y\in B_r(x)\cap\Omega|\; f(y)\not=0\}>0\}.

    Một số bài về \epsilon- lân cận của một tập hợp như sau.

    Cho A, B là các tập con trong không gian. Hãy chứng minh các khẳng định sau.

    i) Tập A+\bar{B}_\epsilon(0) là tập đóng, còn A+B_\epsilon(0) lại là tập mở. Các tập này đều chứa tập A.

    ii) A+B_{\epsilon_1}(0)+B_{\epsilon_2}(0)=A+B_{\epsilon_1+\epsilon_2}(0).

    iii) Nếu A là tập compact nằm trong tập mở B thì sẽ có số dương r để A+B_r(0)\subset B.

  3. Thưa thầy cho em hỏi một số vấn đề như sau:
    Theo như bài giảng của thầy thì cách định nghĩa của các không gian D, E, S là:
    (a) Không gian D(\Omega).
    +Cho \Omega mở \mathbb{R}^n, ký hiệu C_0^{\infty}(\Omega) là kg tuyến tính các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong \Omega. Trong C_0^{\infty}(\Omega) ta đưa vào một khái niệm về sự hội tụ như sau:
    Ta nói rằng, dãy \{\varphi_m(x)\}_{m=1}^{\infty} trong C_0^{\infty}(\Omega) được gọi là hội tụ nếu:
    (i)Tồn tại tập K compact chứa trong \Omegasupp(\varphi_m)\subset K, m=1,2, \dots.
    (ii)Với mọi đa chỉ số \alpha ta có \lim_{m,l\to\infty} \sup_{K}|D^{\alpha}\varphi_m- D^{\alpha}\varphi_l|=0.
    Không gian tuyến tính C_0^{\infty}(\Omega) cùng với sự hội tụ được định nghĩa như trên được gọi là không gian D(\Omega).

    (b) Không gian Montel E(\mathbb{R}^n).
    Ký hiệu C^{\infty}(\mathbb{R}^n) là kg tuyến tính các hàm khả vi vô hạn trong \mathbb{R}^n. Trong C^{\infty}(\mathbb{R}^n) ta đưa vào một khái niệm về sự hội tụ như sau:
    Ta nói rằng, dãy \{\varphi_m(x)\}_{m=1}^{\infty} trong C^{\infty}(\mathbb{R}^n) được gọi là hội tụ nếu:
    Với mọi đa chỉ số \alpha ta có \lim_{m,l\to\infty} \sup_{K}|D^{\alpha}\varphi_m- D^{\alpha}\varphi_l|=0.
    Không gian tuyến tính C^{\infty}(\mathbb{R}^n) cùng với sự hội tụ được định nghĩa như trên được gọi là không gian Montel E(\mathbb{R}^n).

    (c) Không gian Schwartz S(\mathbb{R}^n).
    Ký hiệu S(\mathbb{R}^n) là tập tất cả các hàm \varphi(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n) thỏa mãn điều kiện sau:
    Với mọi đa chỉ số \alpha,\beta tồn tại hằng số C_{\alpha\beta}>0 sao cho:
    \sup_{\mathbb{R}^n} |x^{\beta} D^{\alpha} \varphi(x)|\leq C_{\alpha\beta}.
    Trong S(\mathbb{R}^n) ta đưa vào khái niệm về sự hội tụ sau:
    Ta nói rằng, dãy \{\varphi_m(x)\}_{m=1}^{\infty} trong S(\mathbb{R}^n) được gọi là hội tụ nếu:
    Với mọi đa chỉ số \alpha,\beta ta có \lim_{m,l\to\infty} \sup_{\mathbb{R}^n}|x^{\beta}(D^{\alpha}\varphi_m- D^{\alpha}\varphi_l)|=0.
    Tập S(\mathbb{R}^n) cùng với sự hội tụ được định nghĩa như trên gọi là không gian Schwartz S(\mathbb{R}^n).
    Nhưng em có đọc trong một số tài liệu tiếng anh thì người ta định nghĩa đơn giản như sau:
    + Không gian D(\Omega) là không gian tuyến tính tất cả các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong \Omega hoặc đơn giản hơn nữa là không gian bao gồm tất cả các hàm test.
    +Không gian E(\mathbb{R}^n) là không gian tuyến tính tất cả các hàm khả vi vô hạn trong \mathbb{R}^n.
    +Không gian S(\mathbb{R}^n) là không gian tuyến tính tất cả các hàm khả vi vộ hạn trong \mathbb{R}^n thỏa mãn điều kiện:
    Với mọi đa chỉ số \alpha,\beta tồn tại hằng số C_{\alpha\beta}>0 sao cho:
    \sup_{\mathbb{R}^n} |x^{\beta} D^{\alpha} \varphi(x)|\leq C_{\alpha\beta}.
    Còn các khái niệm về sự hội tụ trong D,E,S thì người ta tách riêng. Vậy nếu khi làm bài em định nghĩa ngắn gọn như thế này có bị trừ điểm không? Em xin cảm ơn!

