Ứng dụng của W-phân tích và phân tích Littlewood-Paley

Trong bài

“Ứng dụng của các bất đẳng thức Bohr-Bernstein” tôi đã trình bày các

+ W-phân tích cho các hàm tuần hoàn trên đường thẳng,

+ phân tích Littlewood-Paley cho hàm xác định trên đường thẳng.

Các phân tích này giúp ta có cái nhìn khác về các không gian hàm như:

C^{m+\alpha}, H^m, .v.v..

Câu hỏi: ta được lợi gì từ cái nhìn khác này? Dưới đây tôi thử trình bày một vài lợi ích từ cái nhìn khác này.

Nhắc lại W-phân tích cho f\in L^1(\mathbb T)

\sum\limits_{k=0}^\infty W_{2^k}(f),

với W_{2^k}(f)=(V_{2^{k+1}}-V_{2^k})*f, W_1(f)=V_2*f

trong đó

V_n(x)=2K_{2n}(x)-K_n(x) (nhân de la Vallee Poussin),

K_n(x)=\sum\limits_{j=-n}^n (1-\frac{|j|}{n})e^{ijx} (nhân Fejer).

Do ||K_n||_{L^1}=1 nên

||W_{2^k}(f)||_{L^p}\le 6||f||_{L^p}.

Ngoài ra, theo Định lý Fejer

K_n*f hội tụ đến f trong L^p(\mathbb T) nếu f\in L^p(\mathbb T), 1\le p<\infty,

K_n*f hội tụ đều đến f nếu f\in C(\mathbb T).

Do đó

Chuỗi \sum\limits_{k=0}^\infty W_{2^k}(f)

+ hội tụ đến f trong L^p(\mathbb T) nếu f\in L^p, 1\le p<\infty,

+ hội tụ đều đến f nếu f\in C(\mathbb T).

Sử dụng các bất đẳng thức Bohr-Bernstein ta thu được kết quả sâu sắc:

f\in C^{m+\alpha}(\mathbb T), m\in\mathbb Z_+, 0<\alpha\le 1,

khi và chỉ khi

\sup\limits_{k\in\mathbb Z_+}2^{k(m+\alpha)}||W_{2^k}(f)||_{\infty}<\infty.

Kết quả này giúp ta nghiên cứu toán tử nhân (multiplier operator)

M: C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T)\to C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T), m_j\in\mathbb Z_+, 0<\alpha_j\le 1

xác định bởi (Mf)\hat{}(n)=m(n)\hat{f}(n), n\in\mathbb Z,

trong đó dãy M=\{m(n)\}_{n\in\mathbb Z} là dãy cho trước.

Câu hỏi: với điều kiện gì đặt lên dãy M thì toán tử nhân M là toán tử đi từ C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T) vào C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T)?

Câu hỏi: tại sao phải nghiên cứu toán tử nhân?

Trước khi trả lời câu hỏi trên, ta trả lời câu hỏi dưới qua hai ví dụ sau.

Ví dụ: ánh xạ liên hợp f\mapsto \tilde{f} xác định bởi

\tilde{f}\hat{}(n)=-i\;sgn(n)\hat{f}(n)

là toán tử nhân với m(n)=-i\;sgn(n).

Câu hỏi: không gian C^{m+\alpha}(\mathbb T), m\in\mathbb Z_+, 0<\alpha\le 1 có chấp nhận ánh xạ liên hợp không?

Ví dụ: cho \alpha\in\mathbb T, xét phương trình sai phân

g(x+\alpha)-g(x)=f(x), \forall x\in\mathbb T.

Giả sử f\in C^{m_1+\alpha_1}, m_1\in\mathbb Z_+, 0<\alpha_1\le 1. Nếu g là nghiệm của phương trình trên thì g\in C(\mathbb T) và có hệ số Fourier

(e^{in\alpha}-1)\hat{g}(n)=\hat{f}(n).

Như vậy để phương trình sai phân có nghiệm thì \hat{f}(0)=0. Giả sử \alpha\not=k\pi, k\in\mathbb Z. Khi đó

\hat{g}(n)=(e^{in\alpha}-1)^{-1}\hat{f}(n).

