Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển (tiếp)

Như đã biết, trong bài trước

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/09/05/toan-tu-giao-hoan-voi-phep-dich-chuyen/

toán tử tuyến tính bị chặn giao hoán với phép dịch chuyển là

– toán tử dạng tích chập (convolution operators),

– toán tử nhân Fourier (Fourier multiplier operators).

Bài viết tiếp này sẽ đề cập đến toán tử cụ thể hơn.

Trước hết có thể thấy ngay các toán tử dịch chuyển trong các không gian dãy hay không gian hàm ta đã xét trong bài trước là giao hoán với phép dịch chuyển.

Trong không gian dãy \ell_2(\mathbb Z_N) gồm các dãy số phức x:\mathbb Z\to\mathbb C tuần hoàn chu kỳ N hay không gian dãy \ell_p(\mathbb Z) toán tử sai phân

T_1x(n)=x(n)-x(n-1)

là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển.

Toán tử này có dạng tích chập

T_1x=x*(\delta-\delta_1)

trong đó \delta là dãy Dirac, còn \delta_1 là dãy Dirac dịch chuyển sang phải một đơn vị hay \delta_1=\tau_1 \delta.

Khi đó toán tử sai phân này có dạng toán tử nhân Fourier với nhân

\hat{\delta}-\hat{\delta_1}.

(Bạn đọc thử viết cụ thể trong từng trường hợp \ell_2(\mathbb Z_N)\ell_p(\mathbb Z)).

Toán tử sai phân T_1 thường được gọi là sai phân cấp 1. Toán tử T_2=T_1oT_1 là toán tử sai phân cấp 2, …, và

T_n=T_{n-1}oT_1 là toán tử sai phân cấp n.

Các toán tử này đều giao hoán với phép dịch chuyển. Bạn đọc thử viết dạng toán tử tích chập cũng như toán tử nhân Fourier của toán tử sai phân cấp n?

Một cách tổng quát ta có thể xét toán tử sai phân dạng

Tx(n)=\sum\limits_{m=j}^k a_mx(n-m)=\sum\limits_{m=n-k}^{n-j} b_mx(m)

trong đó j, k là các hằng số nguyên còn a_m, b_m, m=j, j+1, \dots, k là các hằng số phức,

cũng là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển.

Câu hỏi liệu toán tử

Ax(n)=\sum\limits_{m=0}^n x(m)

có là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển không?

Câu trả lời khá dễ: không.

Câu hỏi tiếp: liệu có thể thu hẹp không gian để toán tử A là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển?

Một trong những cách trả lời câu hỏi này được dựa vào cách xem toán tử nguyên hàm như một tích chập với hàm Heaviside trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2012/08/19/khong-gian-bat-bien-voi-phep-dich-chuyen/

Trong không gian dãy \ell_p(\mathbb Z_+) gồm các dãy x trong \ell_p(\mathbb Z) thỏa mãn

x(n)=0 khi n<0.

Khi đó ta có thể xem toán tử A như sau

Ax(n)=\sum\limits_{m=0}^\infty x(n-m)=x*1_+(n)

trong đó dãy 1_+ là dãy

1_+(n)=1 khi n\ge 0

1_+(n)=0 khi n<0.

Tuy nhiên

1_+\in \ell_\infty(\mathbb Z_+)\setminus\ell_p(\mathbb Z_+), 1\le p<\infty

và để Ax\in \ell_p(\mathbb Z_+) khi x\in \ell_p(\mathbb Z_+) thì p=\infty.

Liệu còn có câu trả lời nào thú vị khác không?

Ta chuyển sang trường hợp liên tục, không gian hàm. Toán tử đạo hàm

D: f\mapsto Df

trong không gian các hàm C^1[0, 2\pi] gồm các hàm khả vi liên tục xác định trên toàn đường thẳng, tuần hoàn chu kỳ 2\pi là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển.

Dạng tích chập của toán tử đạo hàm

Df=f*\delta',

trong đó \delta' là đạo hàm của độ đo Dirac.

Dạng toán tử nhân Fourier

Df(\theta)=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}in \hat{f}(n)e^{in\theta}

với nhân Fourier là dãy

m=(in)_{n\in\mathbb Z}.

Một bài toán khó đặt ra: lấy một dãy m, hỏi toán tử nhân Fourier với nhân m sẽ đi từ đâu vào đâu?