    1. datuan5pdes

      Tôi không rõ câu hỏi cuối của em vì tôi không là người chấm! Có vài điểm lưu ý trong các định nghĩa em đưa ra.

      i)Trong một số định nghĩa em viết chung chung

      \sup_{\mathbb R^n}|x^\alpha(D^\alpha \varphi_k- D^\alpha\varphi_l)|.

      Các hàm trong biểu thức lấy giá trị tại đâu? Việc lấy sup theo biến nào?

      Trong giáo trình tôi dạy, tôi không dùng cách này để định nghĩa sự hội tụ mà tôi dùng cách này để định nghĩa dãy Cauchy. Nhờ vậy tôi mới phải chứng minh tính đầy đủ của các không gian này. Em xem lại giáo trình của tôi

      https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2007/05/hsr11.pdf

      ii) Cách định nghĩa không gian thứ hai, chưa cho khái niệm hội tụ ngay, mới chỉ xác định các không gian véc-tơ. Trên các không gian véc-tơ này có nhiều cách xây dựng khái niệm hội tụ nên cần gắn vào chúng một khái niệm hội tụ xác định để không bị hiểu nhầm.

  4. datuan5pdes

    Sáng nay 23/09/2013, tôi đã trình bày hộ bạn Nguyễn Đức Hưng phần không gian \mathcal D. Tôi hy vọng những lần tới không phải làm công việc như này.

    Trong không gian \mathcal D khi kiểm tra khái niệm hội tụ:

    + nếu bỏ điều kiện giá ta sẽ có khái niệm hội tụ hoàn toàn khác, yếu hơn hội tụ \mathcal D, chẳng hạn ví dụ

    \varphi_m(x)=\rho(x-m);

    + nếu điều kiện dãy các đạo hàm riêng hội tụ đều được thay bằng dãy hàm hội tụ đều ta cũng có khái niệm hội tụ khác, yếu hơn hội tụ trong \mathcal D, chẳng hạn ví dụ

    \varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(mx).

    Tóm lại ta cần kiểm tra đầy đủ hai điều kiện trong định nghĩa.

    Về tính chất tôi còn thiếu tính chất một dãy hội tụ trong \mathcal D thì dãy đạo hàm riêng của nó cũng sẽ hội tụ trong \mathcal D.

    Một chú ý nữa: khi chứng minh một kết quả ta cần xác định:

    + ta cần chứng minh điều gì?

    + ta có điều gì?

    Các bạn trình bày không gian \mathcal D' lưu ý về chuyện bạn Nguyễn Đức Hưng và sớm gặp tôi trong tuần này vào thứ Hai và thứ Sáu.

  5. datuan5pdes

    Một số bài tập liên quan đến không gian \mathcal D.

    Kiểm tra lại các ví dụ tôi đã đưa trên lớp. Cụ thể gồm các ví dụ sau.

    VD1: Dãy hàm \varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(x), x\in\mathbb R hội tụ đến 0 trong \mathcal D.

    VD2: Dãy hàm \varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(mx), x\in\mathbb R thỏa mãn điều kiện (1) nhưng không thỏa mãn điều kiện (2) trong phần định nghĩa khái niệm hội tụ trong \mathcal D.

    VD3: Dãy hàm \varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(x-m), x\in\mathbb R thỏa mãn điều kiện (2) nhưng không thỏa mãn điều kiện (1) trong phần định nghĩa khái niệm hội tụ trong \mathcal D.

    Bạn Nguyễn Đức Hưng có đưa tôi một ví dụ khác khá giống ví dụ 3 như sau

    Xét dãy hàm

    g_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k}\rho(x-k).

    Chứng tỏ rằng dãy hàm g_m thỏa mãn điều kiện (2) nhưng không thỏa mãn điều kiện (1) trong phần định nghĩa khái niệm hội tụ trong \mathcal D.

    Ngoài các phép toán: phép toán tuyến tính, phép nhân với hàm khả vi vô hạn, phép lấy đạo hàm riêng là các phép toán liên tục dãy trên không gian \mathcal D, nghĩa là chúng biến dãy hội tụ thành dãy hội tụ, các biến đổi sau đây cũng có tính chất như vậy.

    + Phép dịch chuyển: T_h: \mathcal D(\mathbb R)\to \mathcal D(\mathbb R), T_h\varphi(x)=\varphi(x-h) trong đó h là số thực cho trước, là ánh xạ tuyến tính liên tục dãy.

    Từ đó ta có: quá trình lấy đạo hàm là một quá trình liên tục trong \mathcal D(\mathbb R). Cụ thể

    \dfrac{1}{h}(T_h\varphi(x)-\varphi(x)) hội tụ đến \varphi^{,}(x) trong \mathcal D khi h\to 0,

    với mỗi hàm \varphi\in\mathcal D(\mathbb R) cho trước.
    + Phép co giãn: D_r: \mathcal D(\mathbb R)\to \mathcal D(\mathbb R), D_r\varphi(x)=\varphi(\frac{x}{r}) trong đó r là số thực dương cho trước, là ánh xạ tuyến tính liên tục dãy.

    Bài tập: Kiểm tra lại các khẳng định trên.

