Các dạng bất đẳng thức Poincare 1-chiều

Ta bắt đầu từ hàm một biến f:[a, b]\to\mathbb R là hàm liên tục, trơn từng khúc và đạo hàm f' khả tích địa phương.

(Dạng Steklov) Nếu a=0, b=\pif(0)=f(\pi)=0 hay \int\limits_0^\pi f(x)dx=0 thì

\int\limits_0^\pi f^2(x)dx\le \int\limits_0^\pi (f'(x))^2dx.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

+) TH f(0)=f(\pi)=0f(x)=a\sin x;

+) TH \int\limits_0^\pi f(x)dx=0f(x)=a\cos x.

Để chứng minh dạng Steklov

+) TH f(0)=f(\pi)=0 ta thác triển lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2\pi hàm f lên toàn trục số, tiếp đó khai triển Fourier hàm thác triển này rồi dùng Parseval;

+) TH \int\limits_0^\pi f(x)dx=0 ta thác triển chẵn, tuần hoàn chu kỳ 2\pi hàm f(x) lên toàn trục số rồi làm giống TH trên với chú ý hệ số hằng a_0=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi f(x)dx=0.

Với cách thức chứng minh sử dụng khai triển Fourier ta cũng dẫn đến dạng khác bất đẳng thức Poincare. Dạng này khá thú vị vì nó dẫn đến một cách chứng minh đẹp của bài toán đẳng chu trong mặt phẳng.

(Wirtinger) Nếu a=0, b=2\pif(0)=f(2\pi), \int\limits_0^{2\pi}f(x)dx=0 thì

\int\limits_0^{2\pi}f^2(x)dx\le \int\limits_0^{2\pi}(f'(x))^2dx.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f(x)=a\cos x+b\sin x.

Để ý rằng các TH trên đều có một điểm x_0 sao cho f(x_0)=0. Từ để ý này ta có biểu diễn

f(x)=\int\limits_{x_0}^x f'(t)dt.

Từ đó

|f(x)|\le \int\limits_0^\pi |f'(t)|dt.

Từ bất đẳng thức này có thể dẫn đến bất đẳng thức dạng tổng quát hơn với giả thiết nhẹ hơn như sau.

Xét X là không gian các hàm f:[a, b]\to\mathbb R liên tục, trơn từng khúc và đạo hàm f' khả tích địa phương, có ít nhất một không điểm. Khi đó, với mỗi p\in [1, \infty) có một hằng số C_p sao cho

\int\limits_a^b |f(x)|^p dx\le C_p\int\limits_a^b |f'(x)|^pdx, \forall f\in X.

Với p=\infty ta cũng có hằng số C_\infty để

\sup_{x\in[a, b]}|f(x)|\le C_\infty \sup_{x\in[a, b]}|f'(x)|.

Nhược điểm của dạng tổng quát: hằng số C_p bé nhất là bao nhiêu?

Trong TH p=1 hoặc p=\infty câu trả lời C_1=C_\infty=b-a với giải thích

+) p=1 chọn dãy hàm

f_n(x)=\begin{cases}x-a\; khi \; a\le x\le a+1/n,\\ 1/n \; khi \; a+1/n\le x\le b;\end{cases}

+) p=\infty chọn hàm f(x)=x-a.

Từ cách tiếp cận như trên ta có thể chọn C_p=(b-a)^p. Khi đó ta có thể viết được chung

||f||_{L^p}\le (b-a)||f'||_{L^p}, \forall f\in X.

Câu hỏi: (b-a) có phải là hằng số tốt nhất?

Nếu ta thay X bởi không gian C^1_0[0, \pi] hay rộng hơn H^1_0(0, \pi) (với p=2) thì câu trả lời, như trên ta đã nói, hằng số tốt nhất là 1. Vậy hằng số này có liên quan đến một khái niệm sâu sắc nào không? Nó chính là giá trị riêng bé nhất của toán tử -d^2/dx^2 trong không gian H^1_0(0, \pi).