Câu hỏi: liệu g\in C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T) với m_2\in\mathbb Z_+, \alpha_2\in(0, 1] nào? Nói cách khác với m_2\in\mathbb Z_+, 0<\alpha_2\le 1, toán tử nhân M ứng với dãy

m(n)=(e^{in\alpha}-1)^{-1}, n\in\mathbb Z,

là toán tử đi từ C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T) vào C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T)?

Để trả lời hai câu hỏi của hai ví dụ trên ta quay trở lại câu hỏi về toán tử nhân:

Với dãy M như nào thì toán tử nhân

M: C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T)\to C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T)?

Đặt \lambda=m_2+\alpha_2-m_1-\alpha_1, \mathcal T_{2^k, 2^{k+2}}=\{\sum\limits_{2^k\le |j|\le 2^{k+2}}a_je^{ijx}|\; a_j\in\mathbb C\}.

Dễ thấy

M: \mathcal T_{2^k, 2^{k+2}}\to \mathcal T_{2^k, 2^{k+2}}.

Khi đó một phần câu trả lời cho câu hỏi trên:

M: C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T)\to C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T)

khi và chỉ khi

||M||_k=\sup\limits_{f\in\mathcal T_{2^k, 2^{k+2}}\atop ||f||_\infty=1}||Mf||_\infty=O(2^{k\lambda}).

Để chứng minh điều này ta sử dụng kết quả

f\in C^{m+\alpha}(\mathbb T), m\in\mathbb Z_+, 0<\alpha\le 1,

khi và chỉ khi

\sup\limits_{k\in\mathbb Z_+}2^{k(m+\alpha)}||f||_\infty<\infty.

Cụ thể, giả sử có điều sau, lấy f\in C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T)

+) W_1(f)\in \mathcal T_{0, 3}

W_1(Tf)=T(W_1(f))\in\mathcal T_{0, 3},

||W_1(Tf)||_\infty\le C_1||W_1(f)||_\infty,

+) khi k\ge 1W_{2^k}(f)\in \mathcal T_{2^k, 2^{k+2}}

W_{2^k}(Mf)=M(W_{2^k}f)\in \mathcal T_{2^k, 2^{k+2}},

||W_{2^k}(Mf)||_\infty\le ||M||_k||W_{2^k}(f)||_\infty\le C2^{-k(m_2+\alpha_2)}

nên Mf\in C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T).

Ngược lại, với mỗi k\in\mathbb Z_+ ta chọn f_k\in \mathcal T_{2^{2k}, 2^{2k+2}} thỏa mãn

+) ||f_k||_\infty=1,

+) ||Mf_k||_\infty\ge 1/2 ||M||_{2k}.

Khi đó chuỗi \sum\limits_{k=0}^\infty 2^{-2k(m_1+\alpha_1)}f_k hội tụ trong C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T), đến một hàm ký hiệu là f. Do đó Mf \in C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T) hay

||Mf_k||_\infty=2^{-2k(m_1+\alpha_1)}||W_{2^{2k}}(Mf)||_\infty\le C2^{2k\lambda}

hay ||M||_{2k}\le C2^{2k\lambda}.

Tương tự ta cũng có

||M||_{2k+1}\le C2^{(2k+1)\lambda}.

Như vậy ta đã chứng minh được kết quả trên. Sử dụng kết quả trên cho ánh xạ lấy liên hợp, ta để ý

nếu P\in\mathcal T_{2^k, 2^{k+2}} thì

\tilde{P}=i\Big(P-2(e^{-i3*2^k*x}V_{2^{k+1}}*P)\Big).

Khi đó

||\tilde{P}||_\infty\le 7||P||_\infty.

Như vậy áp dụng kết quả trên cho trường hợp m_1=m_2=m\in\mathbb Z_+, \alpha_1=\alpha_2=\alpha\in(0, 1] ta có

không gian C^{m+\alpha}(\mathbb T) chấp nhận liên hợp.

Để xem xét được ví dụ sau ta cần hai quan sát sau.

