Tích phân của hàm suy rộng

Trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones có yêu cầu tính một số tích phân

+) \int\limits_a^b (b-x)^{-3/2}dx,

+) \int\limits_0^{1/4}\dfrac{x^{-3/2}}{x-1}dx,

+) \int\limits_0^b x^\beta dx, .v.v.

Vậy những tích phân này được hiểu như nào?

Ta xuất phát từ một hàm, chẳng hạn g(x)=(b-x)^{-3/2}. Khi đó các hàm (b-x)^{-3/2}H(b-x), (b-x)^{-3/2}H(a-x) là các hàm suy rộng tăng chậm. Lấy \gamma(x) là hàm giảm nhanh thỏa mãn \gamma(x)=1 khi a<x<b. Khi đó

\int\limits_a^b (b-x)^{-3/2}dx=
=\langle (b-x)^{-3/2}H(b-x)-(b-x)^{-3/2}H(a-x), \gamma(x)\rangle.
Để ý rẳng

((b-x)^{-1/2}H(b-x))'=
=\dfrac{1}{2}(b-x)^{-3/2}H(b-x),

((b-x)^{-1/2}H(a-x))'=
=\dfrac{1}{2}(b-x)^{-3/2}H(b-x)-(b-a)^{-1/2}\delta(x-a).

Với bài tính

\int\limits_0^{1/4}\dfrac{x^{-3/2}}{x-1}dx

hàm giảm nhanh \gamma(x) thỏa mãn

\gamma(x)=\dfrac{1}{x-1} khi 0<x<1/4.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s