Hàm Dirac – cực điểm trong tập các độ đo Borel xác suất

Trong bài này tôi hạn chế \Omega=(0, 1).

Với mỗi điểm x\in(0, 1) ta có hàm Dirac

\delta_x: \mathcal D(0, 1)\to \mathbb C, \langle \delta_x, \varphi\rangle=\varphi(x).

Như trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2008/11/18/d%E1%BB%99-do-randon-ham-suy-r%E1%BB%99ng-co-c%E1%BA%A5p-0/

có thể thấy ngay \delta_x có thể được xem như độ đo Radon vì \delta_x là một hàm suy rộng dương. Ta cũng có thể thấy cụ thể hơn cách \delta_x là một độ đo Radon bằng cách, với mỗi tập Borel E\subset(0, 1)

\delta_x(E)=1 khi x\in E,

\delta_x(E)=0 khi x\not\in E.

Độ đo Lebesgue m cũng là một trường hợp đặc biệt của độ đo Radon. Điều này không chỉ được nhìn từ con mắt độ đo mà còn có thể nhìn qua con mắt hàm suy rộng, với mỗi \varphi\in\mathcal D(0, 1)

\langle m, \varphi\rangle=\int\limits_0^1 \varphi(x)dx.

Chú ý, do \varphi liên tục nên tích phân Lebesgue cũng là tích phân Riemann.

Không khó để thấy m là hàm suy rộng dương nhờ tính bảo toàn thứ tự của tích phân Riemann. Do đó độ đo Lebesgue m là độ đo Radon.

Quay trở lại quá trình xây dựng tích phân Riemann, bắt đầu với một phân hoạch P=\{x_0=0, x_1, \dots, x_n=1\} và một bộ điểm \xi=\{\xi_1, \dots, \xi_n\} ta lập tổng tích phân Darboux cho hàm \varphi

S(\varphi, P, \xi)=\sum\limits_{j=1}^n \varphi(\xi_j)\Delta_j, \Delta_j=x_j-x_{j-1}.

Ta có thể viết lại tổng tích phân trên dưới dạng

S(\varphi, P, \xi)=\sum\limits_{j=1}^n \Delta_j\langle \delta_{x_j}, \varphi\rangle

hay nói cách khác S(., P, \xi) có thể xem như một hàm suy rộng vì nó là một tổ hợp tuyến tính của các hàm Dirac \delta_{x_j}.

Do \varphi liên tục nên nếu ta chọn x_j=\xi_j=j/n rồi cho n ra vô cùng ta có

S(\varphi, P, \xi)\to \langle m, \varphi\rangle.

Như vậy độ đo Lebesgue trên (0, 1) có thể được xây dựng nhờ quá trình lấy giới hạn trong \mathcal D' của tổ hợp tuyến tính

\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n \delta_{\frac{j}{n}}.

Câu hỏi: liệu các độ đo Radon khác có tính chất này hay không?

Trả lời: mỗi độ đo Radon hữu hạn đều là giới hạn trong \mathcal D' của dãy các tổ hợp tuyến tính của các hàm Dirac.

Độ đo Radon hữu hạn trên (0, 1) là các độ đo Radon \mu thỏa mãn \mu(0, 1)<\infty. Độ đo Borel xác suất là các độ đo Radon \mu thỏa mãn \mu(0, 1)=1. Dễ thấy rằng nếu câu trả lời trên đúng cho các độ đo Borel xác suất thì nó sẽ đúng cho các độ đo Borel hữu hạn.

Quay trở lại độ đo Lebesgue trên (0, 1)

+) m(0, 1)=1 nên độ đo Lebesgue trên (0, 1) là độ đo Borel xác suất;

+) \delta_x(0, 1)=1\;\forall x\in(0, 1) nên hàm Dirac \delta_x cũng là độ đo Borel xác suất;

+) tổ hợp tuyến tính

\dfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n \delta_{\frac{j}{n}}

là một tổ hợp lồi.