Quan sát 1. Cho số dương a và tập các điểm \{z_j\}_{j=-M}^M nằm trên đường tròn đơn vị \mathbb T. Nếu |z_j-z_k|\ge a, j\not=k|z_j-1|\ge a thì

\sum\limits_{j=-M}^M |z_j-1|^{-1}\le 4a^2.

Quan sát 2. Nếu

\sum\limits_{2^k\le |j|\le 2^{k+2}}|m(j)|^2\le C 2^{2k(m_2+\alpha_2-m_1-\alpha_1)}

thì toán tử tích chập

f\to (\sum\limits_{2^k\le |j|\le 2^{k+2}}m(j)e^{ijx})*f

là toán tử tuyến tính bị chặn trong \mathcal T_{2^k, 2^{k+2}} với chuẩn

||M||_k\le C2^{k(m_2+\alpha_2-m_1-\alpha_1)}.

Từ hai quan sát trên ta có kết quả sau.

Giả sử có số dương \gamma sao cho

+) m_2+\alpha_2-m_1-\alpha_1>\gamma,

+) |e^{in\alpha}-1|\ge C|n|^{-\gamma}.

Khi đó nếu f\in C^{m_1+\alpha_1}(\mathbb T), \hat{f}(0)=0 thì có g\in C^{m_2+\alpha_2}(\mathbb T) thỏa mãn

g(x+\alpha)-g(x)=f(x), \forall x\in\mathbb T.

Một ứng dụng khác của W-phân tích trong không gian Sobolev tuần hoàn. Nhắc lại không gian Sobolev tuần hoàn H^k(\mathbb T), k\in\mathbb Z_+, gồm các hàm f\in L^2(\mathbb T) thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương sau:

(i) \sum\limits_{j=0}^k\int\limits_{\mathbb T}|f^{(j)}(x)|^2dx<\infty,

với f^{(j)}\in L^2(\mathbb T) là đạo hàm suy rộng cấp j của f,

(ii) \sum\limits_{n\in\mathbb Z}|\hat{f}(n)|^2|n|^{2k}<\infty,

(iii) \sum\limits_{j=0}^\infty 2^{2jk}||W_{2^j}(f)||^2_{L^2}<\infty.

Có thể thấy ngay nếu k\in\mathbb R\setminus\mathbb Z_+ thì (ii) và (iii) tương đương nhau. Khi đó ta dùng (ii) hay (iii) định nghĩa không gian Sobolev tuần hoàn cấp thực.

Cho k>1/2. Nếu f\in H^k(\mathbb T) thì

||f||_{A(\mathbb T)}=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|\hat{f}(n)|<\infty.

Khi đó f, g\in H^k(\mathbb T) thì

(fg)\hat{}(n)=\sum\limits_{j\in\mathbb Z}\hat{f}(j)\hat{g}(n-j).

Chú ý |n|^{2k}\le 2^{2k}(|j|^{2k}+|n-j|^{2k})

+) |(fg)\hat{}(n)|^2\le (\sum\limits_{j\in\mathbb Z}|\hat{f}(j)||\hat{g}(n-j)|^2)||f||_{A(\mathbb T)},

+) |(fg)\hat{}(n)|^2\le (\sum\limits_{j\in\mathbb Z}|\hat{f}(j)|^2|\hat{g}(n-j)|)||g||_{A(\mathbb Z)}.

Từ đó không khó để có

\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|(fg)\hat{}(n)|^2|n|^{2k}\le (\sum\limits_{j\in\mathbb T}|\hat{f}(j)|^2|j|^{2k})||g||^2_{A(\mathbb T)}+

+(\sum\limits_{n\in\mathbb Z}|\hat{g}(n-j)|^2|n-j|^{2k})||f||^2_{A(\mathbb T)}.

Tóm lại H^k(\mathbb T) là đại số Banach khi k>1/2

||fg||_{H^k}\le C(||f||_{H^k}||g||_{A(\mathbb T)}+||f||_{A(\mathbb T)}||g||_{H^k}).

Không gian H^{1/2}(\mathbb T) lại không là đại số, ta phải thu hẹp lại H^{1/2}(\mathbb T)\cap L^\infty(\mathbb T) mới là đại số. Việc chứng minh không còn đơn giản như trên. Việc chứng minh như trình bày phía dưới cần đến W-phân tích.

