Trong Giáo trình Giải tích năm thứ nhất ta đã học dấu hiệu Weierstrass kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số thực
Ta so sánh các số hạng tổng quát của chuỗi trên với số hạng tổng quát của một chuỗi dương hội tụ. Cụ thể, nếu có chuỗi dương
hội tụ sao cho
thì chuỗi (1) hội tụ.
Khi kiểm tra sự không hội tụ của chuỗi (1) ta có điều kiện cần khá đơn giản sau:
Chuỗi (1) hội tụ thì
hay ngược lại
Nếu thì chuỗi (1) phân kỳ.
Lưu ý rằng khi ta cũng có các kết quả trên đúng. Từ đây ta có thể áp dụng cho việc kiểm tra sự hội tụ của chuỗi hàm suy rộng như dưới đây.
Xét chuỗi hàm suy rộng
Với (với
là một trong các không gian
) ta xem chuỗi (2) có hội tụ trong
hay không?
Lấy (không gian đối ngẫu của
). Ta kiểm tra chuỗi số phức
có hội tụ hay không?
Nếu với mỗi ta đều tìm được dãy số không âm
thỏa mãn
+) chuỗi hội tụ,
+)
thì theo Weierstrass chuỗi (2) hội tụ trong
Còn nếu ta tìm được một hàm sao cho
thì theo điều kiện cần chuỗi (2) không hội tụ trong
Ta thử thực hành một số bài tập cụ thể.
Bài 7(b) trong phần “Bài tập Chương 1”, xét chuỗi
Chuỗi trên hội tụ trong Lấy
có số tự nhiên
sao supp
Ta chọn dãy số dương
+)
+)
Ta có dãy số dương thỏa mãn
+) chuỗi hội tụ,
+)
Do đó theo Weierstrass ta có điều phải chứng minh.
Nói chung chuỗi đang xét không hội tụ trong trừ khi dãy
chỉ có hữu hạn phần tử khác
Thật vậy, xét chuỗi hàm
với thỏa mãn
khi
và
khi
Do supp nên chuỗi hàm trên hội tụ trong
đến một hàm
.
Có
nên khi
Do đó theo điều kiện cần ta có điều phải chứng minh.
Mọi chuyện xảy ra tương tự khi xét sự hội tụ trong với việc xét chuỗi
Các bạn thử tự kiểm tra lại xem sao?
Các việc cần kiểm tra:
+) chuỗi trên hội tụ trong đến
nào đó,
+)
Tiếp đến, ta thử làm bài 1/x trang 132 trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones. Xét chuỗi
Lấy có
lưu ý
nên
Tiếp tục tích phân từng phần với lưu ý có
Do nên
.
Khi đó
Từ đó theo Weierstrass chuỗi đang xét hội tụ trong
Một bài khác trong sách của D. S. Jones, bài 10/iii trang 148 xét chuỗi
Với bài này, các bạn thử xét chuỗi
Các việc cần kiểm tra:
+) chuỗi trên hội tụ trong đến
nào đó,
+)
Lưu ý, ta có thể xây dựng hàm ở trên là hàm chẵn, không tăng trên
. Từ đó có
Việc kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi
+)
trong
,
+)
trong
,
+)
trong 
ta cũng dùng dấu hiệu Weierstrass.
Chẳng hạn ta kiểm tra sự hội tụ của chuỗi cuối cùng. Lấy
bất kỳ, ta cần chứng minh dãy tổng riêng
hội tụ đều trên
khi 
Do supp
nên
Lại có
và
Do đó theo Weierstrass dãy (1) hội tụ đều trên