Xác định giá

Cho một hàm suy rộng f\in\mathcal D'(\Omega). Làm thế nào để xác định được giá của nó?

Trước hết có hai lưu ý:

+ supp(f) nằm trong \Omega,

+ supp(f) là tập đóng tương đối trong \Omega.

Chẳng hạn lấy \Omega=(0, +\infty) và hàm suy rộng có dạng thông thường

f(x)=x-1 khi 0<x<1f(x)=0 khi x\ge 1.

Hàm thông thường này là hàm liên tục nên

suppf=cl\{x\in(0, +\infty)|\; f(x)\not=0\}=(0, 1].

Lưu ý

+) 0\not\in(0, +\infty) nên 0\not\insupp(f),nói cách khác việc lấy bao đóng chỉ giới hạn trong \Omega=(0, +\infty),

+) f(1)=0 nhưng 1\insupp(f).

Qua lưu ý trên việc tìm giá có thể qua hai bước:

B1: xác định các điểm xf(x)\not=0,

B2: lấy bao đóng trong \Omega của tập các điểm trong B1.

Hai bước trên chưa thực sự cụ thể? Ta thử vài ví dụ.

Trước hết ta làm ví dụ đơn giản sau.

Bài 1/ Đề cuối kỳ lần 2/K48A1T. Xét hàm suy rộng

g: \varphi\to \int\limits_0^\infty x\varphi(x)dx, \varphi\in\mathcal D(\mathbb R).

Có thể nhận thấy hàm suy rộng g là hàm thông thường

g(x)=x khi x>0g(x)=0 khi x\le 0.

Hàm thông thường g(x) là hàm liên tục và

g(x)\not=0 khi và chỉ khi x>0.

Do đó supp(g)=[0, +\infty).

Nếu ta nhận diện được hàm suy rộng đã cho là hàm thông thường liên tục thì việc tính giá sẽ trở nên rất dễ dàng. Câu hỏi: làm thế nào để thấy được hàm suy rộng đã cho là hàm thông thường gì? Trả lời câu hỏi này dựa vào: cho hàm khả tích địa phương f\in L^1_{loc}(\Omega), nó sẽ được coi là hàm suy rộng bằng cách

\langle f, \varphi\rangle =\int\limits_{\Omega}f(x)\varphi(x)dx.

Như vậy cách nhận diện:

+ hàm suy rộng đã cho có dạng tích phân trên toàn \Omega.

Tuy nhiên, ở bài trên miền lấy tích phân chỉ là nửa đường thẳng còn \Omega là toàn bộ đường thẳng. Ta sẽ viết lại

\int\limits_0^{+\infty}x\varphi(x)dx=\int\limits_{-\infty}^0 0\varphi(x)dx+\int\limits_0^{+\infty}x\varphi(x)dx.

Khi đó, những phần không trong miền lấy tích phân hàm suy rộng có giá trị bằng 0.

Với Bài 1/ Đề giữa kỳ Nhóm 2/K52A1T

\langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{|x|\le 1}(1-|x|)\varphi(x)dx+\int\limits_{2<x<3}(x-2)^2(x-3)^2\varphi'(x)dx,

\varphi\in\mathcal D(\mathbb R),

lại xuất hiện đạo hàm \varphi'(x).

Ta dùng tích phân từng phần để chuyển \varphi'(x) về \varphi(x) rồi lấp đầy miền lấy tích phân. Từ đó ta sẽ thấy hàm suy rộng f là hàm thông thường

f(x)=\begin{cases}0 \;\; khi \;\; x\le -1,\\ 1-|x| \;\; khi \;\; -1<x<1,\\ 0 \;\; khi\;\; 1\le x\le 2,\\ -2(x-2)(x-3)(2x-5)\;\; khi \;\; 2<x<3, \\ 0 \;\; khi \;\; x\ge 3.\end{cases}

Các bạn tự kiểm tra lại? Cũng cần lưu ý thêm, từ công thức trên phải chứng minh hàm f liên tục để chuyển về tính giá của hàm liên tục. Việc chứng minh đôi khi chỉ cần vẽ đúng đồ thị của hàm f!

Bài này khá may mắn vì sau khi đổi ta vẫn được dạng tích phân! Ví dụ sau

\langle f, \varphi\rangle=\int\limits_0^1 x\varphi'(x)dx, \varphi\in\mathcal D(\mathbb R)

tình hình sau khi đổi sẽ xuất hiện hàm Dirac. Các bạn thử tính xem?

