Nội suy không gian W^s([0, \infty))

Ta bắt đầu vài nét về lý thuyết nội suy không gian. Cho X, Y là các không gian Hilbert thỏa mãn:

+) về mặt tập hợp X\subset Y, hơn nữa tập X trù mật trong Y,

+) phép nhúng X\hookrightarrow Y liên tục.

Có thể thấy trong không gian Sobolev điều này xảy ra khá phổ biến, chẳng hạn X=W^s(\mathbb R), Y=W^t(\mathbb R), s>t.

Xét toán tử tuyến tính, xác định dương (positive)

\Lambda : D(\Lambda)=X\to Y.

Nhắc lại một chút về toán tử xác định dương: toán tử \Lambda được gọi là xác định dương nếu tập giải \rho(\Lambda) của toán tử \Lambda chứa nửa trục âm (-\infty, 0), và có một số dương C sao cho

||(\Lambda - t Id)^{-1}||\le \dfrac{C}{1+|t|}, \forall t\in (-\infty, 0).

Có thể nghĩ đến ngay vài ví dụ về toán tử xác định dương

+) toán tử vi phân \dfrac{d}{dx}: W^1(\mathbb R)=X\to L^2(\mathbb R)=Y,

+) toán tử Laplace -\Delta=-\dfrac{d^2}{dx^2}: W^2(\mathbb R)=X\to L^2(\mathbb R)=Y.

Nếu \Lambda: D(\Lambda)=X\to Y là toán tử xác định dương thì

||x||_X \le C(||x||_Y+||\Lambda x||_Y), \forall x\in X.

Khi đó theo Định lý ánh xạ mở các chuẩn

||.||_X||.||_Y+||\Lambda .||_Y

tương đương.

Ngoài ra ta còn có thể định nghĩa được lũy thừa lẻ của \Lambda như sau. Với 0<s<1, x\in X

\Lambda^s x=\dfrac{1}{\Gamma(s)\Gamma(1-s)}\int\limits_0^\infty t^{s-1}\Lambda(\Lambda+tId)^{-1}xdt.

Với 0<s<1, ta định nghĩa không gian nội suy giữa XY

[X, Y]_s=D(\Lambda^{1-s})

với chuẩn

||x||_s=(||x||^2_Y+||\Lambda^{1-s}x||^2_Y)^{1/2}.

Trong trường hợp đặc biệt s=0 hay s=1 ta có

[X, Y]_0=X, [X, Y]_1=Y.

Với \Lambda=\dfrac{d}{dx}: W^1(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R) ta có thể thấy ngay

[W^1(\mathbb R), L^2(\mathbb R)]_{1-s}=W^s(\mathbb R).

Câu hỏi: Liệu không gian nội suy [X, Y]_s có phụ thuộc vào toán tử \Lambda hay không?

Trả lời: không phụ thuộc. Do \Lambda: D(\Lambda)=X\to Y là toán tử xác định dương nên (-\Lambda) sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh \{G(t)\}_{t\ge 0} trên Y.

Nhắc lại khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh:

Một họ \{G(t)\}_{t\ge 0} các toán tử tuyến tính bị chặn trên Y được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh trên Y nếu:

+) G(t_1)G(t_2)=G(t_1+t_2), 0\le t_1, t_2<\infty, G(0)=Id,

+) \lim\limits_{t\to 0_+}||G(t)x-x||_Y=0, \forall x\in Y.

Nửa nhóm khá đơn giản nhưng rất quan trọng: nửa nhóm dịch chuyển G(t): L^2(0, \infty)\to L^2(0, \infty), (G(t)f)(x)=f(t+x). Nửa nhóm này có toán tử sinh \dfrac{d}{dx}.

Giả sử \Lambda: D(\Lambda)=X\to Y là toán tử xác định dương, (-\Lambda) sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh \{G(t)\}_{t\ge 0} trên Y. Cho 0<s<1. Khi đó các mệnh đề sau tương đương.

(i) a\in [X, Y]_s.

(ii) có một hàm liên tục u: [0, \infty)\to X thỏa mãn

+) \int\limits_0^\infty t^{2s-1}||u(t)||^2_Xdt <\infty,

+) \int\limits_0^\infty t^{2s-1}||u'(t)||^2_Ydt<\infty,

+) u(0)=a.

(iii) \int\limits_0^\infty t^{2s-3}||G(t)a-a||^2_Ydt<\infty,

u(0)=a,

với t^{s-1/2}f\in L^2((0, \infty); Y). Nó được cho bởi công thức

u(t)=G(t)a+\int\limits_0^t G(t-\tau)f(\tau)d\tau.

Từ (i) và (ii) ta có không gian nội suy [X, Y]_s không phụ thuộc vào \Lambda.

Một số tính chất của không gian nội suy:

(nội suy lặp) [[X, Y]_{s_1}, [X, Y]_{s_2}]_t=[X, Y]_{s_3} với s_3=(1-t)s_1+ts_20<s_1, s_2, t<1;

(nội suy toán tử) nếu A\in B(X_1, X_2)\cap B(Y_1, Y_2) thì A\in B([X_1, Y_1]_s, [X_2, Y_2]_s), 0<s<1.

