Độ đo điều hòa

Độ đo điều hòa là một cách nhìn khác về hàm Green, nó xuất phát từ việc đưa ra công thức nghiệm cho bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace

\Delta u=0 trong miền mở, bị chặn \Omega\subset\mathbb R^n với biên \partial\Omega đủ tốt (chẳng hạn lớp C^1),

với điều kiện biên Dirichlet

u|_{\partial\Omega}=f\in C(\partial\Omega).

Như đã biết bài toán biên Dirichlet trên là đặt chỉnh, nghĩa là

+) với mỗi f\in C(\partial\Omega) có một duy nhất hàm u_f\in C^2(\Omega) là nghiệm của bài toán Dirichlet trên, điều này cho ta một ánh xạ tuyến tính

f\mapsto u_f từ C(\partial\Omega)\to C^2(\Omega),

+) tính phụ thuộc liên tục có được nhờ nguyên lý cực đại

\sup\limits_{x\in\Omega}|u_f(x)|\le ||f||_{C(\partial\Omega)}.

Khi đó, với mỗi x\in\Omega cố định, ta xét ánh xạ

f\mapsto u_f(x) từ C(\partial\Omega)\to\mathbb R

là ánh xạ tuyến tính liên tục trên C(\partial\Omega).

Lưu ý

+) \partial\Omega là tập compact nên C_0(\partial\Omega)=C(\partial\Omega)

+) nếu f\ge 0 thì theo nguyên lý cực đại ta có

u_f(x)\ge 0,\forall x\in\Omega.

Do đó ánh xạ tuyến tính liên tục trên sẽ ứng với một độ đo Radon w^x trên \partial\Omega sao cho

u_f(x)=\int\limits_{\partial\Omega}f(y)dw^x(y), \forall f\in C(\partial\Omega).

Đây là độ đo xác suất vì u=1 là nghiệm khi f=1. Hơn nữa nó còn liên quan đến chuyển động Brownian như sau:

w^x(E), với tập Borel E\subset \partial\Omega, là xác suất mà chuyển động Brownian xuất phát từ x mà chạm biên lần đầu tiên tại điểm thuộc E.

Độ đo Radon w^x được gọi là độ đo điều hòa của miền \Omega với cực điểm x.

Các bạn có tham khảo thêm

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_measure

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s