Giả thuyết Kato

Giả thuyết Kato bắt đầu từ bài báo

“Fractional powers of dissipative operators”, J. Math. Soc. Japan, Vol. 13, No. 3, 1961, pp. 246-274

của T. Kato.

Bài báo đề cập đến việc tìm hiểu miền xác định của lũy thừa lẻ của toán tử tuyến tính m-accretive. Cụ thể, ta xét một toán tử tuyến tính trên không Hilbert A: D(A)(\subset H)\to H, với H là không gian Hilbert (phức). Khi đó, ta nói A là toán tử m-accretive nếu

(i) Re\langle Au, u\rangle\ge 0\;\forall u\in D(A),

(ii) \sigma(A)\subset \{z\in\mathbb C|\; Re(z)\ge 0\}.

Lũy thừa lẻ của toán tử m-accretive được xác định như sau.

Với \alpha\in(0, 1), toán tử m-accretive Au\in D(A) ta định nghĩa

A^\alpha u= \dfrac{\sin(\alpha \pi)}{\pi}\int\limits_0^\infty \lambda^{\alpha-1}A(\lambda I+A)^{-1}ud\lambda.

Có thể thấy

A^\alpha A^\beta=A^{\alpha+\beta}, (A^\alpha)^*=(A^*)^\alpha

trong đó A^* là toán tử liên hợp của A.

Trong bài báo trên T. Kato đã chỉ ra

D(A^\alpha)=D((A^*)^\alpha) khi 0<\alpha<1/2.

Và khi 1/2<\alpha<1 đẳng thức trên nói chung không còn đúng.

Trường hợp \alpha=1/2 là câu hỏi mở trong bài báo.

Tiếp theo bài báo của T. Kato, J. L. Lions chứng minh được

D(A^\alpha)=[H, D(A)]_\alpha

là không gian nội suy giữa HD(A).

Từ đó J. L. Lions chỉ ra một số lớp toán tử có

D(A^{1/2})=D((A^*)^{1/2}),

chẳng hạn các toán tử có D(A)=D(A^*).

Sau đó J. L. Lions tính toán chi tiết ví dụ sau trong bài báo của T. Kato.

Xét A=\dfrac{d}{dx} với

D(A)=H^1_0(0, \infty)\subset H=L^2(0, \infty).

Chú ý tích vô hướng trong H=L^2(0, \infty) được cho bởi

\langle u, v\rangle=\int\limits_0^\infty u(x)v(x)dx.

Khi đó toán tử liên hợp A^*=-\dfrac{d}{dx} với

D(A^*)=H^1(0, \infty).

Sử dụng kết quả chứng minh ở trên

D(A^\alpha)=[L^2(0, \infty), H^1_0(0, \infty)]_\alpha,

D((A^*)^\alpha)=[L^2(0, \infty), H^1(0, \infty)]_\alpha.

J. L. Lions và E. Magenes lại chứng minh được

[L^2(0, \infty), H^1_0(0, \infty)]_\alpha=H^\alpha_0(0, \infty) khi \alpha\in(0, 1)\setminus\{1/2\},

[L^2(0, \infty), H^1_0(0, \infty)]_{1/2} là không gian con thực sự của H^{1/2}_0(0, \infty)=H^{1/2}(0, \infty),

[L^2(0, \infty), H^1(0, \infty)]=H^\alpha(0, \infty) khi \alpha\in (0, 1).

Như vậy

+) với 0<\alpha< 1/2D(A^\alpha)=D((A^*)^\alpha),

+) với 1/2\le \alpha<1D(A^\alpha)\not=D((A^*)^\alpha).

Như vậy khi \alpha=1/2 không có dấu bằng.

Tiếp tục hướng này, năm 1972, trong bài báo

"On the comparability of A^{1/2} and A^{*1/2}", Proc. AMS., Volume 32, Number 2. April 1972, pp.430-434,

A. McIntosh chỉ ra phản ví dụ khác.

Số mũ 1/2 là một ranh giới cần tìm hiểu.

Như vậy việc so sánh D(A^{1/2})D((A^*)^{1/2}) chưa có câu trả lời trọn vẹn. Một câu hỏi khó không kém, ngay cả khi ta có dấu bằng, ngay cả khi A là toán tử tự liên hợp:

miền xác định D(A^{1/2}) là gì?

Để hiểu điều này ta xét toán tử elliptic A=-\dfrac{d}{dx}\Big(a(x)\dfrac{d}{dx}\Big) với a\in L^\infty(\mathbb R), a(x)\ge 1\;a.e. x\in\mathbb R

D(A)=\{u\in H^1(\mathbb R)|\; au'\in H^1(\mathbb R)\}\subset H=L^2(\mathbb R).

Không khó để thấy A là toán tử tự liên hợp, nghĩa là A=A^*. Khi đó đương nhiên ta có dấu bằng

D(A^{1/2})=D((A^*)^{1/2}).

Nhưng để trả lời chính xác nó là gì thì phải đến năm 1982 ba nhà Toán học R.R. Coifman, A. McIntosh, Y. Meyer mới trả lời

D(A^{1/2})=H^1(\mathbb R)

trong bài báo

"L'integral de Cauchy definit un operateur borne sur L2 pour les courbes Lipschitziennes", Annals of Math., 116. (1982), pp. 361-387.

Như vậy các nhà toán học này đã đưa ra câu trả lời khẳng định cho Giả thuyết Kato trong trường hợp 1-chiều. Vậy Giả thuyết Kato được phát biểu như nào?

Xét toán tử elliptic

Au=-div(A(x)\nabla u)

với A(x)=(a_{jk}(x))_{1\le j, k\le n} là ma trận gồm các phần tử a_{jk}\in L^\infty(\Omega), \Omega là tập mở trong \mathbb R^n, thỏa mãn

Re(\sum\limits_{j, k=1}^n a_{jk}(x)\zeta_j\overline{\zeta_k})\ge C|\zeta|^2, \forall x\in\Omega, \forall \zeta\in \mathbb C^n,

trong đó C là hằng số dương và

D(A)=\{u\in H^2_0(\Omega)|\; Au \in L^2(\Omega)\}\subset H=L^2(\Omega).

Giả thuyết Kato được phát biểu:

D(A^{1/2})=H^1_0(\Omega).

Giả thuyết Kato về cơ bản đã được trả lời vào năm 2002 bởi các nhà Toán học Pascal Auscher, Steve Hofmann, Michael Lacey, Alan McIntosh và Philippe Tchamitchian trong bài báo

"The solution of the Kato square root problem for second order elliptic operators on \mathbb R^n", Annals of Mathematics 156 (2002), pp. 633-654.

Để hiểu thêm về Giả thuyết Kato các bạn có thể tham khảo các bài

http://people.math.gatech.edu/~lacey/research/Kenig_on_Kato.pdf

http://maths-people.anu.edu.au/~alan/lectures/Blau.pdf

http://arxiv.org/pdf/math/0108029.pdf

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s