  6. datuan5pdes

    Tôi quên chưa hỏi lớp trưởng về danh sách lớp và danh sách các nhóm bài tập. Lưu ý bài tập lần 1 này sẽ nộp vào khoảng giữa tháng 10/2013. Lớp trưởng lớp K55A1T sớm đưa tôi các danh sách này.

  7. hà đức thái

    em thưa thầy các định nghĩa “good funtion” vaf “fairy good function” ở trong quyển The_Theory_of_Generalised_Function của D.S.Jone s khi dịch sang tiếng việt thì nó là gì ạ. Và tại sao trong định nghĩa của hàm “good function” lại cần dấu giá trị tuyệt đối ở phần hàm ạ.(vì trong R thì hàm trị tuyệt đối f tiến đến 0 và f tiến đến 0 khi x tới một giá trị nào đó kể cả vô cùng là tương đương nhau nếu f liên tục)

    1. datuan5pdes

      “Good function” là hàm giảm nhanh, vì nó giảm nhanh hơn mọi đa thức khi |x|\to\infty.

      “Fairly good function” là hàm tăng chậm, vì nó tăng chậm hơn một đa thức nào đó khi |x|\to\infty.

      Đúng là có dấu trị tuyệt đối hay không là như nhau.

      Một điểm cần chú ý: trong cuốn của D. S. Jones không nói đến các không gian \mathcal D, \mathcal E.

      1. datuan5pdes

        Chẳng hạn

        \lim\limits_{|x|\to\infty}f(x)=0

        nếu với mỗi \epsilon>0 đều tìm được R=R(\epsilon)>0

        sao cho

        |f(x)|\le\epsilon khi |x|>R.

        Có thể hình dung một cách hình học: đồ thị của hàm tiến về 0 ở cả hai đầu đường thẳng thực một cách “đều”.

  8. hà đức thái

    tức là nếu lim khi trị tuyệt đối của x tiến đến dương vô cùng của f bằng 0 thì lim khi x tiến đến âm và dương vô cùng của f cũng phải bằng 0 đúng không ạ. Chiều ngược lại tức là nếu lim x tiến đến âm và x tiến đến dương vô cùng của f bằng 0 thì lim tri tuyệt đối của x tiến đến vô cùng của f bằng 0 có đúng không ạ.

    1. datuan5pdes

      Định nghĩa và một số tính chất của không gian K_p em có thể xem ở trang 58 trong sách của D. S. Jones. Tôi nói qua định nghĩa:

      f\in K_p, 1\le p<+\infty nếu

      f là hàm đo được trên đường thẳng thực và thỏa mãn

      có một số tự nhiên N để

      \int\limits_{\mathbb R} \dfrac{|f(x)|^p}{(1+x^2)^N}dx<\infty.

      Ví dụ 22 trang 32 trong giáo trình của tôi ứng với trường hợp p=1.

      1. datuan5pdes

        Muốn gõ được công thức em đọc bên phải trang web có hướng dẫn cách gõ. Trưa nay tôi đã sửa lại công thức em gõ.

        Bài 8, ý (iii), tính toán một chút ta sẽ thấy

        sgn(x)e^{-x^2}=sgn(xe^{-x^2}).

        Tuy nhiên để đúng ý bài muốn hỏi, ta nên hiểu:

        \int\limits_{-\infty}^\infty sgn\; xe^{-x^2}dx=\langle sgn\; x, e^{-x^2}\rangle.

        Nói cách khác: tính giá trị của hàm suy rộng sgn(x) tại e^{-x^2}.

  9. hà đức thái

    Em thưa thầy trong tờ bài tập phát cho các nhóm thì thầy bảo tất cả các nhóm đều làm bài tập chương 1. Thì các bài tập chương 1 đấy nằm trong sách nào ạ và mỗi nhóm phải làm hết tất cả các bài trong đấy hay chỉ cần làm bao nhiêu bài thôi ạ

  10. datuan5pdes

    Hôm nay 30/09/2013, bạn Hà Đức Thái trình bày về không gian các hàm suy rộng. Vì thời gian hạn chế nên tôi yêu cầu bạn không trình bày phần các phép toán tuyến tính và phép nhân với một hàm khả vi vô hạn. Phần này các bạn xem trong giáo trình, có gì thắc mắc hoặc hỏi tôi hoặc trao đổi với bạn Thái. Tiếp theo bạn Thái trình bày đạo hàm suy rộng. Phần nguyên hàm suy rộng bạn Thái sẽ trình bày trong tuần tới. Như vậy trong tuần tới, ngày 07/10/2013:

    – bạn Thái trình bày phần nguyên hàm suy rộng,

    – bạn Lê Đức Nhiên trình bày phần cấp, sự hội tụ và địa phương hoá.

    Như hôm nay tôi hỏi bạn Nguyễn Viết Đại về phần không gian \mathcal E. Bạn chưa chuẩn bị gì. Tránh tình trạng này, bạn Võ Thị Hạnh nên sớm đọc về phần không gian \mathcal E' để tuần sau có thể trao đổi với tôi được. Cũng như vậy với các bạn trình bày tiếp theo. Rất mong các bạn chuẩn bị sớm.