Các bài đã làm ở trên, hàm suy rộng thông thường đều là hàm liên tục nên việc tính giá chuyển hẳn về giá của hàm liên tục. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có được điều này. Chẳng hạn, Câu (i)/ Đề giữa kỳ Nhóm 1/K50A1T

\langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{-1}^1\varphi(x)dx, \varphi\in\mathcal D(\mathbb R).

Hàm suy rộng f lúc này là hàm thông thường

f(x)=1 khi |x|<1f(x)=0 khi |x|\ge 1.

Hàm thông thường lúc này không liên tục nên ta chỉ "đoán"

suppf=[-1, 1].

Đến đây ta phải chứng minh dự đoán trên qua hai việc:

+) f=0 tại x khi x\not\in[-1, 1],

+) f\not=0 tại x khi x\in[-1, 1].

Do tính đóng của giá nên việc thứ hai ta chỉ cần làm với x\not\in\{\pm1\}.

Khi x\not\in[-1, 1] ta cần tìm một lân cận mở \omega của x để với mọi \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R) thỏa mãn

+) supp\varphi\subset \omega,

+) \langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{-1}^1\varphi(x)dx=0.

Như vậy lân cận cần chọn nên thỏa mãn

\omega\cap[-1, 1]=\emptyset.

Lấy \epsilon=\dfrac{|x|-1}{2}>0, lân cận cần tìm

(x-\epsilon, x+\epsilon).

Khi x\in(-1, 1), với bất kỳ lân cận mở \omega của x cần tìm được một hàm \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R) thỏa mãn

+) supp\varphi\subset \omega,

+) \langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{-1}^1\varphi(x)dx\not=0.

Thứ nhất, ta chỉ cần xét \omega có dạng (x-\sigma, x+\sigma), \sigma>0 đủ bé vì

+ \omega là tập mở chứa x nên sẽ có r>0 để (x-r, x+r)\subset \omega,

+ ta tìm được \varphi cho tập (x-r, x+r) với r nhỏ thì hiển nhiên \varphi cũng sẽ thỏa mãn \omega (tại sao)?

Thứ hai \sigma đủ bé như nào? Do x\in(-1, 1) là tập mở nên \sigma đủ bé để

(x-\sigma, x+\sigma)\subset(-1, 1).

Cụ thể \sigma<\dfrac{1}{2}\min\{x+1, 1-x\}.

Khi đó

\langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{x-\sigma}^{x+\sigma}\varphi(y)dy.

Như vậy ta nên xây dựng hàm \varphi(y) giống hàm

\rho(y)=\begin{cases}e^{\frac{1}{y^2-1}}\; khi \; |y|<1, \\ 0 \; khi \; |y|\ge 1.\end{cases}

Tuy nhiên supp\rho=[-1, 1] nên ta cần dịch chuyển và co hàm \rho. Nói tóm tại hàm cần chọn

\varphi(y)=\rho(\frac{y-x}{\sigma}).

Bài (i)/Đề giữa kỳ Nhóm 1/K51A1T

\langle f, \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{1>|x|>\epsilon}\dfrac{\varphi(x)}{x}dx.

Hàm \dfrac{1}{x} không là hàm khả tích địa phương nhưng từ dạng tích phân ta “đoán”

suppf=[-1, 1].

Khi x\not\in[-1, 1] ta làm giống bài trên.

Khi x\in[-1, 1], giống bài trên ta không cần xét x\in\{\pm1\}. Trong bài này, lưu ý thêm x=0 là điểm kỳ dị nên ta cũng tránh xét x=0. Tóm lại ta chỉ cần xét x\in(-1, 0)\cup(0, 1). Lúc này ta lại làm giống bài trên.

Có những bài không có dạng tích phân, như Câu (vii)/Đề giữa kỳ/K49A1T

\langle g, \varphi\rangle=\sum\limits_{n=1}^\infty \varphi^{(n)}(k_n), \varphi\in\mathcal D(\mathbb R),

trong đó \{k_n\}_{n=1}^\infty là dãy tăng thực sự ra vô cùng.

Như đã học supp\delta=\{0\}. Một cách tương tự ta có supp\delta^{(n)}=\{0\}. Việc chứng minh 0\insupp\delta^{(n)} có đôi chút khó khăn vì phải tìm

\varphi\in\mathcal D(-\sigma, \sigma)\varphi^{(n)}(0)\not=0.

Với hàm \rho(x) như trên ta chọn

\varphi(x)=x^n\rho(\frac{x}{\sigma}).

Như vậy có thể “đoán”

suppg=\{k_1, k_2, \dots, k_n, \dots\}.