Chú ý rằng:

+) toán tử hạn chế r: u\mapsto u|_{[0, \infty)} là toán tử tuyến tính bị chặn từ W^1(\mathbb R) xuống W^1([0, \infty) và từ L^2(\mathbb R) xuống L^2(0, \infty) nên nó cũng là toán tử bị chặn

từ W^s(\mathbb R)=[W^1(\mathbb R); L^2(\mathbb R)]_{1-s} xuống [W^1([0, \infty)); L^2(0, \infty)]_{1-s};

ngoài ra nó cũng là toán tử tuyến tính bị chặn từ W^s(\mathbb R) xuống W^s([0, \infty));

+) toán tử thác triển phản xạ

R: u\mapsto Ru(x)=\begin{cases}u(x)\; khi \; x\ge 0, \\ u(-x) \; khi \; x<0\end{cases}

là toán tử tuyến tính bị chặn từ W^1([0, \infty)) lên W^1(\mathbb R) và từ L^2(0, \infty) lên L^2(\mathbb R) nên nó cũng là toán tử bị chặn

từ [W^1([0, \infty)); L^2(0, \infty)]_{1-s} lên W^s(\mathbb R);

ngoài ra nó cũng là toán tử tuyến tính bị chặn từ W^s([0, \infty)) lên W^s(\mathbb R).

Như vậy [W^1([0, \infty)); L^2(0, \infty)]_{1-s}=W^s([0, \infty)), 0<s<1.

Nội suy trong W^s_0([0, \infty)) lại rất khác vì ánh xạ thác triển phẳng

R_0: u\mapsto R_0u(x)=\begin{cases}u(x)\; khi \; x\ge 0,\\ 0\; khi\; x<0\end{cases}

chỉ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ W^s_0([0, \infty)) lên W^s(\mathbb R) khi s\in[0, 1]\setminus\{1/2\}. Nói cách khác, khi s\in[0, 1]\setminus\{1/2\} thì

W^s_0([0, \infty)) là hạn chế của các hàm u\in W^s(\mathbb R) mà giá của u nằm trong [0, \infty). Khi đó

[W^1_0([0, \infty), L^2(0, \infty)]_{1-s}=W^s_0([0, \infty) khi s\in[0, 1]\setminus\{1/2\}.

Vậy khi s=1/2 thì

[W^1_0([0, \infty)), L^2(0, \infty)]_{1/2} là gì?

Quay trở lại toán tử đạo hàm \dfrac{d}{dx}: W^1([0, \infty))\to L^2(0, \infty) sinh ra nửa nhóm dịch chuyển \{G(t)\}_{t\ge 0}, (G(t)f)(x)=f(t+x) trên L^2(0, \infty). Khi đó ta còn có thể mô tả được W^s([0, \infty))=[W^1([0, \infty)), L^2(0, \infty)]_{1-s} là không gian các hàm a\in L^2(0, \infty) và thỏa mãn

\int\limits_0^\infty t^{-2s-1}||G(t)a-a||^2_{L^2}<\infty

hay

\int\limits_0^\infty t^{-2s-1}\int\limits_0^\infty |a(t+x)-a(t)|^2dxdt<\infty.

Câu hỏi: toán tử vi phân -\dfrac{d}{dx}: W^1_0([0, \infty))\to L^2(0, \infty) sinh ra nửa nhóm nào?

Nó sinh ra nửa nhóm \{H(t)\}_{t\ge 0} trên L^2(0, \infty) xác định bởi

(H(t)f)(x)=\begin{cases}0 \; khi \; x<t, \\ f(x-t)\; khi \; x\ge t.\end{cases}

Từ đó dẫn đến [W^1_0([0, \infty)); L^2(0, \infty)]_{1-s} là không gian các hàm u\in L^2(0, \infty) và thỏa mãn

\int\limits_0^\infty t^{-2s-1}\int\limits_0^\infty|(H(t)u)(x)-u(x)|^2dxdt<\infty

hay

\int\limits_0^\infty t^{-2s-1}\int\limits_0^\infty |u(x+t)-u(x)|^2dxdt+

\int\limits_0^\infty t^{-2s-1}\int\limits_0^t |u(x)|^2dxdt<\infty.

Như vậy u\in [W^1_0([0, \infty)); L^2(0, \infty)]_{1-s} khi và chỉ khi

u\in W^s([0, \infty)), x^{-s}u\in L^2(0, \infty).

Trong trường hợp s\in[0, 1]\setminus\{1/2\} ta có ánh xạ u\mapsto x^{-s}u là ánh xạ tuyến tính liên tục từ W^s_0([0, \infty)) vào L^2(0, \infty) nên không có gì khác biệt xảy ra.

Riêng khi s=1/2

[W^1_0([0, \infty)); L^2(0, \infty)]_{1/2}=\{u\in W^{1/2}([0, \infty))|

x^{-1/2}u\in L^2(0, \infty)\}

là không gian con thực sự của W_0^{1/2}([0, \infty)).

Sơ bộ các tính toán chi tiết của J. L. Lions về ví dụ của T. Kato đã được trình bày.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s