Đặc trưng khác của toán tử vi phân – Định lý Hormander

Năm 1959-1960, J. Peetre đưa ra đặc trưng thú vị của toán tử vi phân tuyến tính: tính bảo toàn giá. Đến năm 1964, L. Hormander đưa ra một đặc trưng khác cho toán tử vi phân tuyến tính, đặc trưng này có thể xem như cách tiếp cận của L. Hormander về toán tử giả vi phân. Đặc trưng của L. Hormander là một cách dẫn đến “biểu trưng” của toán tử. Trong phương trình vi phân thường nó dẫn đến phương trình đặc trưng. Cụ thể, xét phương trình vi phân thường tuyến tính

P(x, D)u(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_k(x)D^k u(x)=0, a_k\in C^\infty(\mathbb R),

ta lấy hàm u(x)=e^{\lambda x} thay vào phương trình ta được

e^{-\lambda x}P(x, D)(e^{\lambda x})=\sum\limits_{k=0}^n a_k(x) \lambda^k=0.

Đa thức trên, theo biến \lambda được gọi là đa thức đặc trưng, còn gọi là biểu trưng, ứng với toán tử vi phân P(x, D). Nếu các hàm a_k(x) đều là hàm hằng thì nghiệm của đa thức e^{-\lambda x}P(x, D)(e^{\lambda x}) sẽ cho phép ta giải được phương trình vi phân

P(x, D)u(x)=f(x).

Ở đây biểu trưng e^{-\lambda x}P(x, D)(e^{\lambda x}) có dạng đa thức là một điều may mắn để có thể giải trọn vẹn phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Dưới đây ta quan tâm đến câu hỏi: ngoài toán tử vi phân tuyến tính còn toán tử tuyến tính nào cũng có may mắn này, nghĩa là biểu trưng của nó có dạng đa thức?

Để nói rõ hơn về câu hỏi này ta quan tâm đến lớp các toán tử tuyến tính

P: C^\infty(\mathbb R)\to C^\infty(\mathbb R).

J. Peetre đã chỉ ra rằng nếu toán tử tuyến tính trên bảo toàn giá thì một cách địa phương nó là toán tử vi phân với hệ số là các hàm khả vi vô hạn.

Câu hỏi ta đặt ở trên được phát biểu lại: liệu biểu trưng

e^{-\lambda x}P(e^{\lambda x})

là một đa thức theo \lambda có phải là một đặc trưng của toán tử vi phân? Hay rõ hơn liệu từ tính chất biểu trưng

e^{-\lambda x}P(e^{\lambda x})

là đa thức có dẫn đến toán tử tuyến tính P: C^\infty(\mathbb R)\to C^\infty(\mathbb R) là một toán tử vi phân một cách địa phương?

L. Hormander trả lời một phần câu hỏi này, cụ thể ông phải kèm thêm một số điều kiện nữa để có câu trả lời khẳng định. Giờ ta sẽ phát biểu chính xác câu trả lời của L. Hormander.

Cho toán tử tuyến tính, liên tục

P: \mathcal E(\mathbb R)\to \mathcal E(\mathbb R).

Điều kiện cần và đủ để P là toán tử vi phân tuyến tính cấp không lớn hơn m\in\mathbb Z_+ là điều kiện sau:

Biểu trưng của toán tử P xác định bởi

e^{-i\lambda x}P(e^{i\lambda x})

là đa thức theo \lambda có bậc không lớn hơn m, với mỗi x\in\mathbb R.

So với đặc trưng của J. Peetre:

– tuyến tính và bảo toàn giá, không cần “liên tục”

đặc trưng của L. Hormander đưa ra không cần bảo toàn giá nhưng lại cần tuyến tính, liên tục và biểu trưng có dạng đa thức. Với cách tiếp cận này L. Hormander đã trở thành một trong những người đầu tiên khởi xướng lý thuyết toán tử giả vi phân, toán tử mà biểu trưng không cần có dạng đa thức nhưng vẫn đủ tốt để xem xét.

Giờ ta sẽ chứng minh kết quả trên của L. Hormander. Một chiều của kết quả đã được nhìn thấy ở trên.

Tiếp đến ta chứng minh điều ngược lại, nghĩa là giả sử P:\mathcal E(\mathbb R)\to\mathcal E(\mathbb R) có các tính chất

– là ánh xạ tuyến tính, liên tục,

– với mỗi x\in\mathbb R, biểu trưng e^{-i\lambda x}P[e^{i\lambda x}] là đa thức bậc không lớn hơn m\in\mathbb Z_+.

Khi đó, ta có

e^{-i\lambda x}P[e^{i\lambda x}]=\sum\limits_{k=0}^m a_k(x) \lambda^k.

