Không gian K_p

Trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones có đưa ra các lớp không gian K_p(\mathbb R), 1\le p<\infty. Không gian K_p(\mathbb R) là không gian gồm các hàm khả tích địa phương trên đường thẳng thực f và thỏa mãn

có một số thực N (phụ thuộc f) để

\int\limits_{\mathbb R}\dfrac{|f(x)|^p}{(1+x^2)^N}dx<+\infty.

Ta có thể mở rộng khái niệm trên lên không gian nhiều chiều, chẳng hạn lên mặt phẳng: không gian K_p(\mathbb R^2) là không gian gồm các hàm khả tích địa phương trên đường mặt phẳng f và thỏa mãn

có một số thực N (phụ thuộc f) để

\int\limits_{\mathbb R}\dfrac{|f(x, y)|^p}{(1+x^2+y^2)^N}dx<+\infty.

Dưới đây là một vài tính chất cũng như ví dụ của không gian K_p(\mathbb R^n).

Có thể thấy ngay các phép nhúng

L_p(\mathbb R^n)\subset K_p(\mathbb R^n), 1\le p<\infty,

K_q(\mathbb R^n)\subset K_p(\mathbb R^n), 1\le p<q<\infty,

L_\infty(\mathbb R^n)\subset K_p(\mathbb R^n), 1\le p<\infty.

Các phép nhúng trên đều không đạt dấu bằng vì

+ hàm hằng 1\in L_\infty(\mathbb R^n)\subset S'(\mathbb R^n)1\not\in L_p(\mathbb R^n), 1\le p<\infty,

+ hàm |x|^{-1/q}\in K_p(\mathbb R)|x|^{-1/q}\not\in K_q(\mathbb R) (các bạn thử tìm ví dụ trong \mathbb R^2?),

+ đa thức ||x||^2=\sum\limits_{j=1}^n x_j^2\in K_p, 1\le p<\infty||x||^2\not\in L_\infty(\mathbb R^n).

Đặc biệt ta có phép nhúng

K_1(\mathbb R^n)\subset S'(\mathbb R^n).

Từ phép nhúng này ta có:

– hàm thông thường bị chặn hầu khắp nơi là hàm suy rộng tăng chậm, chẳng hạn f_1(x)=\sin x, f_2(x, y)=e^{ix}\cos(20 y);

– hàm tăng chậm hơn đa thức, chẳng hạn các đa thức cũng là hàm suy rộng tăng chậm.

Tuy nhiên cũng có những hàm suy rộng tăng chậm, chẳng hạn hàm Dirac \delta không thuộc vào bất cứ K_p(\mathbb R^n) nào. Ngoài ra hàm suy rộng |x|^{-1}\in S'(\mathbb R) và nó không thuộc bất cứ K_p(\mathbb R), 1\le p<\infty nào. Các bạn thử tìm ví dụ cho trường hợp mặt phẳng.

One thought on “Không gian K_p

  1. datuan5pdes

    Có thể thấy rằng hàm Dirac \delta và hàm suy rộng |x|^{-1} đều không khả tích địa phương. Vậy, một hàm khả tích địa phương là hàm suy rộng tăng chậm thì nó có thuộc vào K_1 không?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s