    Phần bài tập các bạn sẽ nộp vào 21/10/2013. Các bạn sẽ lên chữa bài tập để chuẩn bị cho kiểm tra giữa kỳ vào đầu tháng 11/2013.

  11. datuan5pdes

    Tôi xem qua danh sách lớp và danh sách nhóm thấy một số vấn đề.

    – Bạn Nguyễn Đức Hưng nhận trình bày không gian \mathcal D không có trong danh sách lớp.

    – Bạn Trần Thị Soa làm bài tập cùng nhóm 6 không có trong danh sách lớp.

    – Bạn Cao Văn Ninh có trong danh sách lớp nhưng không tham gia nhóm bài tập nào?

    Chú ý nếu bạn Ninh không tham gia nhóm bài tập nào thì điểm thường xuyên sẽ là 0 điểm.

    Lớp trưởng lớp K55A1T xem lại các trường hợp trên giúp tôi.

    1. datuan5pdes

      Bài 6 có hai ý:

      – kiểm tra sự hội tụ trong \mathcal D', theo ngôn ngữ \delta-\epsilon, chẳng hạn câu 6(i),

      lấy \varphi\in\mathcal D' cố định,

      lấy \delta>0 bất kỳ, cần tìm \epsilon_0>0 để

      \forall \epsilon\in (0, \epsilon_0)|\langle \dfrac{1}{\sqrt{\pi\epsilon}}e^{-\frac{x^2}{\epsilon}}, \varphi\rangle -\varphi(0)|<\delta.

      – kiểm tra hội tụ trong S'.

  12. datuan5pdes

    Trong phần trình bày của bạn Hà Đức Thái hôm 30/09/2013 có một điểm khá thú vị khi nói về biến của “hàm”. Bạn có nói: với hàm đo được việc thay đổi giá trị của hàm tại một điểm hay trên một tập có độ đo không (biến của hàm hiểu theo nghĩa thông thường, là phần tử trong không gian hữu hạn chiều) không thay đổi tính chất của hàm ban đầu, tuy nhiên khi coi nó là hàm suy rộng thì việc thay đổi giá trị của nó tại một điểm (hay là một hàm trong không gian các hàm cơ bản) thì việc thay đổi sẽ làm tính chất của hàm thay đổi. Sự thú vị ở đây: thông thường khi thấy hai sự việc khác nhau ở một điểm nào đó ta kết luận nó khác nhau. Vậy với hàm đo được ta nên hiểu biến của nó là gì để có sự thông thường này?

    Một ý nữa, hàm Heaviside không có đạo hàm thông thường tại gốc, tuy nhiên nó có đạo hàm suy rộng. Nhớ rằng đạo hàm suy rộng lại là hàm suy rộng và biến của nó là hàm cơ bản nên quay trở lại khúc mắc về đạo hàm tại gốc cần hiểu là gì? Ta nhớ lại rằng việc tính đạo hàm tại một điểm nhằm xem sự biến thiên của hàm xung quanh điểm đó. Đạo hàm suy rộng lúc này giúp ta nhìn lại việc đó bằng cách quan sát tác động của đạo hàm suy rộng vào các hàm cơ bản mà giá trị của nó tập trung ở gần điểm gốc (nghĩa là nó chỉ khác 0 ở gần gốc).

  13. hà đức thái

    thưa thầy cho em hỏi là trong định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ \delta-\epsilon thì số \epsilon_{0} chỉ phụ thuộc vào \delta hay phụ thuộc vào cả \delta và $\latex \varphi_{0}$. Tức là số $\latex \epxilon_{0}$ chung cho mọi $\latex varphi$ hay mỗi $\latex varphi$ có một số khác nhau ạ.

    1. datuan5pdes

      \epsilon_0 phụ thuộc cả \delta\varphi, nói chung sẽ không giống nhau với mỗi hàm \varphi. Có thể thấy ngay điều này nhờ tính thuần nhất của hàm suy rộng.

      Khi gõ công thức chữ latex không có dấu \ phía trước và epsilon chứ không phải epxilon.

  14. datuan5pdes

    Hôm nay, 07/10/2013, bạn Hà Đức Thái trình bày nốt phần nguyên hàm suy rộng. Việc tìm nguyên hàm suy rộng nói chung là việc khó hơn tính đạo hàm suy rộng. Trong một vài trường hợp, cụ thể khi kiểm tra, ta có thể mò nguyên hàm suy rộng được.

    Sau đó bạn Lê Đức Nhiên trình bày phần cấp của hàm suy rộng. Tuần tới bạn Nhiên sẽ trình bày sự hội tụ trong \mathcal D' và địa phương hóa. Như vậy tuần sau:

    – bạn Nhiên trình bày phần còn lại của mình,

    – bạn Nguyễn Viết Đại trình bày không gian \mathcal E.

    Chú ý phần tính cấp của hàm suy rộng là một trong những phần khó. Nếu cấp bằng 0 công việc khá dễ. Tuy nhiên cấp bằng 1 bắt đầu khó vì ta phải làm hai việc:

    – chứng minh hàm suy rộng không có cấp 0,

    – chứng minh nó có cấp không lớn hơn 1.