P là ánh xạ tuyến tính trên \mathcal E(\mathbb R) nên bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính khác nhau ta sẽ có a_k\in C^\infty(\mathbb R), chẳng hạn

\begin{pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1\\ 1 & 2 & \dots & 2^m\\ . & . & \dots &.\\ 1 & m & \dots & m^m\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0(x)\\ a_1(x)\\.\\a_m(x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{-ix}P[e^{ix}]\\e^{-2ix}P[e^{2ix}]\\.\\e^{-imx}P[e^{imx}]\end{pmatrix}.

Do

-) P là toán tử tuyến tính liên tục trên \mathcal E(\mathbb R),

-) tập C^\infty_0(\mathbb R) trù mật trong \mathcal E(\mathbb R)

nên ta chỉ cần chỉ ra các b_k\in C^\infty(\mathbb R) sao cho

với bất kỳ \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R)

P\varphi(x)=\sum\limits_{k=0}^m b_k(x)\varphi^{(k)}(x).

Lấy \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R), ta có biến đổi Fourier của nó

\hat{\varphi}(\lambda)=(2\pi)^{-1}\int\limits_{\mathbb R}e^{-i\lambda x}\varphi(x)dx

là hàm giảm nhanh. Hơn nữa

\varphi(x)=\int\limits_{\mathbb R}e^{i\lambda x}\hat{\varphi}(\lambda)d\lambda.

Đến đây ta cần đến kết quả sau:

Cho \psi\in S(\mathbb R), a\in \mathcal E(\mathbb R) ta có:

– Với mỗi h>0 chuỗi

\sum\limits_{j\in\mathbb Z}\psi(jh)e^{ijhx}a(x)

hội tụ trong \mathcal E(\mathbb R), ta ký hiệu hàm giới hạn g_h(x).

– Khi cho h\to 0_+ thì g_h(x) hội tụ trong \mathcal E(\mathbb R) đến tích phân phụ thuộc tham số

\int\limits_{\mathbb R}\psi(\lambda)e^{i\lambda x}a(x)d\lambda.

Áp dụng kết quả trên cho

+) \psi(\lambda)=\hat{\varphi}(\lambda)a(x)=1

– với mỗi h>0, chuỗi \sum\limits_{j\in\mathbb Z}\hat{\varphi}(jh)e^{ijhx} hội tụ trong \mathcal E(\mathbb R), gọi hàm giới hạn \varphi_h(x),

– cho h\to0_+\varphi_h(x) hội tụ đến \varphi(x) trong \mathcal E(\mathbb R),

+) cho \psi(\lambda)=\lambda^k\hat{\varphi}(\lambda)a(x)=a_k(x)

– với mỗi h>0, chuỗi \sum\limits_{j\in\mathbb Z}(jh)^k\hat{\varphi}(jh)e^{ijhx}a_k(x) hội tụ trong \mathcal E(\mathbb R), gọi hàm giới hạn f_{h, k}(x),

– cho h\to0_+f_{h, k}(x) hội tụ trong \mathcal E(\mathbb R) đến

\int\limits_{\mathbb R}\hat{\varphi}(\lambda)\lambda^ke^{i\lambda x}a_k(x)dx.

Do P là ánh xạ tuyến tính, liên tục trên \mathcal E(\mathbb R) nên

P(\varphi_h)(x) là giới hạn trong \mathcal E(\mathbb R) của chuỗi

\sum\limits_{j\in\mathbb Z}\hat{\varphi}(jh)P[e^{ijhx}].

Do dạng đa thức của biểu trưng nên

P[e^{ijhx}]=\sum\limits_{k=0}^m a_k(x)(jh)^k.

Khi đó

P(\varphi_h)(x)=\sum\limits_{k=0}^m f_{h, k}(x).

Lại do tính liên tục của P ta cho h\to 0_+

P(\varphi)(x)=\sum\limits_{k=0}^m\int\limits_{\mathbb R}\hat{\varphi}(\lambda)\lambda^k e^{i\lambda x}a_k(x)dx

\varphi^{(k)}(x)=\int\limits_{\mathbb R}e^{i\lambda x}(i\lambda)^k \hat{\varphi}(\lambda)d\lambda nên

P(\varphi)(x)=\sum\limits_{k=0}^m a_k(x)(-i)^k\varphi^{(k)}(x).

Như vậy b_k(x)=(-i)^ka_k(x).

Đặc trưng Peetre dễ dàng phát biểu trên đa tạp, và việc chứng minh là dễ thấy từ trường hợp đường thẳng. Đặc trưng của Hormander khi phát biểu trên đa tạp cần có vài điều chỉnh. Chi tiết các bạn có thể tham khảo cuốn

“Analysis on real and complex manifolds” của R. Narasimhan.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s