Định lý Peetre – Đặc trưng của toán tử vi phân (tiếp)

Trong bài trước ta đã đưa ra đặc trưng Peetre của toán tử vi phân hệ số là các hàm khả vi vô hạn trong không gian hàm cơ bản. Trong bài này ta sẽ quan tâm đến đặc trưng Peetre của toán tử vi phân với hệ số là hàm suy rộng trong không gian hàm suy rộng. Cụ thể ta sẽ quan tâm đến

– toán tử tuyến tính P: \mathcal D(\mathbb R) \to \mathcal D'(\mathbb R) thỏa mãn

(bảo toàn giá) suppP\varphi\subset\; supp\varphi, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R),

– toán tử vi phân P(D)=\sum\limits_{k=0}^n a_k D^k, a_k\in\mathcal D'(\mathbb R), theo nghĩa

\langle P(x, D)\varphi, \psi\rangle=\sum\limits_{k=1}^n \langle a_k, \psi(x)D^k\varphi(x)\rangle.

Không khó để thấy toán tử vi phân P(D) là toán tử tuyến tính, bảo toàn giá từ \mathcal D(\mathbb R) vào \mathcal D'(\mathbb R).

Câu hỏi: liệu toán tử tuyến tính với đặc trưng Peetre, bảo toàn giá, có là toán tử vi phân không?

Trả lời: không được đẹp như trường hợp hệ số là hàm khả vi vô hạn, toán tử tuyến tính, bảo toàn giá là toán tử vi phân trừ ra một tập rời rạc gồm các điểm “không liên tục”.

Điểm x\in\mathbb R được gọi là điểm “liên tục” của toán tử tuyến tính, bảo toàn giá P: \mathcal D(\mathbb R)\to\mathcal D'(\mathbb R) nếu

có một số dương r sao cho P: \mathcal D(x-r, x+r) \to \mathcal D'(x-r, x+r) là ánh xạ tuyến tính, liên tục.

Điểm x\in\mathbb R được gọi là điểm “không liên tục” của P nếu nó không là điểm liên tục của P. Ký hiệu \Lambda là tập các điểm “không liên tục” của P.

Các định nghĩa điểm liên tục và không liên tục có vẻ khá mờ ảo? Ta thử làm rõ chúng.

Với hàm \varphi\in \mathcal D(\mathbb R) và mỗi tập mở bị chặn U\subset\mathbb R, mỗi số tự nhiên m ta đặt

||\varphi||_{U, m}=\sup\limits_{x\in U}\sum\limits_{k=0}^m |D^k\varphi(x)|.

Cũng như vậy với hàm suy rộng f\in\mathcal D'(\mathbb R) ta đặt

||f||_{U, m}=\sup\limits_{\varphi\in\mathcal D(U)}\dfrac{|\langle f, \varphi\rangle|}{||\varphi||_{U, m}}.

Chú ý rằng hàm suy rộng f có cấp hữu hạn trên mỗi tập compact nên với mỗi tập mở, bị chặn U đều có số tự nhiên m để ||f||_{U, m} hữu hạn.

Với x\in\mathbb R, P: \mathcal D(\mathbb R)\to\mathcal D'(\mathbb R) là toán tử tuyến tính, bảo toàn giá, ta đặt

j(m, x)=\inf\{j\in\mathbb N|\; \exists r>0\; \sup\limits_{\varphi\in\mathcal D(x-r, x+r)}\frac{||P\varphi||_{(x-r, x+r), m}}{||\varphi||_{(x-r, x+r), j}}<\infty\}.

Với mỗi x\in\mathbb R, nếu có m\in\mathbb N để j(m, x)<\infty thì x là điểm liên tục của P. Thật vậy, do j(m, x) hữu hạn nên có j_0\in\mathbb NC>0, r>0 sao cho

||P\varphi||_{(x-r, x+r), m}\le C||\varphi||_{(x-r, x+r), j_0}, \forall \varphi\in\mathcal D(x-r, x+r).

Do tính tuyến tính và bảo toàn giá ta có P: \mathcal D(x-r, x+r)\to \mathcal D'(x-r, x+r) là ánh xạ tuyến tính. Ta sẽ chứng minh ánh xạ này là liên tục.