    Phần khó nằm ở việc chứng minh nó không có cấp 0 vì ở đây ta phải mò mẫm tìm hàm!

    Bạn Nhiên có phát biểu điều kiện cần và đủ để một phiếm hàm tuyến tính trở thành một hàm suy rộng trên \Omega

    nó có cấp hữu hạn trên bất kỳ tập con compact K của \Omega.

    Cần chú ý trong Định lý này hai điểm sau.

    – Nếu bỏ chữ compact Định lý nói chung là sai vì có những hàm suy rộng có cấp vô hạn trên \Omega.

    – Với mỗi tập con compact K khác nhau thì cấp của hàm suy rộng trên đó nói chung khác nhau.

    Lưu ý bạn Hoàng Cao Khải, trình bày không gian S, nên đọc trước để tuần sau có thể gặp tôi.

  15. datuan5pdes

    Một cách sinh ra hàm suy rộng Dirac khi hỏi tích phân phụ thuộc tham số sau

    \int\limits_{\mathbb R}e^{-ix\xi}dx là gì?

    Một điểm chú ý khác: nếu một hàm có đạo hàm hoặc thông thường hoặc suy rộng bằng 0 thì nó là hằng số.

    Vậy hàm Cantor, hàm đơn điệu, khác hằng số, có đạo hàm thông thường bằng 0 h.k.n thì đạo hàm suy rộng của nó là gì?

      1. datuan5pdes

        Hàm phần nguyên là hàm đơn điệu, có đạo hàm bằng 0 h.k.n nhưng nó không liên tục mà gián đoạn loại I. Tại những điểm gián đoạn khi lấy đạo hàm sẽ sinh ra hàm Dirac.

        Với hàm Cantor là hàm liên tục, đạo hàm suy rộng của nó sẽ như nào? Chẳng hạn hàm |x| khi lấy đạo hàm suy rộng không xuất hiện hàm Dirac!

  16. datuan5pdes

    Câu hỏi tương tự: đạo hàm suy rộng của các hàm liên tục không khả vi mọi nơi (nowhere differential functions) là hàm suy rộng gì?

    Các bạn có thể tìm hiểu các hàm liên tục không khả vi mọi nơi trong luận văn

    http://epubl.luth.se/1402-1617/2003/320/LTU-EX-03320-SE.pdf

    Cũng có bài báo tính đạo hàm cấp không nguyên của hàm Weierstrass, một trong các hàm liên tục không khả vi mọi nơi.

    http://arxiv.org/pdf/chao-dyn/9609016v2.pdf

  17. datuan5pdes

    Hôm nay 14/10/2013, bạn Nguyễn Viết Đại trình bày xong phần không gian \mathcal E với kết thúc là ví dụ về một dãy hội tụ trong \mathcal E nhưng không hội tụ trong \mathcal D. Tuy nhiên ví dụ đưa ra khi \Omega=\mathbb R. Với \Omega khác thì ví dụ như nào? Bạn Đại cũng đưa ra một số cách kiểm tra sự hội tụ trong \mathcal E với việc phân tích tập \Omega thành hợp lồng nhau. Bạn Thái có nêu câu hỏi về sự phụ thuộc phân tích hay không? Câu trả lời không phụ thuộc. Trong quá trình kiểm tra sự tương đương giữa việc lấy sup trên bất kỳ tập compact K như trong Định nghĩa và trên các phân tích, bạn Đại đưa ra chứng minh phụ thuộc vào phân tích, bạn Thái đưa ra gợi ý có thể trích ra phủ hữu hạn từ phủ mở của một tập compact dẫn đến cách chứng minh không phụ thuộc phân tích.

    Tiếp đến bạn Lê Đức Nhiên trình bày khái niệm hội tụ trong \mathcal D' và hai ví dụ cụ thể. Một ví dụ chỉ cần dùng tính liên tục của hàm thử, ví dụ kia phức tạp hơn cần đến giá và tính khả vi của hàm thử và kỹ thuật tách tích phân. Bạn Thái có cách tách tích phân đơn giản hơn.

    Phần địa phương hoá của bạn Nhiên sẽ chuyển một phần cho bạn Võ Thị Hạnh. Tuần sau bạn Hạnh bắt đầu không gian \mathcal E'. Bạn Hoàng Cao Khải sẽ trình bày không gian S tiếp đó. Sau đó ta sẽ chữa bài tập chuẩn bị thi giữa kỳ. Không gian S' sẽ được trình bày sau khi thi giữa kỳ.

    Chú ý tuần sau là hạn cuối nộp bài tập lần 1.

    1. datuan5pdes

      Nói chung là không, chẳng hạn đạo hàm của hàm Dirac \delta^, có cấp 1 trên toàn đường thẳng thực. Nếu cấp của hàm suy rộng là m trên mọi tập compact K trong đường thẳng thực thì nó có cấp m trên toàn đường thẳng thực. Lý do hàm cơ bản có giá compact.

