Lũy thừa của x

Phần bài tập trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones có đề cập đến một số hàm suy rộng tăng chậm:

+) x^\beta H(x), |x|^\beta, |x|^\beta sgn(x),

+) (x\pm i\epsilon)^\beta, (x\pm i0)^\beta,

với \beta\in\mathbb C, \epsilon>0.

Vậy chúng được xác định như nào? Dưới đây ta sẽ tìm hiểu dần về chúng.

Với m\in\mathbb Z_+ ta dễ dàng định nghĩa hàm lũy thừa x^m. Chú ý quy ước x^0=1. Khi đó ta cũng có x^m là hàm suy rộng tăng chậm trên đường thẳng thực bằng cách

x^m: \gamma\in S\mapsto \int\limits_{-\infty}^\infty x^m\gamma(x)dx.

Tích phân trên là tích phân suy rộng hội tụ vì \gamma(x) giảm nhanh. Các bạn thử lý giải chi tiết hơn? Các bạn tính thử đạo hàm suy rộng mọi cấp của hàm suy rộng x^m? Hàm suy rộng |x|^m lúc này được định nghĩa tương tự. Các bạn thử tính đạo hàm suy rộng mọi cấp của |x|^m? Một cách tương tự các bạn thử xem x^m_+=x^m H(x), x^m_-=(-x)^mH(-x)?

Với m\in\mathbb Z, m>0 thì x^{-m}, |x|^{-m}, x^{-m}_+, x^{-m}_- là các hàm suy rộng như nào?

Với m=1 ta để ý

(\log|x|)'=x^{-1} khi x\not=0,

\log|x|\in L^1_{loc}(\mathbb R) là hàm thông thường.

Khi đó, ta coi \log|x| là hàm suy rộng tăng chậm bằng cách

\log|x|: \varphi\in S\mapsto \int\limits_{-\infty}^\infty \log|x|\varphi(x)dx.

Tích phân trên hội tụ, vì sao?

Lúc đó hàm suy rộng x^{-1} là đạo hàm suy rộng của \log|x|, nghĩa là

x^{-1}: \varphi\in S\mapsto -\int\limits_{-\infty}^\infty \log|x|\varphi'(x)dx.

Tương tự x^{-1}_+ là đạo hàm suy rộng của \log|x|H(x). Còn x^{-1}_- là đạo hàm suy rộng của hàm suy rộng nào? Có hai hàm suy rộng x^{-1}_+, x^{-1}_- ta có

|x|^{-1}=x^{-1}_++x^{-1}_-.

Khi m\in\mathbb Z, m>1 ta có

x^{-m}=\dfrac{(-1)}{m-1}(x^{-(m-1)})' khi x\not=0.

Do đó hàm suy rộng x^{-m} là đạo hàm suy rộng cấp (m-1) của hàm suy rộng

\dfrac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!}x^{-1}.

Các bạn làm tương tự cho x^{-m}_+, x^{-m}_-. Sau đó

|x|^{-m}=x^{-m}_++x^{-m}_-.

Với m>0 ta định nghĩa được hàm thông thường x^m_+, x^m_-, |x|^m. Nói chung ta không thể biết x^m khi x<0? Với \beta\in\mathbb C, Re\beta>0 ta cũng có thể định nghĩa các hàm thông thường

x^\beta_+, x^\beta_-, |x|^\beta, |x|^\beta sgn(x),

với lưu ý, khi a>0, b\in\mathbb R

a^{ib}=e^{ib\log a}=\cos(b\log a)+i\sin(b\log a).

Tiếp đến với \beta\in\mathbb C\setminus\{-1, -2, \dots\}. Lấy n\in\mathbb Z_+ sao cho Re\beta+n>-1. Khi đó, |x|^{\beta+n}\in L^1_{loc}(\mathbb R) nên nó là hàm suy rộng tăng chậm. Khi đó hàm suy rộng tăng chậm |x|^\beta là đạo hàm suy rộng cấp n của hàm suy rộng

\dfrac{|x|^{\beta+n} (sgn(x))^n}{(\beta+1)(\beta+2)\dots(\beta+n)}.