Lấy dãy \varphi_k\to 0 khi k\to\infty trong \mathcal D(x-r, x+r). Khi đó

\lim\limits_{k\to\infty} ||\varphi_k||_{(x-r, x+r), j_0}=0.

Do đó

\lim\limits_{k\to\infty}||P\varphi_k||_{(x-r, x+r), m}=0.

Mà với \psi\in\mathcal D(x-r, x+r)

|\langle P\varphi_k, \psi\rangle|\le ||P\varphi_k||_{(x-r, x+r), m}\times||\psi||_{(x-r, x+r), m}.

Như vậy với mọi \psi\in\mathcal D(x-r, x+r)

\lim\limits_{k\to\infty}\langle P\varphi_k, \psi\rangle=0

hay ta đã chứng minh được tính liên tục tại gốc và do đó có tính liên tục của P trên \mathcal D(x-r, x+r). Nói cách khác ta đã chứng minh được x là điểm liên tục của P.

Ngược lại, giả sử x\in\mathbb R là điểm liên tục của P. Ta sẽ chỉ ra rằng có một số tự nhiên m để j(m, x) hữu hạn. Thật vậy, từ giả thiết ta có số r>0 để P: \mathcal D(x-r, x+r)\to\mathcal D'(x-r, x+r) là ánh xạ tuyến tính liên tục.

B1: Ta sẽ chứng minh tập các cấp trên (x-r, x+r) của P\varphi, \varphi\in\mathcal D(x-r, x+r) là tập bị chặn bằng phản chứng. Nghĩa là có một dãy tăng các số tự nhiên m_k và dãy các hàm \varphi_k\in \mathcal D(x-r, x+r) để

||P\varphi_k||_{(x-r, x+r), m_k}=\infty.

Khi đó ta có một dãy các hàm \phi_k\in\mathcal D(x-r, x+r) để

|\langle P\varphi_k, \phi_k\rangle|>C_k^2||\phi_k||_{(x-r, x+r), m_k},

với C_k=k+||\varphi_k||_{(x-r, x+r), k}.

Đặt f_k=P(\frac{1}{C_k}\varphi_k)=\dfrac{1}{C_k}P\varphi_k (do P tuyến tính) ta có

\mathcal D_{-}\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{1}{C_k}\varphi_k=0

nên từ tính liên tục của P: \mathcal D(x-r, x+r)\to\mathcal D'(x-r, x+r) ta có tiếp

\mathcal D'_{-}\lim\limits_{k\to\infty}f_k=0.

Đặt \psi_k(x)=\dfrac{1}{C_k||\phi_k||_{(x-r, x+r), m_k}}\phi_k(x) ta có

+) \mathcal D_{-}\lim\limits_{k\to\infty}\psi_k=0,

+) |\langle f_k, \psi_k\rangle|>1.

Điều này là vô lý! Vậy có số tự nhiên m để

||P\varphi||_{(x-r, x+r), m}<\infty, \forall \varphi\in\mathcal D(x-r, x+r).

B2: Ta sẽ chứng minh có một số tự nhiên m_0\ge m để j(m_0, x) là hữu hạn cũng bằng phản chứng. Nghĩa là giả sử với mỗi số tự nhiên j\ge m có dãy hàm \varphi_j\in\mathcal D(x-r, x+r) sao cho

||P\varphi_j||_{(x-r, x+r), j}>j^2 ||\varphi_j||_{(x-r, x+r), j}.

Đặt f_j=P(\frac{1}{j||\varphi_j||_{(x-r, x+r), j}}\varphi_j)

+ tương tự B1: f_j\to 0 khi j\to\infty trong \mathcal D'(x-r, x+r),

+ do j\ge m nên theo B1 có

||f_j||_{(x-r, x+r), j}=\dfrac{1}{j||\varphi_j||_{(x-r, x+r), j}}||P\varphi_j||_{(x-r, x+r), j}> j.

Khi đó có \psi_j\in\mathcal D(x-r, x+r) để

|\langle f_j, \psi_j\rangle|>j||\psi_j||_{(x-r, x+r), j}.

Lại đặt

\phi_j(x)=\dfrac{1}{j||\psi_j||_{(x-r, x+r), j}}\psi_j(x).

Tương tự B1 ta có điều vô lý.

Vậy nếu x là điểm liên tục của P thì sẽ có số tự nhiên m để j(m, x) hữu hạn.

