Từ hàm Dirac dẫn đến sự phân kỳ chuỗi Fourier

Trong phần “Phản hồi” của bài “Sự phân kỳ của chuỗi Fourier – Ví dụ của Kolmogorov”

http://bomongiaitich.wordpress.com/2014/01/01/su-phan-ky-cua-chuoi-fourier-vi-du-cua-kolmogorov/#comments

tôi có đề cập đến cách tiếp cận trong cuốn “An introduction to Harmonic Analysis” của Y. Katznelson. Trong cách tiếp cận này, Y. Katznelson đưa ra cách nhìn khác về việc xây dựng hàm khả tích có chuỗi Fourier phân kỳ hầu khắp nơi. Cách nhìn này sử dụng:

– nhân de la Vallee Poussin,

– hàm Dirac,

– Định lý Kronecker.

Dưới đây tôi sẽ thử trình bày chi tiết cách nhìn này.

Khi bắt đầu làm quen với chuỗi Fourier ta gặp nhân Dirichlet

+ tổng riêng S_n(f; x)=\sum\limits_{|k|\le n}c_ke^{ikx}=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}D_n(x-t)f(t)dt

với D_n(x) là nhân Dirichlet có dạng

D_n(x)=\dfrac{1}{2}\sum\limits_{|k|\le n}e^{ikx}=\dfrac{\sin\big((2n+1)x/2\big)}{\sin(x/2)}

và hệ số Fourier

c_k=c_k(f)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)e^{-ikx}dx.

Thoạt nhìn nhân Dirichlet là hàm khá tốt:

– hàm lượng giác và có

\int\limits_0^{2\pi}D_n(x)dx=\pi, \forall n\in\mathbb Z_+.

Tuy nhiên cách biểu diễn sau cho ta thấy nhiều điều khó khăn do tính “không đều” theo n của nhân Dirichlet! Cụ thể

\int\limits_0^{2\pi}|D_n(x)|dx có cỡ \log n.

Sự bất ổn này làm hỏng suy nghĩ đẹp ban đầu của Fourier rằng: khai triển Fourier của mọi hàm (liên tục) đều hội tụ điểm đến đúng hàm ban đầu. Người đầu tiên làm điều này là Du Bois Reymond (1876). Tuy nhiên sau đó L. Fejer lại cho thấy suy nghĩ đẹp của Fourier vẫn đẹp. L. Fejer đưa ra cách thức hội tụ khác, hội tụ trung bình nghĩa là không chỉ dùng cái hiện tại, tổng riêng S_n, mà dùng cả quá khứ, trung bình Cesaro (Cesaro means)

\sigma_n=\dfrac{S_0+S_1+\dots+S_n}{n+1}.

Khi đó xuất hiện nhân Fejer

\sigma_n(f; x)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}K_n(x-t)f(t)dt,

với K_n(x) là nhân Fejer xác định bởi

K_n(x)=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n D_k(x)=\dfrac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n+1}\dfrac{n+1-k}{n+1}\cos(kx)
=\dfrac{\sin^2((n+1)x)}{2(n+1)\sin^2(x/2)}.

Nhân Fejer cũng làm hàm lượng giác như nhân Dirichlet và thỏa mãn

\int\limits_0^{2\pi}K_n(x)dx=\pi, \forall n\in\mathbb Z_+.

Hơn thế nữa nó là hàm dương! Điều này dẫn đến, trung bình Cesaro của hàm liên tục hội tụ đến chính nó! Cũng cần nói thêm L. Fejer đưa ra kết quả này khi mới 19 tuổi. Như vậy L. Fejer cho thấy từ khai triển Fourier của hàm liên tục vẫn có thể khôi phục lại hoàn toàn hàm đó. Các nhà toán học vẫn cảm thấy chưa hài lòng với kết quả này, đặc biệt khi xuất hiện tích phân Lebesgue. N. N. Luzin quay trở lại cách hội tụ ban đầu, nghĩa là xem dãy tổng riêng S_n có hội tụ hầu khắp nơi hay không? A. N. Kolmogorov đã dùng nhân Fejer để xây dựng hàm khả tích có chuỗi Fourier phân kỳ khắp nơi. Katznelson lại dùng nhân de la Vallee Poussin, cầu nối giữa nhân Dirichlet và nhân Fejer,

V_{n, p}(x)=\dfrac{1}{p+1}\sum\limits_{k=n-p}^n D_k(x), p=0, 1, \dots, n.