      1. hà đức thái

        Em xin lỗi ở trên em ghi nhầm câu hỏi. Câu hỏi em định hỏi là nếu hàm f có cấp m cố định trong mọi tập K compact trong R thì f có suy ra f có cấp m trên R không ạ,và khi làm bài thì có đựợc dùng điều đấy ngay không hay phải chứng minh ạ. Thầy cho em hỏi thêm là trong phần bài làm thì có được sử dụng luôn các kết quả trong các ví dụ trong giáo trình của thầy không hay là phải chứng minh lại các kết quả đấy ạ.

  18. Pingback: Cấp của hàm suy rộng | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  19. datuan5pdes

    Hôm nay 21/10/2013, bạn Võ Thị Hạnh trình bày xong phần không gian \mathcal E^,. Có hai khái niệm quan trọng

    – giá của hàm suy rộng,

    – sự hội tụ trong \mathcal E^,.

    Trong phần giá có vài điểm lưu ý sau.

    – Nếu hàm suy rộng là hàm liên tục thì giá theo nghĩa nào cũng là một. Cũng như vậy với hàm khả tích địa phương.

    – Việc tìm giá có hai bước

    + định tính: cảm giác xem giá của nó là tập nào? Phần này thường nhận dạng biểu hiện thông thường của hàm suy rộng.

    + định lượng: chứng minh một cách logic điều trên. Phần này có hai ý:

    – chứng minh hàm suy rộng bằng 0 tại những điểm không thuộc giá, ta cần xây dựng tập mở chứa điểm đang xét và không giao với giá;

    – chứng minh hàm suy rộng khác 0 tại điểm thuộc giá, với mỗi lân cận cần xây dựng hàm khả vi vô hạn có giá nằm trong lân cận đang xét. Ta thường xuất phát từ hàm \rho. Lưu ý không thể xuất phát từ đa thức.

    Sự khó khăn tính giá suy rộng so với giá hàm liên tục cho thấy sự khác nhau f(x)\not=0f\not=0 tại x.

    Phần sự hội tụ các bạn nên so sánh cặp \mathcal D, \mathcal D^,\mathcal E, \mathcal E^,. Phần này bạn Hạnh chưa kịp đưa ra ví dụ so sánh thì hết giờ. Ngoài ra với sự hội tụ được đưa ra ta có không gian \mathcal E^, là đầy đủ. Ý nghĩa của tính đầy đủ nằm ở việc kiểm tra sự hội tụ. Thay vì xem nó hội tụ đến đâu ta xem nó có là dãy Cauchy hay không?

    Tuần sau bạn Hoàng Cao Khải sẽ trình bày không gian S. Sau đó ta chữa bài tập chuẩn bị thi giữa kỳ.

    Hiện mới có một nhóm nộp bài tập. Tôi nhờ lớp trưởng thu các nhóm còn lại để sáng thứ 6 nộp cho tôi.

  20. hà đức thái

    Em thưa thầy cho em muốn hỏi là hôm nay khi nói về tính khả metric và bất khả chuẩn của không gian E thầy có nói đến khái niệm một tập “bị chặn”.Thầy có thể nói rõ hơn khái niệm này được không ạ, nếu có một định nghĩa về khái niệm tập bị chặn trong E thì càng tốt ạ. Và thầy có thể miêu tả hoặc cho công thức thì càng tốt về ánh xạ dùng để định nghĩa metric trong không gian E không ạ Cuối cùng là thầy có một ví dụ hay bài tập nào về tính metric của không gian E để có thể thấy là nếu hạn chế ánh xạ dùng để định nghĩa metric trong E trên không gian D thì không còn đủ tính chất của một metric nữa không ạ.

      1. haducthai

        lúc xem tờ bài tập bọn em không hiểu được hết ý của thầy nên làm thiếu thầy có thể gia hạn nộp bài tập đến buổi thứ hai tuần sau cho bọn em bổ sung nốt được không ạ.

  21. haducthai

    em thưa thầy bài 99 trang 14 sách D.S.Joins thì phải hiểu như nào ạ, và các bài tập 18 trang 103 25 trang 107 42 trang 120 và 1 trang 132 thì các tích phân, đạo hàm và chuỗi số hiểu theo nghĩa thông thường hay hiểu theo nghĩa nào ạ.

    1. datuan5pdes

      Các phép lấy đạo hàm và lấy giới hạn đều theo nghĩa suy rộng với chú ý không gian hàm cơ bản là không gian các hàm giảm nhanh. Cụ thể như sau.

      Cho các hàm suy rộng tăng chậm f, F (các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm giảm nhanh). Ta có f=DF đạo hàm suy rộng của F nếu

      \langle f, \varphi\rangle=-\langle F, D\varphi\rangle, \forall \varphi\in S.

      Ta nói chuỗi hàm suy rộng tăng chậm \sum\limits_{n=1}^\infty \gamma_n, \gamma_n\in S^, hội tụ nếu

      tồn tại giới hạn \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^N\langle\gamma_n, \varphi \rangle, \forall\varphi\in S.

      Còn tích phân trong bài 18/trang 103 là các tích phân suy rộng.

      Bài 14/trang 99 (không có bài 99 trang 14) em tham khảo Định lý 4.2 ở ngay phía trên.