Điều trên không chỉ đúng cho độ đo Lebesgue mà nó còn đúng cho các độ đo Borel xác suất, nghĩa là

mỗi độ đo Borel xác suất là giới hạn trong \mathcal D' của dãy các tổ hợp lồi của các hàm Dirac.

Điều này là hệ quả của Định lý Krein-Milman:

Trong không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương, mỗi tập compact lồi đều là bao lồi đóng của tập các cực điểm của nó.

Ta cần xem không gian véc-tơ tôpô lồi địa phương ở đây là không gian nào? Nó chính là không gian \mathcal M(0, 1) các độ đo Radon phức, không gian đối ngẫu của không gian định chuẩn C_0(0, 1)=\{\varphi:(0, 1)\stackrel{lt}{\to}\mathbb C|\; supp\varphi\; compact\} với chuẩn

||\varphi||_\infty=\sup_{x\in(0, 1)}|\varphi(x)|.

Trên không gian \mathcal M(0, 1) ta chọn tôpô yếu*, nghĩa là tôpô sinh ra từ họ các tập mở chứa gốc 0 có dạng

U(0, \varphi_1, \dots, \varphi_n, \epsilon)=\{\mu\in\mathcal M(0, 1)|\; |\int\limits_0^1 \varphi(x)d\mu|<\epsilon\}

với \varphi_1, \dots, \varphi_n\in C_0(0, 1).

Với tôpô yếu* ta có

+) theo Định lý Banach-Alaogu, hình cầu đơn vị

B_1(0)=\{\mu\in\mathcal M(0, 1)|\; |\int\limits_0^1\varphi(x)d\mu|\le 1 \; \forall ||\varphi||_\infty\le 1\}

là tập compact trong tôpô yếu*;

+) theo Định lý Weierstrass về xấp xỉ đều hàm liên tục trên một đoạn bởi đa thức nên C_0(0, 1) là không gian khả ly nên với tôpô yếu* không gian \mathcal M(0, 1) khả metric, do đó compact trùng với compact dãy;

+) dãy \mu_n\in\mathcal M(0, 1) hội tụ đến \mu\in\mathcal M(0, 1) theo tôpô yếu* khi và chỉ khi nó hội tụ điểm, từ đó dẫn đến hội tụ trong \mathcal D'.

Tập các độ đo Borel xác suất \Delta trên (0, 1) là tập con lồi, đóng (theo tôpô yếu*) trong hình cầu đơn vị B_1(0). Nên từ trên, để chứng minh mỗi độ đo Borel xác suất là giới hạn trong \mathcal D' của dãy các tổ hợp lồi các hàm Dirac ta chỉ còn phải chứng minh tập các hàm Dirac là tập các cực điểm trong \Delta.

Vậy cực điểm là gì? Trong không gian véc-tơ cho một tập A và một điểm x\in A. Điểm x được gọi là cực điểm của tập A nếu

từ y, z\in Ax=\dfrac{1}{2}(y+z) thì y=z=x.

Chẳng hạn trong đường thẳng, đầu mút của đoạn thẳng là cực điểm của nó; hay trong mặt phẳng, các đỉnh của hình vuông là cực điểm của nó và đặc biệt đường tròn đơn vị chính là tập các cực điểm của hình tròn đơn vị. Cũng cần lưu ý không phải tập nào cũng có cực điểm, chẳng hạn tập số hữu tỷ trong khoảng (0, 1).

Chú ý \mathcal M(0, 1) cũng là đối ngẫu của C[0, 1].

Quay trở lại việc chứng minh tập các hàm Dirac là tập các cực điểm của tập các độ đo Borel xác suất \Delta ta sẽ làm hai bước

+ chứng minh với mỗi x\in[0, 1] hàm Dirac \delta_x là cực điểm của \Delta,

+ chứng minh: nếu \mu là cực điểm của \Delta thì nó là hàm Dirac.

Cách chứng minh này dựa vào cuốn

“A course in convexity” của A. Barvinok.

Tôi sẽ không đi chi tiết mà chỉ đưa ra các bước của chứng minh. Bạn đọc thử tự hoàn thiện chứng minh xem sao?