Một cách tương tự các bạn thử định nghĩa x^\beta_+, x^\beta_-, |x|^\beta sgn(x)?

Chú ý x^\beta H(x)=x^\beta_+.

Trong cuốn của D. S. Jones, hàm suy rộng x^{-m}H(x)=x^{-m}_+, m\in\mathbb Z, m\ge 1, được định nghĩa qua giới hạn suy rộng

S^{,}_{-}\lim\limits_{\mu\to 0}\big(x^{\mu-m}_+-\dfrac{(-1)^{m-1}}{(m-1)!\mu}\delta^{(m-1)}(x)\big).

Các bạn thử xem định nghĩa này và định nghĩa bên trên có cho cùng một kết quả?

Ta chuyển sang tìm hiểu phần hai. Với \epsilon>0, x\in\mathbb R ta có thể viết

x+i\epsilon=re^{i\varphi}, -\pi<\varphi<\pi, r\ge \epsilon>0.

Khi đó ta lấy

\log(x+i\epsilon)=\log r+ i\varphi.

Với \beta\in\mathbb C ta lấy

(x+i\epsilon)^\beta=e^{\beta(\log r+i\varphi)}.

Như vậy ta định nghĩa được hàm thông thường (x+i\epsilon)^\beta. Một cách tương tự ta định nghĩa được (x-i\epsilon)^\beta.

Ta cũng định nghĩa được \log(x\pm i\epsilon).

Câu hỏi: khi \epsilon giảm dần về 0 điều gì sẽ xảy ra với \log(x\pm i\epsilon), (x\pm i\epsilon)^\beta?

Để ý khi cho \epsilon giảm về 0

+ với x>0 thì \log(x+i\epsilon)=\log r +i \varphi\to \log|x|,

+ với x<0 thì \log(x+i\epsilon)\to \log|x|+i\pi

nên ta dự đoán

S^{,}_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\log(x+i\epsilon)=\log|x|+i\pi H(-x).

Giới hạn suy rộng trên còn được ký hiệu \log(x+i0).

Một cách tương tự, khi Re\beta>0 cho \epsilon giảm về 0

+ với x>0 thì (x+i\epsilon)^\beta=e^{\beta(\log r +i \varphi)}\to x^\beta,

+ với x<0 thì (x+i\epsilon)^\beta\to (-x)^\beta e^{i\beta \pi}

nên ta dự đoán

S^{,}_{-}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}(x+i\epsilon)^\beta=x^\beta_++e^{i\beta\pi}x^\beta_-.

Giới hạn suy rộng trên còn được ký hiệu (x+i0)^\beta.

Bằng cách lấy đạo hàm suy rộng ta định nghĩa được (x+i0)^\beta với các số mũ phức \beta khác.

Tương tự trên ta định nghĩa được \log(x-i0), (x-i0)^\beta.

Khi m\in\mathbb Z, m>0 ta có

(x\pm i0)^{-m}=x^{-m}\mp\dfrac{(-1)^{m-1}\pi i}{(m-1)!}\delta^{(m-1)}(x).

3 thoughts on “Lũy thừa của x

  1. Hoa huong duong

    Em chào thầy ạ! Em đang làm bài tập trang 103-104 sách của DSJones. Liệu em có thể áp dụng luôn các kết quả đã chứng minh đc ở trong sách k ạ? Thầy xem giúp em bt 21/104 đề bài có chính xác k ạ, vì em làm ra kết quả là $ frac{1}{\pi} – frac{1}{2} \int\limits^{\pi}_{\pi} frac{\sin(x)}{x}\,dx $
    Em cảm ơn thầy nhiều ạ!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s