  22. datuan5pdes

    Hôm nay 28/10/2013, bạn Hoàng Cao Khải do chuẩn bị chưa tốt nên tôi đã dừng và chuyển sang chữa bài tập. Sang tuần tới ta sẽ tiếp tục chữa bài tập. Các bạn lưu ý chuẩn bị các bài tập trong cuốn của D. S. Jones.

  23. datuan5pdes

    Hôm nay 04/11/2013, tôi tiếp tục chữa bài tập. Trước khi chữa tôi có nhắc lại cách kiểm tra một phiếm hàm có là hàm suy rộng \mathcal D', \mathcal E', S' cũng như sự hội tụ của một dãy trong các không gian này. Lưu ý trong \mathcal E', S' có hai cách tiếp cận. Ngoài ra khi kiểm tra sự hội tụ ta còn có tiêu chuẩn Cauchy.

  24. haducthai

    Em thưa thầy cho em hỏi là trong bài kiểm tra thì các kết quả trong các phần ví dụ trong sách giáo trình của thầy như f thuộc vào L 1 loc thì f là hàm suy rộng, hay là f thuộc vào K_{p} thì f là hàm tăng chậm,giá của một hàm liên tục theo nghĩa thông thường và theo nghĩa suy rộng là như nhau,… thì có được dùng ngay không ạ hay là phải chứng minh lại.

  25. haducthai

    Em thưa thầy cho em hỏi. Bài hôm nay kiểm tra sự hội tụ trong S’ của \sum\limits_{n=1}^\infty nf(x-n,y-2n).
    Đặt A_{n} =[n,n+1]\times[2n,2n+1] ;n=1,2,…
    Đặt f_{n}=f(x-n,y-2n); n=1,2,…
    với f(x-n,y-2n)=1 nếu (x,y) thuộc A_{n} và f(x-n,y-2n)=0 nếu (x,y) không thuộc A_{n}.
    xét \varphi\in\mathcal D(\mathbb R^{2}) thỏa mãn:
    \varphi(x,y) >=0, với mọi (x,y)
    \varphi(x,y) =1, với mọi (x,y) thuộc A_{1}.
    (theo mệnh đề 1.3 thì hàm trên luôn tồn tại).
    \langle nf_{n},\varphi >= \int\limits_{A_{1}}n\varphi(x,y)dxdy   = \int\limits_{A_{1}}ndxdy> = n\times S_{A_{1}} = n > 0.
    điều trên đúng với mọi n=1,2,3,… nên nf_{n} không hội tụ về 0 trong \mathcal D'(mathbb R^{2}) dẫn đến nf_{n} không hội tụ về 0 trong \mathcal S'(\mathbb R^{2}) do đó chuỗi phân kỳ. Phần làm trên của em có chỗ nào bị nhầm ạ.

      1. datuan5pdes

        Chính vì A_n không lồng nhau mà chuỗi đang xét không hội tụ trong \mathcal E'.

        Bài này đánh giá đơn giản như sau. Lấy \varphi\in S

        \lim\limits_{(x, y)\to\infty}(1+x^2+y^2)^2\varphi(x, y)=0.

        Do đó có hằng số C để

        |\varphi(x, y)|\le (1+x^2+y^2)^{-2}, \forall (x, y).

        Khi đó

        |\langle f_n, \varphi\rangle|=|\iint\limits_{n-1<x<n+1\atop 2n-1<y<2n+1}n\varphi(x, y)dxdy|\le

        \le \iint\limits_{n-1<x<n+1\atop 2n-1<y<2n+1}\dfrac{n}{(1+x^2+y^2)^2}dxdy

        \le \dfrac{C}{n^3}.

        Từ đó dùng Weierstrass ta có chuỗi đang xét hội tụ trong S'.

  26. haducthai

    Vâng ạ cái đánh giá thì lúc thầy bảo sáng nay em cũng nghĩ ra luôn rồi ạ, nó cũng gần tương tự như mấy bài về kiểm tra sự hội tụ của chuỗi trong không gian S’ của quyển D.S>Joins chỉ khác ở số chiều không gian thôi. Em cũng hơi tiếc khi làm nhầm, nhưng bù lại thì em có thêm được một bài học. Thầy cho em hỏi là khi chúng ta học thì chúng ta suy rộng hàm số theo nghĩa biến thì liệu có thể tìm được một cái gì đó giống như “đồ thị suy rộng” không ạ. Hay là có một cách nào khác ngoài việc phải tính toán, ước lượng cụ thể mới biết được tính hội tụ của dãy hàm, chuỗi hàm gióng như là việc nhìn vào dáng điệu của dãy hàm và chuỗi hàm đó như ở hàm thông thường không ạ.Tại vì khi gặp phải câu hỏi kiểm tra sự hội tụ của chuỗi hàm suy rộng thì thường em không “cảm giác” trước được nó có hội tụ hay không nên khi làm thường gặp khó khăn và mất nhiều thời gian. Có một “kinh nghiệm” nào về cảm giác các chuỗi hàm suy rộng hội tụ trong các không gian D’ và S’ không ạ.