Tập \Lambda các điểm “không liên tục” của P là tập khá bé, cụ thể nó là tập chỉ gồm các điểm rời rạc, không có điểm tụ. Để chứng minh điều này ta chứng minh kết quả sau:

Trong tập compact K\subset \mathbb R bất kỳ không thể có

dãy điểm x_l\in K, l\in\mathbb N và các dãy số tự nhiên j_l, m_l, l\in\mathbb N, tăng ra vô cùng sao cho j(m_l, x_l)>j_l.

Giả sử ta đã chứng minh kết quả trên đúng thì

– trong mỗi tập [-n, n], n\in\mathbb N, chỉ có hữu hạn các điểm x\in \Lambda, vì nếu có dãy x_l\in\Lambda ta lấy j_l=m_l=lj(l, x_l)=\infty>l nên dẫn đến điều trái với kết quả trên;

– với mỗi n\in\mathbb N thì có các số tự nhiên j_n, m_n sao cho

j(m_n, x)\le m_n, \forall x\in[-n, n]\setminus\Lambda.

Giờ ta đi chứng minh kết quả trên bằng phản chứng. Giả sử có dãy x_l\in K, l\in\mathbb N và các dãy số tự nhiên j_l, m_l, l\in\mathbb N, tăng ra vô cùng sao cho j(m_l, x_l)>j_l. Ta có thể giả sử dãy x_l, l\in\mathbb N, gồm các điểm khác nhau và hội tụ đến một điểm x_0 khác tất cả các điểm của dãy.

Khi đó, với mỗi x_l\in K ta chọn được r_l\in(0, 1/l)\varphi_l\in\mathcal D(x_l-r_l, x_l+r_l) sao cho

+) [x_k-r_k, x_k+r_k]\cap[x_l-r_l, x_l+r_l]=\emptyset, \forall k\not=l,

+) ||\varphi_l||_{(x_l, r_l, x_l+r_l), j_l}=2^{-l},

+) ||P\varphi_l||_{(x_l-r_l, x_l+r_l), m_l}\ge 2^l.

Đặt \varphi(x)=\varphi_l(x) nếu x\in[x_l-r_l, x_l+r_l]\varphi(x)=0 nếu x\not\in \cup_{l\in\mathbb N} [x_l-r_l, x_l+r_l]. Khi đó

+) \varphi\in \mathcal D(K_1), K_1=\{x|\; d(x, K)\ge 1\},

+) do tính tuyến tính và bảo toàn giá nên P\varphi=P\varphi_l trên [x_l-r_l, x_l+r_l],

+) ||P\varphi||_{K_1, m_l}\ge ||P\varphi_l||_{(x_l-r_l, x_l+r_l), m_l}\ge 2^l.

Như vậy P\varphi\in\mathcal D'(\mathbb R) không có cấp hữu hạn trên tập compact K_1. Đây là điều vô lý! Vậy ta đã chứng minh được kết quả trên.

Định lý Peetre được phát biểu như sau:

Cho P:\mathcal D(\mathbb R)\to\mathcal D'(\mathbb R) là ánh xạ tuyến tính, bảo toàn giá. Khi đó có một tập rời rạc \Lambda, một họ các hàm suy rộng a_\alpha là họ có giá hữu hạn địa phương xác định duy nhất trên \mathbb R\setminus\Lambda, sao cho

supp(P\varphi-\sum\limits_{\alpha}a_\alpha D^\alpha\varphi)\subset \Lambda, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R).

Họ a_\alpha có giá hữu hạn địa phương nghĩa là với mỗi tập compact K chỉ có hữu hạn \alpha để suppa_\alpha\subset K.

Trước khi chứng minh Định lý Peetre ta có thể quan sát ví dụ

P:\mathcal D(\mathbb R)\to\mathcal D'(\mathbb R), P\varphi=\varphi(0)\delta

là ánh xạ tuyến tính, bảo toàn giá (tại sao?), nhưng không có dạng toán tử vi phân.

Chứng minh Định lý Peetre.

