Độ đo Monge-Ampere

Phương trình Monge-Ampere, dù ở dạng đơn giản nhất

det(D^2 u(x))=f(x), x\in\mathbb R^n,

trong đó u:\mathbb R^n\to \mathbb R là hàm khả vi đến cấp 2,D^2 u(x)=\{\frac{\partial^2 u(x)}{\partial x_i\partial x_j}\}_{1\le i, j\le n} là ma trận Hessian,

cũng vẫn là phương trình phi tuyến hoàn toàn.

Đôi khi việc tìm ngay nghiệm cổ điển của các phương trình gặp khó khăn, người ta tìm nghiệm suy rộng của nó rồi sau đó chứng minh tính trơn của nghiệm suy rộng. Chẳng hạn với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính hệ số hằng

P(D)u(x)=f(x), x\in \mathbb R^n

ta tìm nghiệm cơ bản E\in\mathcal D'(\mathbb R^n) của nó, nghĩa là nghiệm của phương trình

P(D)E(x)=\delta.

Khi đó nghiệm của phương trình ban đầu

u=E*f.

Đến đây tùy theo tính chất của đầu ra f người ta xem tính chất của đầu vào (nghiệm) u.

Tình hình khác đi khi ta xét phương trình phi tuyến nói chung, phương trình Monge-Ampere như trên nói riêng. Dưới đây tôi trình bày cách tiếp cận của A. D. Aleksandrov.

Cách trình bày này tôi dựa vào cuốn

“The Monge-Ampere equation” của C. E. Gutierrez.

Ta bắt đầu từ khái niệm ánh xạ chuẩn tắc (normal mapping), hay còn gọi là dưới vi phân (subdifferential).

Cho hàm u:\mathbb R^n \to \mathbb R, x_0\in\mathbb R^n.

Siêu mặt tựa (supporting hyperplane) của hàm u tại điểm (x_0, u(x_0)) là một hàm affine \ell(x)=u(x_0)+\langle p, x-x_0\rangle sao cho u(x)\ge \ell(x), \forall x\in\mathbb R^n. Ở đây p\in\mathbb R^n\langle p, x-x_0\rangle=\sum\limits_{i=1}^n p_i(x-x_{0i}).

Ánh xạ chuẩn tắc của hàm u là một ánh xạ đa trị

\partial u: \mathbb R^n \to \mathcal P(\mathbb R^n)=\{ tập tất cả các tập con của \mathbb R^n\}

xác định bởi

\partial u(x_0)=\{p\in\mathbb R^n|\; u(x)\ge u(x_0)+\langle p, x-x_0\rangle\; \forall x\in\mathbb R^n\}.

Với mỗi tập E\subset\mathbb R^n ký hiệu \partial u(E)=\cup_{x\in E}\partial u(x).

Chú ý. Nếu có p\in\partial u(y)\cap\partial u(z) thì u(y)-u(z)=\langle p, y-z\rangle. Do đó hàm afine

\ell(x)=u(y)+\langle p, x-y\rangle=u(z)+\langle p, x-z\rangle

là siêu mặt tựa của hàm u tại (y, u(y))(z, u(z)). Do đó \partial u(E) có thể xem là tập các siêu mặt tựa của hàm u tại các điểm (y, u(y)), y\in E.

Một vài ví dụ làm quen các khái niệm trên.

Xét hàm u:\mathbb R^2\to\mathbb R, u(x)=-|x|^2=-(x_1^2+x_2^2). Có thể thấy ngay, tại bất kỳ x_0\in\mathbb R^2 ta đều có \partial u(x_0)=\emptyset.

Ngược lại với hàm u:\mathbb R^2\to\mathbb R, u(x)=|x|^2 ta có \partial u(x)=\{\nabla u(x)=(\frac{\partial u(x)}{\partial x_1}, \frac{\partial u(x)}{\partial x_2})=(2x_1, 2x_2)\}. Một cách tổng quát, nếu u\in C^1(\mathbb R^n, \mathbb R) thì ánh xạ chuẩn tắc có thể xem như đạo
ánh.

Một ví dụ nữa u: \mathbb R^2\to\mathbb R, u(x)=|x|. Hàm u khả vi tại x\not=0 nên \partial u(x)=\{\dfrac{x}{|x|}\}. Tại x=0 ta có (0, 0) là đỉnh của đồ thị của u. Khi đó \partial u(0) gồm các véc-tơ p thỏa mãn

u(x)\ge u(0)+\langle p, x\rangle

hay

(x_1^2+x_2^2)^{1/2}\ge p_1x_1+p_2x_2, \forall x\in\mathbb R^2.

Không khó khăn để thấy \partial u(0)=\bar{B}_1(0). (Các bạn thử kiểm tra lại?)

Khi đó với E\subset \mathbb R^2

(+) nếu 0\in E thì \partial u(E)=\bar{B}_1(0);

(+) nếu 0\not\in E thì \partial u(E)=\{\dfrac{x}{|x|}|\; x\in E\}\subset S_1(0).

Khi quan sát ánh xạ E\mapsto |\partial u(E)| (độ đo của \partial u(E)) thì thấy nó liên quan đến hàm suy rộng |B_1(0)|\delta(x). Nó dẫn đến khái niệm: độ đo Monge-Ampere.

Cho u\in C(\mathbb R^n). Ta có các kết quả sau.

– Lớp S=\{E\subset\mathbb R^n|\; \partial u(E) đo được Lebesgue \} là một \sigma-đại số Borel.

– Hàm tập Mu: S\to [0, \infty], Mu(E)=|\partial u(E)| xác định một độ đo Radon, nghĩa là

(+) nó là một độ đo Borel, hữu hạn trên từng compact,

(+) chính quy ngoài trên mọi tập Borel,

(+) chính quy trong trên mọi tập mở.

Các bạn xem thêm

https://datuan5pdes.wordpress.com/2008/11/18/d%E1%BB%99-do-randon-ham-suy-r%E1%BB%99ng-co-c%E1%BA%A5p-0/

Độ đo Mu được gọi là độ đo Monge-Ampere ứng với hàm u.

Ta cũng có thể hiểu Mu như một hàm suy rộng dương. Chẳng hạn, khi u(x)=|x| thì Mu=|B_1(0)|\delta(x).

Nếu u\in C^2(\mathbb R^n)u là hàm lồi thì

Mu(E)=\int\limits_{E}det(D^2 u(x))dx, E là tập Borel.

Chứng minh điều này cần đến Định lý đổi biến (trong tích phân) và Định lý Sard. Chi tiết các bạn xem trong sách của C. E. Gutierrez.

Điểm này chính là cầu nối Mudet(D^2 u) hay độ đo Monge-Ampere và nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere.

Cho f là một hàm suy rộng dương (hay độ đo Radon). Hàm lồi u\in C(\mathbb R^n) được gọi là nghiệm suy rộng, hay nghiệm Aleksandrov, của phương trình Monge-Ampere

det(D^2 u)=f

nếu độ đo Monge-Ampere Mu ứng với hàm u chính là hàm suy rộng f.

Khi hàm lồi u\in C^2(\mathbb R^n) là nghiệm cổ điển của phương trình thì hiển nhiên nó là nghiệm suy rộng theo nghĩa Aleksandrov.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s