Tính đạo hàm mọi cấp

Tại sao phải tính đạo hàm mọi cấp? Một trong các lý do, ta cần kiểm tra một hàm có thuộc vào không gian các hàm cơ bản hay không? Chẳng hạn, khi bắt đầu môn học tôi đưa ra hàm \rho:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

\rho(x)=\begin{cases} Ce^{\frac{1}{x^2-1}}\;\; khi \;\; |x|<1,\\ 0 \;\; khi \;\;|x|\ge 1.\end{cases}

"Dễ thấy" hàm \rho(x) khả vi vô hạn trên |x|>1|x|<1. Còn tại x=\pm 1 thì sao? Ta cần tính đạo hàm trái và phải mọi cấp tại đó. Muốn vậy ta phải tính đạo hàm mọi cấp khi |x|>1|x|<1. Khi |x|>1 đạo hàm mọi cấp của nó đều bằng 0. Khi |x|<1 đạo hàm cấp k của nó

\dfrac{d^k}{dx^k}(e^{\frac{1}{x^2-1}})=?

Ta cần tìm quy luật bằng cách tính vài đạo hàm đầu như sau.

\dfrac{d}{dx}(e^{\frac{1}{x^2-1}})=-\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}e^{\frac{1}{x^2-1}},

\dfrac{d^2}{dx^2}(e^{\frac{1}{x^2-1}})=\big(\dfrac{6}{(x^2-1)^2}+\dfrac{12}{(x^2-1)^3}+\dfrac{4}{(x^2-1)^4}\big)e^{\frac{1}{x^2-1}},

\dfrac{d^3}{dx^3}(e^{\frac{1}{x^2-1}})=-2x\big(\dfrac{12}{(x^2-1)^3}+\dfrac{42}{(x^2-1)^4}+\dfrac{28}{(x^2-1)^5}+
+\dfrac{4}{(x^2-1)^6}\big)e^{\frac{1}{x^2-1}}

.v.v.

Như vậy có thể đoán

\dfrac{d^{2k+1}}{dx^{2k+1}}(e^{\frac{1}{x^2-1}})=2xP_{4k+2}(\frac{1}{x^2-1})e^{\frac{1}{x^2-1}},

\dfrac{d^{2k}}{dx^{2k}}(e^{\frac{1}{x^2-1}})=P_{4k}(\frac{1}{x^2-1})e^{\frac{1}{x^2-1}},

với k=0, 1, 2, \dotsP_k là đa thức bậc k.

Phần còn lại gồm hai việc:

– chứng minh công thức đưa ra đúng,

– chứng minh hàm \rho(x) khả vi mọi cấp tại x=\pm 1,

xin dành cho bạn đọc.

Một ví dụ tôi cũng hay đưa ra e^{-x^2}\in S. Từ ví dụ này không khó để thấy x^m e^{-x^2}\in S, e^{-x^2}\sin(kx)\in S với k, m\in\mathbb Z_+. Câu hỏi: nếu m=-1 hay m=1/2 thì sao? Quay trở lại việc kiểm tra e^{-x^2}\in S ta cũng cần tính đạo hàm mọi cấp của hàm e^{-x^2}. Cách làm khá giống ở trên, nghĩa là ta tính vài đạo hàm đầu để tìm ra quy luật rồi chứng minh quy luật đó. Các bạn thử xem có phải

\dfrac{d^k}{dx^k}(e^{-x^2})=P_k(x)e^{-x^2},

với P_k(x) là đa thức bậc k?

Trong giáo trình của tôi, có ví dụ yêu cầu tính

\dfrac{d^k}{dx^k}(e^{-x^2})(0)=?

Các bạn thử dùng công thức trên để tính?

Một bài khác trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones yêu cầu chứng minh \gamma(x^3)\in S khi \gamma\in S. Ta cũng có thể hỏi \gamma(x^m)\in S hay không khi \gamma\in S. Ta cần tính đạo hàm mọi cấp của các hàm này. Lúc này hàm đã cho có công thức tổng quát nên công thức đạo hàm sẽ không đẹp như trên. Cụ thể, một vài đạo hàm đầu của \gamma(x^3)

\dfrac{d}{dx}(\gamma(x^3))=3x^2\gamma^{,}(x^3),

\dfrac{d^2}{dx^2}(\gamma(x^3))=6x\gamma^{,}(x^3)+9x^4\gamma^{,,}(x^3),

lưu ý

(\gamma(x^3))^{,,}\not=\gamma^{,,}(x^3).

Từ đây ta đoán

\dfrac{d^k}{dx^k}(\gamma(x^3))=\sum\limits_{j=0}^{[\frac{2k}{3}]}a_{k, j}x^{2k-3j}\gamma^{(k-j)}(x^3).

Phần tiếp theo các bạn thử tự làm xem sao?

Một ví dụ khác trong giáo trình của tôi: kiểm tra sự hội tụ trong không gian S của dãy hàm

\rho_{((k))}(x)=\dfrac{\rho(x-k)}{(x^2+1)^k}.

Ta thử tính vài đạo hàm đầu của hàm \rho_{((k))}(x)

\dfrac{d}{dx}(\rho_{((k))}(x))=\dfrac{\rho^{,}(x-k)}{(x^2+1)^k}-\dfrac{2kx\rho(x-k)}{(x^2+1)^{k+1}},

\dfrac{d^2}{dx^2}(\rho_{((k))}(x))=\dfrac{\rho^{,,}(x-k)}{(x^2+1)^k}-\dfrac{4kx\rho^{,}(x-k)}{(x^2+1)^{k+1}}+
+\dfrac{2k((2k+1)x^2-1)\rho(x-k)}{(x^2+1)^{k+2}}.

Như vậy ta đoán

\dfrac{d^m}{dx^m}(\rho_{((k))}(x))=\sum\limits_{j=0}^m\dfrac{P_{m, 2j}(x, k)\rho^{(m-j)}(x-k)}{(x^2+1)^{k+j}},

trong đó P_{m, 2j}(x, k) là đa thức bậc 2j theo cả x, k. Chẳng hạn P_{m, 0}(x, k)=1, P_{1, 2}(x, k)=2kx, .v.v.

Trong luận văn của Phạm Vân Hà

https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2011/03/luanvanha3.pdf

cũng cần đến việc tính đạo hàm mọi cấp ở các trang 23, 40, 41.

One thought on “Tính đạo hàm mọi cấp

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s