Tập \Lambda chính là tập các điểm không liên tục của P. Lấy x_0\in\mathbb R\setminus\Lambda. Khi đó x_0 là điểm liên tục của P nên có m, l\in\mathbb N và số r_0>0 sao cho

||P\varphi||_{(x_0-r_0, x_0+r_0), m}\le C||\varphi||_{(x_0-r_0, x_0+r_0), l},

\forall \varphi\in\mathcal D(x_0-r_0, x_0+r_0)

hay

|\langle P\varphi, \psi\rangle|\le C||\varphi||_{(x_0-r_0, x_0+r_0), l}||\psi||_{(x_0-r_0, x_0+r_0), m},

\forall \varphi, \psi\in\mathcal D(x_0-r_0, x_0+r_0).

Khi đó theo Định lý nhân của Schwartz (Schwartz Kernel Theorem) có một hàm suy rộng (còn gọi là nhân) k\in\mathcal D'((x_0-r_0, x_0+r_0)\times(x_0-r_0, x_0+r_0)) có cấp không lớn hơn m+l. Hàm suy rộng k được xác định bởi

\langle k, \varphi\otimes \psi\rangle=\langle P\varphi, \psi\rangle, \varphi, \psi\in\mathcal D(x_0-r_0, x_0+r_0)

với \varphi\otimes \psi(x, y)=\varphi(x)\psi(y).

Lưu ý rằng không gian các hàm dạng

\varphi\otimes \psi, \varphi, \psi\in\mathcal D(x_0-r_0, x_0+r_0)

trù mật trong \mathcal D((x_0-r_0, x_0+r_0)\times(x_0-r_0, x_0+r_0)).

Các bạn có thể xem bài “Định lý xấp xỉ Weierstrass”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/12/01/dinh-ly-xap-xi-weierstrass/

Do P bảo toàn giá nên

\langle P\varphi, \psi\rangle=0 khi supp\varphi\capsupp\psi=\emptyset.

Do đó suppk nằm trên đường chéo \{(x, x)|\; x\in(x_0-r_0, x_0+r_0)\}.

Lấy \phi\in \mathcal D((x_0-r_0, x_0+r_0)\times(x_0-r_0, x_0+r_0)). Khai triển Taylor hàm \phi(y+(x-y), y) theo biến thứ hai ta có

\phi(x, y)=\sum\limits_{j=0}^{m+l}D^j_x\phi(y, y)\dfrac{(x-y)^j}{j!}+r(x, y).

r\in \mathcal E((x_0-r_0, x_0+r_0)\times(x_0-r_0, x_0+r_0))

D^{k_1}_xD^{k_2}_y r(x, x)=0, \forall 0\le k_1+k_2\le m+l.

Lấy h\in\mathcal D((x_0-r_0, x_0+r_0)\times(x_0-r_0, x_0+r_0)) thỏa mãn h(x, y)=1 trên supp\phi.hk có cấp không lớn hơn m+l và giá compact nằm trên đường chéo \{(x, x)|\; x\in(x_0-r_0, x_0+r_0) nên

\langle hk, r\rangle=0.

Khi đó

\langle k, \phi\rangle=\langle hk, \phi\rangle=\sum\limits_{j=0}^{m+l}\langle a_j, D^j_x\phi(x, y)\Big|_{x=y}\rangle

với a_j\in\mathcal D'(x_0-r_0, x_0+r_0) xác định bởi

\langle a_j, \varphi\rangle=\langle hk, \frac{(x-y)^j}{j!}\varphi(y)\rangle.

Khi đó

\langle P\varphi, \psi\rangle=\sum\limits_{j=0}^{m+l}\langle a_j, D^j\varphi(y)\psi(y)\rangle

hay

P\varphi=\sum\limits_{j=0}^{m+l}a_jD^j\varphi(x) trên (x_0-r_0, x_0+r_0).

Từ họ phủ mở (x_0-r_0, x_0+r_0), x_0\in\mathbb R\setminus \Lambda, ta lọc ra phủ mịn hơn, hữu hạn địa phương. Bằng cách xây dựng phân hoạch đơn vị cho phủ mịn hơn, hữu hạn địa phương này của tập \mathbb R\setminus\Lambda ta sẽ thu được điều phải chứng minh.

Chi tiết phần này các bạn xem trong bài

peetre

5 thoughts on “Định lý Peetre – Đặc trưng của toán tử vi phân (tiếp)

  1. Dạ thưa thầy thầy có thể giải thích giúp em hiểu rõ hơn về điểm liên tục của toán tử tuyến tính bảo toàn giá được không thầy. Em đang làm đề tài về định lý Peetre thầy ah. em cảm ơn thầy nhiều.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s