Khi p=0 thì nhân de la Vallee Poussin trùng với nhân Dirichlet; còn khi p=n nó trùng với nhân Fejer. Trong cách tiếp cận của Y. Katznelson dùng

V_{2n+1, n}(x)=\dfrac{1}{n+1}\sum\limits_{k=n+1}^{2n+1}D_{k}(x)=2K_{2n+1}(x)-K_n(x).

de la Vallee Poussin dùng nhân V_{n, p} để nghiên cứu xấp xỉ hàm còn Y. Katznelson lại để ý tính chất,

+ gần giống tính chất của nhân Dirichlet, có hệ số Fourier

c_k=\dfrac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi}V_{2n+1, n}(x)e^{-ikx}dx=1, |k|\le n

+ gần giống tính chất của nhân Fejer, có chuẩn trong L^1

\int\limits_0^{2\pi}|V_{2n+1, n}(x)|dx\le 3\pi (bị chặn đều).

Tiếp đến Y. Katznelson sử dụng hàm Dirac như sau

\mu_n=\dfrac{1}{L_n}\sum\limits_{k=1}^{L_n} \delta(x-x_j)

với x_1, x_2, \dots, x_{L_n} là các số thực.

Lấy tích chập

\varphi_n(x)=\mu_n*V_{2n+1, n}(x)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n (2K_{2n+1}(x-x_k)-K_n(x-x_k))

là đa thức lượng giác có

(+) \int\limits_0^{2\pi}|\varphi_n(x)|dx\le 3\pi,

(+) hệ số Fourier

c_k(\varphi_n)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\mu_n*V_{2n+1, n}(x)dx=c_k(\mu_n)c_k(V_{2n+1, n})

=c_k(\mu_n), |k|\le n

nên

S_k(\varphi_n; x)=S_k(\mu_n; x), 0\le k\le n.

Giả sử với mỗi n ta đều tìm được các số thực x_1, x_2, \dots, x_{L_n} để

S^*(\mu_n; x)=\sup\limits_{k\in\mathbb Z}|S_k(\mu_n; x)|\ge n, h.k.n.

Khi đó với mỗi n có số tự nhiên m_n và tập E_n\subset [0, 2\pi] thỏa mãn

|E_n|\ge 2\pi-1/n,

\sup\limits_{0\le k\le m_n}|S_k(\mu_n; x)|>n-1/n, \forall x\in E_n.

Khi đó

\sup\limits_{|k|\le m_n}|S_k(\varphi_{m_n}; x)|\ge n-1/n, \forall x\in E_n.

Đặt P_j(x)=j^{-2}\varphi_{m_{2^j}}(x)

(+) P_j(x) là đa thức lượng giác có

\int\limits_0^{2\pi}|P_j(x)|dx\le \dfrac{3\pi}{j^2},

\sup\limits_{|k|\le m_{2^j}}|S_k(\varphi_{m_{2^j}}; x)|\ge j^{-2}(2^j-2^{-j}), \forall x\in E_{m_{2^j}},

(+) \sum\limits_{j=1}^\infty \int\limits_0^{2\pi}|P_j(x)|dx\le 3\pi\sum\limits_{j=1}^\infty j^{-2}=\pi^3/2,

(+) với x\in \cap_{n=1}^\infty\cup_{j=n}^\infty E_{m_{2^j}}, nghĩa là x thuộc vào vô số tập E_{m_{2^j}}, ta có

\sup\limits_{j\in\mathbb N} S^*(P_j; x)=\infty.

Đến đây Y. Katznelson dùng kết quả sau:

Tập E là tập phân kỳ của L^1([0, 2\pi]) khi và chỉ khi có một dãy các đa thức lượng giác P_j(x), j=1, 2, \dots thỏa mãn

(+) \sum\limits_{j=1}^\infty \int\limits_0^{2\pi}|P_j(x)|dx<\infty,

(+) \sup\limits_{j\in\mathbb N}S^*(P_j; x)|=\infty, \forall x\in E.

Từ kết quả này có \cap_{m=1}^\infty\cup_{j=m}^\infty E_{m_{2^j}} là tập phân kỳ của L^1([0, 2\pi]) hay có hàm khả tích mà chuỗi Fourier của nó phân kỳ h.k.n.

Phần việc còn lại: tìm các số thực x_1, x_2, \dots, x_{L_n} để

S^*(\mu_n; x)>n, h.k.n.

Có tổng riêng

S_k(\mu_n; x)=\mu_n*D_k(x)=\dfrac{1}{L_n}\sum\limits_{j=1}^{L_n}D_k(x-x_j)

=\dfrac{1}{L_n}\sum\limits_{j=1}^{L_n}\dfrac{\sin(\frac{(2k+1)(x-x_j)}{2})}{2\sin(\frac{x-x_j}{2})}.