Việc chứng minh hàm Dirac \delta_{x_0} là cực điểm của tập \Delta được thông qua các bước:

giả sử \mu_1, \mu_2\in\Delta sao cho \delta_{x_0}=\dfrac{1}{2}(\mu_1+\mu_2),

– khi đó với \varphi\in C[0, 1], 0\le \varphi(x)\le 1\; \forall x\in(0, 1), \varphi(x_0)=1 thì

\langle \mu_j, \varphi\rangle=1=\varphi(x_0);

– tiếp đến, nhờ tính tuyến tinh của \mu_j, với \varphi\in C[0, 1]\varphi(x)\le \varphi(x_0)\; \forall x\in(0, 1) thì

\langle\mu_j, \varphi\rangle=\varphi(x_0);

– với mỗi \varphi\in C[0, 1] ta có thể phân tích

\varphi(x)=\varphi_1(x)-\varphi_2(x)

với \varphi_j\in C[0, 1], \varphi_j(x)\le\varphi_j(x_0)\;\forall x\in(0, 1);

– lại nhờ tính tuyến tính của \mu_j nên

\langle \mu_j, \varphi\rangle=\varphi(x_0)\;\forall \varphi\in C[0, 1]

do đó ta có \mu_j=\delta_{x_0}.

Cuối cùng ta chứng minh nếu \mu\in\Delta thì sẽ có x_0\in[0, 1] để \mu=\delta_{x_0} qua các bước:

– với \varphi\in C[0, 1], 0<\varphi(x)<1 thì

0<\langle \mu, \varphi\rangle<1;

– với \varphi, \psi\in C[0, 1], 0<\varphi<1 thì

\langle \mu, \varphi\psi\rangle=\langle \mu, \varphi\rangle\langle \mu, \psi\rangle;

– nhờ tính tuyến tính ta cũng có điều trên với mọi \varphi, \psi\in C[0, 1];

– đặt H=ker(\mu)=\{\varphi\in C[0, 1]|\; \langle \mu, \varphi\rangle\}=0, khi đó với \varphi\in H sẽ có một điểm x_1\in[0, 1] để

\varphi(x_1)=0;

– đặt X_\varphi=\{x\in[0, 1]|\; \varphi(x)=0\}, \varphi\in H, khi đó với \varphi_1, \dots, \varphi_n\in H

\cap_{j=1}^n X_{\varphi_j}\not=\emptyset

từ đó, và tính compact, ta có

\cap_{\varphi\in H}X_\varphi\not=\emptyset;

– lấy x_0\in \cap_{\varphi\in H}X_\varphi

H\subset ker(\delta_{x_0})=\{\varphi\in C[0, 1]|\; \varphi(x_0)=0\}

từ đó có hằng số thực dương \alpha để

\mu=\alpha\delta_{x_0};

– do cùng là độ đo Borel xác suất nên \mu=\delta_{x_0}.

Còn một điểm nhỏ: làm thế nào để loại được \{\delta_0, \delta_1\} trong chứng minh trên?

One thought on “Hàm Dirac – cực điểm trong tập các độ đo Borel xác suất

  1. datuan5pdes

    Việc chuyển từ (0, 1) tập mở bị chặn \Omega\subset\mathbb R^n khá dễ dàng. Khi đó ta có mọi độ đo Radon hữu hạn đều là giới hạn suy rộng của dãy các tổ hợp tuyến tính của các hàm Dirac \delta_x, x\in\Omega. Kết quả này được dùng trong việc chuyển việc giải bài toán biên Monge-Ampere không thuần nhất

    det(D^2 u)=\mu trong \Omega,

    u=g trên biên \partial\Omega

    với \mu là độ đo Radon hữu hạn trên \Omega

    sang bài toán tương tự với \mu=\delta_x.

    Chi tiết các bạn xem trong cuốn

    “The Monge-Ampere equation” của C. E. Gutierrez.

    Qua đó ta thấy ví dụ hình nón u(x)=||x|| là một ví dụ đơn giản và có ý nghĩa gần như nghiệm cơ bản trong phương trình tuyến tính.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s