Chú ý rằng f\in H^1_0(0, \pi) thì f liên tục trên [0, \pi], f(0=f(\pi)=0) và đạo hàm suy rộng f'\in L^2(0, \pi) nên nó ứng với TH đầu của dạng Steklov. Trong không gian H^1_0(0, \pi) ta có bất đẳng thức Poincare có dạng như trên, cụ thể

||f||_{L^2}\le ||f'||_{L^2}, \forall f\in H^1_0(0, \pi).

Với TH \int\limits_0^\pi f(x)dx=0, ta có bất đẳng thức Poincare trong không gian H^1(0, \pi)

||f-\bar{f}||_{L^2}\le ||f||_{L^2}, \forall f\in H^1(0, \pi)

trong đó \bar{f}=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi f(x)dx là trung bình của hàm f(x) trên [0, \pi].

Thế còn với bất đẳng thức Wirtinger? Ta cần đến không gian Sobolev các hàm tuần hoàn H^1(\mathbb T). Có nhiều cách định nghĩa không gian này. Cách đơn giản nhất có lẽ là cách dùng khai triển Fourier như sau.

Không gian H^1(\mathbb T) là không gian các hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi có khai triển Fourier

\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))

với các hệ số Fourier thỏa mãn

a_0^2+\sum\limits_{n=1}^\infty n^2(a_n^2+b_n^2)<\infty.

Khi đó bất đẳng thức Wirtinger có dạng

||f-\bar{f}||_{L^2(\mathbb T)}\le ||f'||_{L^2(\mathbb T)}, \forall f\in H^1(\mathbb T).

Các phát biểu trên hoàn toàn có thể chuyển sang L^p, tuy nhiên việc tìm hằng số tốt nhất là một câu hỏi không dễ. Một câu hỏi khác: hằng số tốt nhất liệu có liên quan đến giá trị riêng của toán tử nào không? Các bạn thử suy nghĩ xem sao?

Có thể thấy các tích phân trong các bất đẳng thức đều lấy trên miền hữu hạn. Liệu có bất đẳng thức

\int\limits_{\mathbb R}f^2(x)dx\le C\int\limits_{\mathbb R}(f'(x))^2dx.

Với không gian H^1_0(\mathbb R) ta có câu trả lời không bằng việc chọn dãy

g_n(x)=\begin{cases}n-|x|\; khi |x|\le n,\\ 0 \; khi \; |x|\ge n.\end{cases}

Tuy nhiên ta vẫn có một số dạng đủ tốt khác.

Lưu ý với f\in X ta có

||f||_{L_\infty} \le ||f'||_{L_1}

và từ đó dẫn đến với mọi p, q\in [1, \infty] đều có hằng số C_{pq} để

||f||_{L^p}\le C_{pq}||f'||_{L^q}.

Để có tình huống gần giống ta chuyển sang hàm nhiều biến. Vấn đề này lúc khác ta sẽ bàn tiếp.

Với bất đẳng thức dạng

||f-\bar{f}||_{L^2}\le ||f'||_{L^2}, f\in H^1(0, \pi)

ta có thể viết

Var_\mu(f)\le C\int\limits_{\mathbb R}|f'(x)|^2d\mu

với \mu là độ đo xác xuất đều trên [0, \pi].

Chuyển sang trường hợp đường thẳng, với \mu là độ đo Gauss ta cũng có được bất đẳng thức Poincare như trên, cụ thể

\int\limits_{\mathbb R}(f(x)-E[f])^2e^{-x^2}dx\le C\int\limits_{\mathbb R}(f'(x))^2e^{-x^2}dx

với f\in C^1(\mathbb R)E[f]=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{\mathbb R}f(x)e^{-x^2}dx.

Tổng quát hơn các bạn có thể tham khảo bài

getdoc381d

3 thoughts on “Các dạng bất đẳng thức Poincare 1-chiều

  1. Pingback: Bất đẳng thức Caccioppoli | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

  2. Pingback: Bất đẳng thức Poincare (tiếp) – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s