Do 4fg=(f+g)^2-(f-g)^2 nên ta chỉ cần chứng minh:

nếu f\in H^{1/2}(\mathbb T)\cap L^\infty(\mathbb T) thì f^2\in H^{1/2}(\mathbb T)\cap L^\infty(\mathbb T).

L^\infty(\mathbb T) là đại số nên thực chất ta chỉ cần chứng minh

nếu f\in H^{1/2}(\mathbb T)\cap L^\infty(\mathbb T) thì

\sum\limits_{j=0}^\infty 2^{j}||W_{2^j}(f)||^2_{L^2}<\infty.

f=\sum\limits_{j=0}^\infty W_{2^j}(f) nên

f^2=2\sum\limits_{m < n} W_{2^m}(f)W_{2^n}(f)+\sum\limits_{n=0}^\infty [W_{2^n}(f)]^2.

Chú ý W_{2^j}(g) chứa phổ của g từ 2^j đến 2^{j+2} nên W_{2^j}(f^2) gồm các số hạng lấy từ

– nhóm 1: j-1\le n\le j+2

\sum\limits_{m\le n} W_{2^m}(f)W_{2^n}(f)=(V_{2^n}*f)W_{2^n}(f);

– nhóm 2: n>j+2n-2\le m\le n

W_{2^m}(f)W_{2^n}(f).

Đóng góp trong ||W_{2^j}(f^2)||_{L^2} của nhóm 1 không vượt quá

\sum\limits_{n=j-2}^{j+2}||V_{2n}*f||_{\infty}||W_{2^n}(f)||_{L^2}

hay

6||f||_\infty\sum\limits_{n=j-2}^{j+2}||W_{2^n}(f)||_{L^2}.

Trong nhóm 2, hệ số của mỗi phổ xuất hiện trong W_{2^m}(f)W_{2^n}(f) có modul không vượt

||W_{2^m}(f)||_{L^2}||W_{2^n}(f)||_{L^2}.

Do đó hệ số của mỗi phổ xuất hiện trong nhóm 2 có modul không vượt quá

\sum\limits_{n=j+2}^\infty \sum\limits_{m=n-2}^n ||W_{2^m}(f)||_{L^2}||W_{2^n}(f)||_{L^2}

hay

\sum\limits_{n=j+2}^\infty (\sum\limits_{m=n-2}^{n+2}||W_{2^m}(f)||_{L^2})^2.

Hàm W_{2^j}(f^2)3\times 2^{j+1} phổ nên, theo Parseval, đóng góp của nhóm 2 trong ||W_{2^j}(f^2)||_{L^2} không vượt

C2^{j/2}\sum\limits_{n=j}^\infty (\sum\limits_{m=n-2}^{n+2}||W_{2^m}(f)||_{L^2})^2.

Như vậy

||W_{2^j}(f^2)||^2_{L^2}\le C\Big(||f||^2_{\infty}A_j+2^j(\sum\limits_{n=j}^\infty A_n)^2\Big),

trong đó A_n=(\sum\limits_{m=n-2}^{n+2}||W_{2^m}(f)||_{L^2})^2.

+) \sum\limits_{j=0}^\infty 2^j A_j\le C||f||^2_{H^{1/2}},

+) \sum\limits_{j=0}^\infty 2^{2j}\big(\sum\limits_{n=j}^\infty A_n\big)^2\le C(\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n A_n)^2

nên

||f^2||_{H^{1/2}}\le C||f||_{H^{1/2}}(||f||_\infty+||f||_{H^{1/2}}).

Từ chứng minh trên ta có thể chứng minh được

nếu f, g\in H^k(\mathbb T)\cap L^\infty(\mathbb T) thì

||fg||_{H^k}\le C(||f||_{H^k}||g||_{\infty}+||f||_{\infty}||g||_{H^k}).

Từ đây ta có kết quả tốt hơn cho trường hợp k>1/2.