Việc chứng minh dự đoán trên xin dành bạn đọc.

2 thoughts on “Xác định giá

  1. datuan5pdes

    Trong ví dụ cuối bài có xây dựng hàm

    \varphi(x)=x^n\rho(\frac{x}{\sigma})

    thoả mãn

    \varphi^{(n)}(0)\not=0.

    Đây là một cách trả lời thắc mắc của bạn Lê Đức Nhiên về sự tồn tại của hàm này.

    Lưu ý

    \rho^{(2k+1)}(0)=0.

    Ta còn có cách khác xây dựng hàm kiểu này như trong bài “Dấu hiệu Weierstrass-Điều kiện cần để chuỗi hội tụ”

    https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/11/07/dau-hieu-weierstrass-dieu-kien-can-de-chuoi-hoi-tu/

    Cụ thể

    e^x\psi(x-n^2)

    trong đó \psi(x)\in C^\infty_0(\mathbb R) thoả mãn

    \psi(x)=1 khi |x|<1/2\psi(x)=0 khi |x|\ge1.

  2. datuan5pdes

    Sau khi nhận dạng hàm suy rộng là hàm thông thường, ngoài việc xác định giá như bài viết trên ta còn có thể:

    + nếu hàm thông thường có nguyên hàm thông thường thì nguyên hàm đó cũng chính là nguyên hàm suy rộng, hoặc nếu không được như vậy ta cũng có thể mò nguyên hàm suy rộng nhờ “nguyên hàm ” tính theo cách “thông thường” rồi chứng minh lại;

    + nếu hàm thông thường khả vi thì đạo hàm thông thường của nó chính là đạo hàm suy rộng của nó.

    Chẳng hạn ta thử làm Câu (i)/ Đề giữa kỳ Nhóm 1/K50A1T

    \langle f, \varphi\rangle=\int\limits_{-1}^1\varphi(x)dx.

    Dạng thông thường của hàm suy rộng này

    f(x)=\begin{cases}1 \; khi \; |x|<1,\\ 0 \; khi \; |x|\ge 1.\end{cases}

    Hàm này không có nguyên hàm thông thường vì tập ảnh của nó không liên thông (không có tính chất Darboux). Tuy nhiên ta có thể mò được "nguyên hàm" bằng cách tính trên từng khoảng như sau.

    TH1: x<-1: F(x)=C_1.

    TH2: -1<x<1: F(x)=C_2+x.

    TH3: x>1: F(x)=C_3.

    Lưu ý khi tính từng phần như trên các hằng số C_1, C_2, C_3 chưa có liên hệ gì, đặc biệt chúng không bằng nhau (các bạn sinh viên thường viết chung là C gây ra hiểu nhầm chúng bằng nhau!).

    Giờ ta cần ghép lại, vì “nguyên hàm” F cần xác định trên toàn đường thẳng với hằng số C chung. Lúc này các C_1, C_2, C_3 sẽ phải có mối quan hệ với nhau để dẫn đến một C chung. Ta cần mượn tính “liên tục” của nguyên hàm để nối

    F(-1_-)=F(-1_+) dẫn đến C_1=C_2-1,

    F(1_-)=F(1_+) dẫn đến C_2+1=C_3.

    Như vậy ta chọn C_2=C

    C_1=C-1, C_3=C+1

    ta có “nguyên hàm”

    F(x)=\begin{cases}C-1 \; khi \; x\le -1,\\ C+x \; khi \; -1 <x<1,\\ C+1 \; khi \; x\ge1.\end{cases}

    Cuối cùng ta cần kiểm tra

    \langle F, \varphi'\rangle=-\langle f, \varphi\rangle

    hay

    \int\limits_{-\infty}^{-1}(C-1)\varphi'(x)dx+\int\limits_{-1}^1(C+x)\varphi'(x)dx+

    +\int\limits_1^{\infty}(C+1)\varphi'(x)dx=-\int\limits_{-1}^1\varphi(x)dx,

    với \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R).

    Tiếp đến tính đạo hàm suy rộng, tại hai điểm \pm 1 có gián đoạn loại 1:

    + tại x=-1 gián đoạn có bước nhảy 1 nên sẽ xuất hiện 1\delta(x+1),

    + tại x=1 gián đoạn có bước nhảy -1 nên sẽ xuất hiện -1\delta(x-1).

    Như vậy dự đoán đạo hàm suy rộng của f

    \delta(x+1)-\delta(x-1).

    Các bạn thử kiểm tra lại?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s