Hàm suy rộng sinh ra từ dãy hàm cơ bản

Trong cuốn “The Theory of Generalised functions” của D. S. Jones, phần bài tập tôi giao cho lớp K55A1T có một bài 1/trang 56 yêu cầu kiểm tra tính chính quy của dãy hàm “good functions” (giảm nhanh).Theo cách nói trong giáo trình tôi dạy, bài đó yêu cầu kiểm tra sự hội tụ trong không gian S' của các dãy hàm giảm nhanh \{\gamma_n\} đã cho. Việc kiểm tra gồm hai bước:

+ với mỗi số tự nhiên n kiểm tra \gamma_n\in S?

+ với mỗi \gamma\in S kiểm tra sự hội tụ của dãy tích phân

\langle \gamma_n, \gamma\rangle=\int\limits_{\mathbb R}\gamma_n(x)\gamma(x)dx?

Có thể thấy trong các bài có một số điểm lưu ý sau.

+ Dãy \gamma_n=e^{-x^2/n} hội tụ về hàm hằng 1 trong \mathcal E. Như vậy, đây là dãy trong S hội tụ trong \mathcal E và không hội tụ trong S.

+ Dãy \gamma_n=ne^{-nx^2} không hội tụ trong \mathcal D'. Ta chọn hàm cơ bản \rho(x) và chứng minh dãy tích phân

\int\limits_{-1}^1 ne^{-nx^2}\rho(x)dx>\int\limits_{-n^{-1/2}}^{n^{-1/2}}ne^{-nx^2}\rho(x)dx

hội tụ ra vô cùng.

Câu hỏi: xây dựng dãy hàm giảm nhanh hội tụ trong \mathcal D' và không hội tụ trong S'?

Có vẻ những vấn đề tôi vừa viết không liên quan nhiều đến tiêu đề? Trong giáo trình của tôi:

– hàm suy rộng là phiếm hàm tuyến tính trên không gian hàm sơ bản,

– tập hợp các hàm giảm nhanh trù mật trong không gian các hàm suy rộng tăng chậm (kết quả có được khi học về tích chập).

Như vậy mỗi hàm suy rộng tăng chậm \gamma đều có một dãy các hàm giảm nhanh \{\gamma_n\} hội tụ trong topo của không gian hàm suy rộng tăng chậm đến hàm tăng chậm đang xét \gamma, nghĩa là

\lim\limits_{n\to\infty}\langle\gamma_n, \varphi\rangle=\langle\gamma, \varphi\rangle, \forall\varphi\in S.

Trong cuốn của D. S. Jones, việc định nghĩa hàm suy rộng tăng chậm được định nghĩa từ cách nhìn này. Nghĩa là, bắt đầu từ hàm giảm nhanh, rồi định nghĩa thế nào là dãy chính quy (regular), rồi hai dãy chính quy tương đương, cuối cùng mỗi hàm suy rộng tăng chậm là một lớp tương đương. Cách xây dựng này bắt nguồn từ việc xây dựng tập số thực từ tập số hữu tỷ bằng dãy Cauchy. Cách xây dựng này cũng chính là một trong các cách nhằm hiểu hàm Dirac từ dãy hàm cơ bản đặc biệt, còn gọi là dãy Dirac, chẳng hạn dãy \rho_{1/n}(x)=n\rho(nx). Hay trong cuốn của D. S. Jones có các dãy \sqrt{n}e^{-nx^2} và dãy \sqrt[4]{n}e^{-nx^4} đại diện cho các hàm suy rộng sai khác hàm Dirac một hằng số nhân. Quay trở lại hai chú ý bên trên, dãy e^{-x^2/n} là đại diện của hàm suy rộng 1, dãy ne^{-nx^2} không đại diện cho bất kỳ hàm suy rộng nào.

Việc dùng dãy hàm giảm nhanh như của D. S. Jones hoàn toàn có thể chuyển thành dãy hàm khả vi vô hạn có giá compact từ chú ý:

– tập C^\infty_0(\mathbb R) trù mật trong S'.

Ta cũng có thể làm như vậy với các không gian \mathcal D', \mathcal E' với các chú ý

– tập C^\infty_0(\mathbb R) trù mật trong \mathcal D',

– tập C^\infty_0(\mathbb R) trù mật trong \mathcal E'.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s