Dấu hiệu Weierstrass – Điều kiện cần để chuỗi hội tụ

On By datuan5pdesIn Bài tập

Trong Giáo trình Giải tích năm thứ nhất ta đã học dấu hiệu Weierstrass kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số thực

\sum\limits_{n=1}^\infty u_n.\;\;\;(1)

Ta so sánh các số hạng tổng quát của chuỗi trên với số hạng tổng quát của một chuỗi dương hội tụ. Cụ thể, nếu có chuỗi dương

\sum\limits_{n=1}^\infty a_n hội tụ sao cho

|u_n|\le a_n

thì chuỗi (1) hội tụ.

Khi kiểm tra sự không hội tụ của chuỗi (1) ta có điều kiện cần khá đơn giản sau:

Chuỗi (1) hội tụ thì \lim\limits_{n\to\infty}|u_n|=0

hay ngược lại

Nếu \limsup\limits_{n\to\infty}|u_n|=C>0 thì chuỗi (1) phân kỳ.

Lưu ý rằng khi u_n\in\mathbb C ta cũng có các kết quả trên đúng. Từ đây ta có thể áp dụng cho việc kiểm tra sự hội tụ của chuỗi hàm suy rộng như dưới đây.

Xét chuỗi hàm suy rộng

\sum\limits_{n=1}^\infty f_n. \;\;\; (2)

Với f_n\in \mathbb H' (với \mathbb H' là một trong các không gian \mathcal D', \mathcal E', S') ta xem chuỗi (2) có hội tụ trong \mathbb H' hay không?

Lấy \varphi\in\mathbb H (không gian đối ngẫu của \mathbb H'). Ta kiểm tra chuỗi số phức

\sum\limits_{n=1}^\infty\langle f_n, \varphi\rangle

có hội tụ hay không?

Nếu với mỗi \varphi\in\mathbb H ta đều tìm được dãy số không âm a_n=a_n(\varphi) thỏa mãn

+) chuỗi \sum\limits_{n=1}^\infty a_n hội tụ,

+) |\langle f_n, \varphi\rangle|\le a_n, \forall n\in\mathbb N,

thì theo Weierstrass chuỗi (2) hội tụ trong \mathbb H.

Còn nếu ta tìm được một hàm \varphi\in\mathbb H sao cho

\limsup\limits_{n\to\infty}|\langle f_n, \varphi\rangle|=C>0

thì theo điều kiện cần chuỗi (2) không hội tụ trong \mathbb H'.

Ta thử thực hành một số bài tập cụ thể.

Bài 7(b) trong phần “Bài tập Chương 1”, xét chuỗi

\sum\limits_{k=1}a_k\delta^{(k)}(x-k^2).

Chuỗi trên hội tụ trong \mathcal D'(\mathbb R). Lấy \varphi \in \mathcal D(\mathbb R) có số tự nhiên L sao supp\varphi\subset[-L, L]. Ta chọn dãy số dương

+) b_k=|a_k\varphi^{(k)}(k^2)|, k=1, 2, \dots, L,

+) b_k=0, k\ge L+1.

Ta có dãy số dương thỏa mãn

+) chuỗi \sum\limits_{k=1}^\infty b_k hội tụ,

+) |\langle a_k\delta^{(k)}(x-k^2), \varphi(x)\rangle|\le b_k, \forall k\in\mathbb N.

Do đó theo Weierstrass ta có điều phải chứng minh.

Nói chung chuỗi đang xét không hội tụ trong \mathcal E' trừ khi dãy a_n chỉ có hữu hạn phần tử khác 0. Thật vậy, xét chuỗi hàm

\sum\limits_{k\in\mathbb N\atop a_k\not=0}\dfrac{1}{a_k} e^x\psi(x-k^2)

với \psi\in C^\infty_0(\mathbb R) thỏa mãn

\psi(x)=1 khi |x|\le 1/2 và \psi(x)=0 khi |x|\ge 1.

Do supp\psi(x-k^2)\subset[k^2-1, k^2+1] nên chuỗi hàm trên hội tụ trong \mathcal E(\mathbb R) đến một hàm \varphi\in\mathcal E(\mathbb R).

Có

\psi(0)=1, \psi^{(j)}(0)=0, j\ge 1,

\dfrac{d^j}{dx^j}[e^x\psi(x-k^2)]=e^x\sum\limits_{\ell=0}^j \binom{j}{\ell}\psi^{(\ell)}(x-k^2)

nên khi a_k\not=0

\langle a_k\delta^{(k)}(x-k^2), \varphi\rangle=e^{k^2}.

Do đó theo điều kiện cần ta có điều phải chứng minh.

