Cấp của hàm suy rộng

Trong bài trình bày của bạn Lê Đức Nhiên đã nói một số chú ý về cấp:

– cấp trên mỗi tập K có thể khác nhau,

– trên mỗi tập compact mỗi hàm suy rộng đều có cấp hữu hạn, nhưng trên toàn bộ miền \Omega thì nó vẫn có thể có cấp vô hạn.

Ví dụ cho cả hai chú ý trên

\sum\limits_{k=1}^\infty \delta^{(k)}(x-k),

trong đó hàm suy rộng

\delta^{(k)}(x-k):\varphi\mapsto \varphi^{(k)}(k).

Bạn Hà Đức Thái có hỏi:

Liệu hàm suy rộng trên đường thẳng thực có cấp bằng m trên mọi tập compact thì nó có cấp bằng m trên toàn bộ đường thẳng thực hay không?

Tôi đã trả lời có. Các bạn xem

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/09/09/trao-doi-bai-giang-lop-k55a1t/#comment-633

Tôi đã trả lời sai, câu trả lời: nói chung là không. Xin lỗi bạn Thái vì đã trả lời sai.

Trước khi đưa ra ví dụ, quay trở lại Định nghĩa về cấp, chú ý rằng hằng số C trong bất đẳng thức về cấp trên K phụ thuộc vào K. Như vậy có thể cấp như nhau trên mọi tập compact nhưng hằng số khác nhau trên mỗi tập compact! Ví dụ tôi sẽ đưa ra chỉ ra điều này.

Ví dụ đơn giản như sau.

Xét hàm hằng 1 trên đường thẳng thực, được coi là hàm suy rộng

\varphi\mapsto\int\limits_{\mathbb R}\varphi(x)dx.

Dễ thấy hàm suy rộng này có cấp 0 trên mọi tập compact K\subset\mathbb R. Tuy nhiên để ý quá trình đánh giá khi K=[-k, k] như sau

|\int\limits_{\mathbb R}\varphi(x)dx|=|\int\limits_{-k}^k \varphi(x)dx|( \varphi\in\mathcal D(\mathbb R), supp\varphi\subset[-k, k])

\le \int\limits_{-k}^k 1dx\sup\limits_{x\in[-k, k]}|\varphi(x)|.

Như vậy hàm hằng 1 có cấp 0 trên mọi tập compact [-k, k] với hằng số 2k, phụ thuộc vào [-k, k]. Các bạn có thể nghĩ rằng đánh giá như trên là lỏng và rất có thể ta tìm được hằng số chung cho tất cả các tập compact K? Tuy nhiên tôi sẽ chỉ ra đánh giá trên là chặt! Và từ đó dẫn đến hàm hằng 1 không có cấp 0 trên toàn bộ đường thẳng thực \mathbb R.

Với mỗi \epsilon\in(0, 1), ta luôn có thể tìm được hàm \varphi_\epsilon\in\mathcal D(\mathbb R) thỏa mãn:

+) 0\le \varphi(x)\le 1, \forall x\in\mathbb R,

+) \varphi(x)=1, \forall x\in [-k+\epsilon, k-\epsilon],

+) \varphi(x)=0, \forall |x|\ge k.

Từ đó

\int\limits_{-k}^k \varphi(x)dx\ge \int\limits_{-k+\epsilon}^{k-\epsilon}1dx=2(k-\epsilon).

Như vậy không thể có số dương C nào nhỏ hơn 2k để với mọi \varphi\in\mathcal D(\mathbb R), supp\varphi\subset[-k, k] đều có

|\langle 1, \varphi\rangle| \le C\sup\limits_{x\in[-k, k]}|\varphi(x)|.

Hay hàm hằng 1 không có cấp 0 trên toàn đường thẳng thực mà chỉ có cấp 0 trên mỗi tập compact.

Trong bài “Độ đo Radon – Hàm suy rộng có cấp 0”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2008/11/18/d%E1%BB%99-do-randon-ham-suy-r%E1%BB%99ng-co-c%E1%BA%A5p-0/

cần sửa lại đôi chút:

– Độ đo Radon cũng như độ đo dấu Radon là các hàm suy rộng có cấp 0 trên từng compact.

Cũng chú ý rằng độ đo phức Radon, theo tính chất hữu hạn của độ đo phức, vẫn là hàm suy rộng có cấp 0.

Quay trở lại hàm hằng 1, câu hỏi tiếp: nó có cấp bao nhiêu trên đường thẳng thực? Câu trả lời: vô hạn! Các bạn thử xem tại sao? Như vậy: ví dụ này khẳng định thêm hai chú ý nêu ở đầu bài!

Câu hỏi tiếp: tính cấp để làm gì? Có thể hiểu nôm na: cấp là “khoảng cách” từ hàm suy rộng đến hàm thông thường “một cách địa phương”. Chẳng hạn các hàm suy rộng

-) hàm Dirac \delta, có cấp 0, cách hàm thông thường (hàm Heaviside) một lần đạo hàm suy rộng,

-) hàm 1/x: \varphi\mapsto\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{|x|\ge\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x}dx, có cấp 1 trong [-1, 1], cách hàm thông thường x\log|x|-x hai lần đạo hàm suy rộng.

Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm vấn đề này trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2011/10/06/c%E1%BA%A5u-truc-d%E1%BB%8Ba-ph%C6%B0%C6%A1ng-c%E1%BB%A7a-ham-suy-r%E1%BB%99ng/

One thought on “Cấp của hàm suy rộng

  1. datuan5pdes

    Trong bài tập chương 1

    https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2007/05/btc1.pdf

    có thể các hàm trong bài 1 phần a, b, d có cấp giống như hàm hằng 1. Nghĩa là chúng đều có cấp bằng 0 trên mọi tập compact, và có cấp vô hạn trên toàn đường thẳng thực \mathbb R. Lý do là vì chúng không khả tích trên toàn đường thẳng thực.

    Việc chứng minh các hàm suy rộng trên có cấp vô hạn nghĩa là với mỗi số tự nhiên m chúng đều không có cấp m. Cách chứng minh cho mỗi m giống với cách chứng minh cho m=1. Đầu tiên xây dựng hàm \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R) thỏa mãn

    \varphi(x)=1 khi |x|\le 1,

    \varphi(x)=0 khi |x|\ge 2.

    Sau đó xây dựng dãy hàm

    \varphi_k(x)=\varphi(x/k).

    Tiếp đến các bạn thử làm xem sao?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s