  27. haducthai

    À mà theo em thì chuỗi hàm trong bài trên nó không hội tụ vì hợp các giá của các hàm không bị chặn chứ không phải lý do chính là chúng không lồng nhau ạ. Và thỉng thoảng em có gõ mấy công thức theo latex vào lên đây thì nó hay bị hiện lỗi không phải dạng thông thường gì gì đó và nó không hiện lên thì em gõ nhầm các công thức đấy ở phần nào ạ.

    1. datuan5pdes

      Khi gõ công thức em thường thiếu dấu \ trước các chữ latinh và sum, mathbb, v.v. Những cái đó cần dấu \ để phần mềm LaTeX hiểu được. Ngoài ra em cần viết tách các chữ ra.

  28. haducthai

    Trong phần nói về tích chập thầy có bảo tích chập là 1 kỹ thuật hay dùng trong giải tích để biến 1 hàm không trơn thành hàm trơn, nhưng các hàm suy rộng đều có đạo hàm suy rộng mọi cấp rồi vậy ta cần quan tâm đến tích chập giữa các hàm suy rộng để làm gì ạ.

    1. datuan5pdes

      Đây là câu hỏi hay và khó. Một trong các câu trả lời: giải phương trình đạo hàm riêng khi vế phải là hàm suy rộng. Người ta tìm nghiệm cơ bản của các phương trình rồi dùng tích chập để giải. M. Riesz từng nói với L. Schwartz rằng nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đều là hàm khả tích địa phương. Thế thì cần gì phải nghiên cứu hàm suy rộng? Cũng như vậy: xây dựng tích chập giữa các hàm suy rộng làm gì? Sau khi về hưu, L. Hormander đã xây dựng phương trình có nghiệm cơ bản không khả tích địa phương. Em có thể xem bài tưởng nhớ Lars Hormander của Nicolas Lerner (trang 31)

      http://smai.emath.fr/IMG/pdf/matapli100_Hormander.pdf

      Bài báo của L. Hormander về tính chất khả tích địa phương của nghiệm cơ bản

      https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2013/11/on-local-integrability-of-fundamental-solutions.pdf

  29. thaithai

    Em thưa thầy cho em hỏi vấn đề ngoài lề một chút ạ. Lần trước thầy có bảo với em là trên viện toán có lớp hình học đại số của thầy Phùng Hồ Hải thì thầy có biết thời gian chính xác của lớp hay xemina đấy không ạ.

  30. datuan5pdes

    Hôm nay 25/11/2013, tôi kết thúc phần trình bày nội dung lý thuyết môn “Lý thuyết Hàm suy rộng và không gian Sobolev” cho lớp K55A1T. Từ tuần sau tôi sẽ gọi các bạn sinh viên lên chữa bài tập để lấy điểm thường xuyên. Tuần sau sẽ chữa Bài tập lần 1.

    Sau giờ học, bạn Thái có hỏi tôi một bài trong Bài tập Chương 2. Bài này chính là một Bổ đề trong cuốn “Methods of the Theory of Generalized functions” của V. S. Vladimirov (trang 44). Đường link

    https://app.box.com/s/84znrjg2o9a1s1zjrbf1

    Lúc bạn Thái hỏi tôi nghĩ theo hai hướng:

    – dùng Weierstrass: xấp xỉ hàm liên tục trên một đoạn hữu hạn bởi đa thức,

    – dùng khai triển Taylor.

    Cách 1: vướng việc xấp xỉ của đạo hàm?

    Cách 2: vướng sự hội tụ của chuỗi Taylor?

    Trong sách của V. S. Vladimirov dùng cách 1. Tôi nghĩ họ sẽ xấp xỉ từ đạo hàm trước?

  31. Pingback: Định lý xấp xỉ Weierstrass | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  32. datuan5pdes

    Hôm nay 02/12/2013 tôi bắt đầu gọi các bạn lên chữa bài tập. Tôi mới bắt đầu chữa các bài nhóm đã làm. Tuần tới tôi sẽ yêu cầu chữa cả các bài nhóm chưa làm. Các bạn lưu ý xem những gì nhóm đã làm và chưa làm trong lần 1 để chuẩn bị. Sáng thứ 6, 06/12/2013 bạn lớp trưởng lớp K55A1T nhớ nộp các bài tập nhóm lần 2 cho tôi.

  33. datuan5pdes

    Hôm nay 16/12/2013 tôi đã kết thúc môn Hàm suy rộng. Thầy Trần Thế Dũng có ngỏ ý muốn giúp các bạn sinh viên lớp K55A1T. Nếu các bạn thấy cần thì liên hệ trực tiếp với thầy Dũng. Về điểm thường xuyên:

    – bạn nào có mặt sáng nay tôi đều cộng vào điểm thường xuyên 5,0 điểm,

    – bạn nào xung phong lên bảng mỗi lần được 5,0 điểm,

    – bạn nào bị gọi lên bảng làm được bài mỗi lần được 3,0 điểm.

    Sáng thứ Tư tới, ngày 18/12/2013 bạn lớp trưởng có thể liên lạc với tôi để lấy bảng điểm cho lớp.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s