Mọi chuyện xảy ra tương tự khi xét sự hội tụ trong S' với việc xét chuỗi

\sum\limits_{k\in\mathbb N\atop a_k\not=0}\dfrac{1}{k!a_k}\psi((|a_k|+k)(x-k^2))(x-k^2)^k.

Các bạn thử tự kiểm tra lại xem sao?

Các việc cần kiểm tra:

+) chuỗi trên hội tụ trong S đến \phi\in S nào đó,

+) \limsup\limits_{k\to\infty}|a_k\phi^{(k)}(k^2)|>0.

Tiếp đến, ta thử làm bài 1/x trang 132 trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones. Xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty x^2e^{inx}.

Lấy \varphi\in S có

I_n=\langle x^2e^{inx}, \varphi(x)\rangle=\int\limits_{\mathbb R}x^2e^{inx}\varphi(x)dx

=\dfrac{1}{in}\int\limits_{\mathbb R}x^2\varphi(x)de^{inx}

lưu ý \lim\limits_{|x|\to\infty}|x^2\varphi(x)|=0

nên

I_n=\dfrac{i}{n}\int\limits_{\mathbb R}x^2 e^{inx}\varphi'(x)dx.

Tiếp tục tích phân từng phần với lưu ý \lim\limits_{|x|\to\infty}|x^2\varphi'(x)|=0 có

I_n=-\dfrac{1}{n^2}\int\limits_{\mathbb R}x^2e^{inx}\varphi"(x)dx.

Do \lim\limits_{|x|\to\infty}|x^4\varphi"(x)|=0 nên

\int\limits_{|x|\ge 1}|x^2\varphi"(x)|dx<+\infty.

Khi đó

|I_n|\le \dfrac{C}{n^2}.

Từ đó theo Weierstrass chuỗi đang xét hội tụ trong S'.

Một bài khác trong sách của D. S. Jones, bài 10/iii trang 148 xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty e^{n+inx}.

Với bài này, các bạn thử xét chuỗi

\sum\limits_{n=1}^\infty e^{-n}\psi(x-2n\pi).

Các việc cần kiểm tra:

+) chuỗi trên hội tụ trong S đến \phi\in S nào đó,

+) \limsup\limits_{k\to\infty}|\int\limits_{\mathbb R}e^{n+inx}\phi(x)dx|>0.

Lưu ý, ta có thể xây dựng hàm \psi ở trên là hàm chẵn, không tăng trên [0, 1]. Từ đó có

\int\limits_{\mathbb R}e^{inx}\psi(x)dx=2\int\limits_0^2 \cos(nx)\psi(x)dx>0.

One thought on “Dấu hiệu Weierstrass – Điều kiện cần để chuỗi hội tụ”

  1. datuan5pdes

    Việc kiểm tra sự hội tụ của các chuỗi

    +) \sum\limits_{n\in\mathbb N\atop a_n\not=0}\dfrac{1}{a_n}e^x\psi(x-n^2) trong \mathcal E(\mathbb R),

    +) \sum\limits_{n\in\mathbb N\atop a_n\not=0}\dfrac{1}{n! a_n}\psi((|a_n|+n)(x-n^2))(x-n^2)^n trong S,

    +) \sum\limits_{n=1}^\infty e^{-n}\psi(x-2n\pi) trong S

    ta cũng dùng dấu hiệu Weierstrass.

    Chẳng hạn ta kiểm tra sự hội tụ của chuỗi cuối cùng. Lấy p, q\in\mathbb Z_+ bất kỳ, ta cần chứng minh dãy tổng riêng

    \sum\limits_{n=1}^N e^{-n}(1+x^2)^p D^q[\psi(x-2n\pi)]\;\;\;(1)

    hội tụ đều trên \mathbb R khi N\to\infty.

    Do supp\psi(x-2n\pi)=[2n\pi-1, 2n\pi+1] nên

    |e^{-n}(1+x^2)^pD^q[\psi(x-2n\pi)]|\le e^{-n}(1+(1+2n\pi)^2)^p \times

    \times |D^q\psi(x-n^2)|.

    Lại có

    |D^q\psi(x-n^2)|\le \sup_{x\in\mathbb R}|D^q\psi(x)|\le C_q

    và

    \sum\limits_{n=1}^\infty e^{-n}(1+(1+2n\pi)^2)^p hội tụ.

    Do đó theo Weierstrass dãy (1) hội tụ đều trên \mathbb R.

    Phản hồi

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

Gravatar
WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com ( Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter ( Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook ( Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ ( Đăng xuất / Thay đổi )

Hủy bỏ

Connecting to %s