Cách trả lời đầu tiên liên quan đến lý thuyết toán tử giả vi phân và không gian Sobolev trên đường tròn. Các bạn có thể tham khảo luận văn của Phạm Vân Hà
https://datuan5pdes.wordpress.com/2011/03/16/lu%E1%BA%ADn-van-cao-h%E1%BB%8Dc-c%E1%BB%A7a-ph%E1%BA%A1m-van-ha/

Một cách trả lời khác liên quan đến không gian Hardy H^p. Người ta sẽ cố gắng tìm điều kiện cho nhân m để toán tử nhân Fourier là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian H^p. Có khá nhiều kết quả theo cách này. Chẳng hạn, nhân m là nhân của toán tử nhân Fourier đi từ H^1 vào H^2 khi và chỉ khi

\sum\limits_{n=1}^N n^2|m_n|^2=O(N^2).

Một số kết quả khác, chẳng hạn kết quả của G. H. Hardy và J. E. Littlewood cho điều kiện cần và đủ của nhân Fourier để toán tử đi từ H^p vào H^q trong các trường hợp:

-) 0<p<1, p<q\le\infty,

-) 1\le p\le 2\le q,

bạn đọc xem trong các bài

http://poincare.matf.bg.ac.rs/~pavlovic/pac.pdf

http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/FULLTEXT/1978/27/27052

Một bài toán thú vị liên quan đến toán tử nhân Fourier với nhân đặc biệt

m_R(n)=1 khi |n|\le Rm_R(n)=0 khi |n|>R.

Bài toán này là bài toán nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier. Toán tử nhân Fourier lúc này chính là quan sát tổng riêng của chuỗi Fourier. Trong trường đang xét, chuỗi Fourier một chiều, ta có tính bị chặn đều của toán tử nhân Fourier trong không gian L^p[0, 2\pi]. Trong trường hợp nhiều chiều, số chiều từ 2 trở lên, B. S. Mitjagin vào năm 1972 cho kết quả như sau:

Toán tử nhân Fourier

T_{\lambda B}: f\mapsto \sum\limits_{k\in \lambda B\atop k\in\mathbb Z^d} \hat{f}(k)e^{i\langle k, x\rangle}

không bị chặn trong L^p(\mathbb T^d), khi n\ge 2, p\not=2,

trong đó k=(k_1, \dots, k_d), B=\{k|\; k_1^2+\dots +k_d^2\le 1\}, \lambda>0.

Một cách tương tự ta chuyển sang trường hợp hàm không tuần hoàn.

Toán tử đạo hàm trong không gian \mathcal D(\mathbb R)

D: f\mapsto Df

là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển.

Một cách tổng quát toán tử vi phân hệ số hằng cấp n dạng

P(D): f\mapsto P(D)f=\sum\limits_{k=0}^n a_k D^k f,

trong đó a_k là các hằng số phức,
là toán tử giao hoán với phép dịch chuyển trong \mathcal D(\mathbb R).

Dạng tích chập của toán tử vi phân này

P(D)f=\sum\limits_{k=0}^n (-1)^ka_k\delta^{(k)}*f,

trong đó \delta^{(k)} là đạo hàm cấp k của hàm Dirac \delta.

Nếu ta dùng biến đổi Fourier dạng \hat{f}(\xi)=\int\limits_{\mathbb R}e^{-2\pi ix\xi}f(x)dx thì dạng nhân Fourier của toán tử vi phân trên có nhân

m(\xi)=\sum\limits_{k=0}^n a_k(2\pi i)^k\xi^k.

Người ta mở rộng dạng nhân trên một cách tổng quát. Bước đầu ta có lớp các biểu trưng, khi đó ta có toán tử giả vi phân, toán tử tuyến tính bị chặn giữa các không gian Sobolev. Bạn đọc có thể tham khảo trong luận văn của Phạm Vân Hà. Tiếp đến người ta cố tìm điều kiện cho nhân tổng quát để toán tử nhân Fourier là toán tử tuyến tính bị chặn trong các không gian L^p. Phần này các bạn tham khảo bài

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplier_%28Fourier_analysis%29

Một cách tương tự như trường hợp tuần hoàn, người ta cũng xét nhân dạng hàm đặc trưng

m_R(x)=1 khi |x|<1m_R(x)=0 khi |x|\ge 1.

Việc xét nhân đặc biệt này có lẽ xuất phát từ việc nghiên cứu sự hội tụ điểm của tích phân Fourier. Trong trường hợp ta đang xét, trên đường thẳng thực, để có Định lý Carleson-Hunt người ta đã chứng minh toán tử với nhân này là toán tử tuyến tính liên tục trong L^p, p>1. Tuy nhiên cũng giống trường hợp tuần hoàn, khi số chiều lớn hơn hẳn 1, C. Fefferman đã chứng minh toán tử với nhân này chỉ bị chặn trong L^2.

Toán tử với nhân là hàm đặc trưng là trường hợp riêng của trung bình Bochner – Riesz, các bạn có thể xem

http://en.wikipedia.org/wiki/Bochner%E2%80%93Riesz_mean

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s