Đến đây nếu ta làm như Kolmogorov:

chọn x_j=\dfrac{4j\pi}{2L_n+1}, j=1, 2, \dots, L_n

k\in\mathbb N sao cho 2k+1=N(2L_n+1)

\dfrac{(2k+1)(x-x_j)}{2}=\dfrac{(2k+1)(x-x_i)}{2}.

Khi đó với x\not=x_j, \forall j=1, 2, \dots, n

S_k(\mu_n; x)=\dfrac{\sin(\frac{(2k+1)(x-x_1)}{2})}{L_n}\sum\limits_{j=1}^{L_n}\dfrac{1}{\sin((x-x_j)/2)}.

Ta vướng phải dấu của hàm \sin((x-x_j)/2).

Katznelson khéo léo vượt qua điểm này bằng cách dùng Định lý Kronecker.

Định lý Kronecker được phát biểu như sau.

Cho các số thực x_1, x_2, \dots, x_L thỏa mãn x_1, x_2, \dots, x_L, \pi độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỷ. Khi đó với bất kỳ bộ số thực \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_L và số dương \epsilon ta đều tìm được số tự nhiên M để

|e^{iMx_j}-e^{i\alpha_j}|<\epsilon, j=1, 2, \dots, L.

Katznelson chọn x_1, \dots, x_{L_n} thỏa mãn x_1, \dots, x_{L_n}, \pi độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỷ. Từ đó dẫn đến với hầu hết x\in[0, 2\pi] ta có x-x_1, \dots, x-x_{L_n}, \pi độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỷ. Với mỗi x như vậy, lấy \epsilon=1/2, \alpha_j=(\epsilon_j\pi-x+x_j)/2 với \epsilon_j=sgn(\sin((x-x_j)/2)). Theo Kronecker có một số tự nhiên M phụ thuộc x sao cho

|e^{iM(x-x_j)}-e^{i(\epsilon_j\pi-x+x_j)/2}|\le 1/2, j=1, 2, \dots, L_n,

hay

|e^{i\frac{(2M+1)(x-x_j)}{2}}-i\;sgn(\sin(\frac{x-x_j}{2}))|\le 1/2, j=1, 2, \dots, L_n.

Do đó

|\sin(\frac{(2M+1)(x-x_j)}{2})-\dfrac{\sin(\frac{x-x_j}{2})}{|\sin(\frac{x-x_j}{2})|}|\le 1/2, j=1, 2, \dots, L_n,

hay

\dfrac{\sin(\frac{(2M+1)(x-x_j)}{2})}{\sin(\frac{x-x_j}{2})}\ge \dfrac{1}{2|\sin(\frac{x-x_j}{2})|}, j=1, 2, \dots, L_n.

Tóm lại, với hầu hết x\in[0, 2\pi] đều có số tự nhiên M để

S_M(\mu_n; x)\ge \dfrac{1}{L_n}\sum\limits_{j=1}^{L_n}\dfrac{1}{4|\sin(\frac{x-x_j}{2})|}.

|\sin(\frac{x-x_j}{2})|\le \frac{|x-x_j|}{2}

nên

S_M(\mu_n; x)\ge \dfrac{1}{L_n}\sum\limits_{j=1}^{L_n}\dfrac{1}{2|x-x_j|}.

Đến đây ta cần các x_j cách nhau tương đối đều như cách chọn của A. N. Kolmogorov, cụ thể

|x_j-\dfrac{4j\pi}{2L_n+1}|<L_n^{-2}, j=1, 2, \dots, L_n.

Khi đó nếu x\in (\dfrac{4k\pi}{2L_n+1}, \dfrac{4(k+1)\pi}{2L_n+1}) thì

|x-x_j|\le \dfrac{8\pi}{2L_n+1}\max\{j-k, k+1-j\}.

Như vậy ta tìm được số dương C không phụ thuộc x để

S_M(\mu_n; x)\ge C\log(L_n).

Lấy L_n đủ lớn (phụ thuộc n, không phụ thuộc x), chọn x_j, j=1, 2, \dots, L_n thỏa mãn

(+) |x_j-\dfrac{4j\pi}{2L_n+1}|\le L_n^{-2},

(+) x_1, x_2, \dots, x_{L_n}, \pi độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỷ,

với hầu hết x\in[0, 2\pi] ta đều chọn được số tự nhiên M (phụ thuộc x)để

S_M(\mu_n; x)\ge n.

Đến đây ta hoàn thành cách tiếp cận của Y. Katznelson.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s