Một cách tương tự ta cũng có kết quả cho không gian Sobolev trên toàn đường thẳng:

Cho f, g\in H^k(\mathbb R)\cap L^\infty(\mathbb R), ta có

||fg||_{H^k}\le C(||f||_{H^k}||g||_{\infty}+||f||_{\infty}||g||_{H^k}).

Muốn chứng minh điều này ta sử dụng phân tích Littlewood-Paley. Trước hết ta nhắc lại phân tích Littlewood-Paley

f=\sum\limits_{k\in\mathbb Z}P_kf

với P_kf=m_k*f, m_k(x)=(\psi(2^k\xi))\hat{}(x)=2^{-k}\hat{\psi}(2^{-k}x),

trong đó \psi(x)=\phi(x)-\phi(2x),

\phi\in C^\infty_0(\mathbb R), \phi(x)=1 khi |x|\le 1 và supp\phi\subset[-2, 2],

0\le \phi(x)\le 1, \forall x\in\mathbb R.

Khi đó ta có

phổ của P_kf: sp(P_kf)=supp(P_kf)\hat{}\subset 2^{-k}\mathcal C, \mathcal C=[-2, -1/2]\cup[1/2, 2],

||P_kf||_{L^2}\le C||f||_{L^2},

chuỗi \sum\limits_{k\in\mathbb Z}P_kf hội tụ đến f trong L^2(\mathbb R).

Hơn nữa trong không gian H^k(\mathbb R), k\in\mathbb R, các chuẩn sau tương đương:

(i) \Big(\int\limits_{\mathbb R}(1+|\xi|^2)^k|\hat{f}(\xi)|^2d\xi\Big)^{1/2},

(ii) \Big(\sum\limits_{j\in\mathbb Z}(1+2^{-2j})^k||P_jf||^2_{L^2}\Big)^{1/2}.

Khi k>1/2 không khó khăn để thấy H^k(\mathbb R) là đại số Banach với bất đẳng thức

||fg||_{H^k}\le C(||f||_{H^k}||\hat{g}||_{L^1}+||\hat{f}||_{L^1}||g||_{H^k}).

Tuy nhiên để có bất đẳng thức tốt hơn như ở trên ta cần đến phân tích Littlewood-Paley như sau.

Trước hết cũng giống không gian Sobolev tuần hoàn ta chỉ cần xét

f^2=2\sum\limits_{m<n}P_mfP_nf+\sum\limits_{n\in\mathbb Z}(P_nf)^2.

Tiếp đến ta xem đóng góp của ||P_jf||_{L^2} từ hai nhóm

+ nhóm 1: -j-1\le -m\le -j+2

\sum\limits_{m\le n}P_mfP_nf=((\phi(2^m\xi))\hat{}*f)P_mf;

+ nhóm 2: -m>j+2-m-2\le -n\le -m

P_mfP_nf.

Tương tự như không gian Sobolev tuần hoàn ta có chứng minh cho không gian Sobolev trên đường thẳng. Một cách chi tiết xin dành bạn đọc.

Tiếp theo ta quay trở lại xem xét toán tử nhân trong không gian L^p(\mathbb R), 1<p<\infty, cụ thể

T_m: f\mapsto \mathcal F^{-1}(m\hat{f}),

với m:\mathbb R\to\mathbb C là hàm đo được.

Ta xem với những điều kiện gì đặt lên nhân m(x) để toán tử nhân T_m: L^p(\mathbb R)\to L^p(\mathbb R), 1<p<\infty.

Trong trường hợp p=2 ta có kết quả đẹp sau:

T_m: L^2(\mathbb R)\to L^2(\mathbb R) khi và chỉ khi m\in L^\infty(\mathbb R). Khi đó

||T_m||_{L^2\to L^2}=||m||_\infty.

Lý do có kết quả đẹp vì đẳng thức Plancherel. Với trường hợp khác ta cần một số kết quả sau.

Định lý (Calderon-Zygmund) Cho hàm suy rộng tăng chậm K\in S'(\mathbb R) thỏa mãn

+) K\in L^1_{loc}(\mathbb R\setminus\{0\}),

+) |\hat{K}(\xi)|\le A, \forall \xi\in\mathbb R,

+) (điều kiện Hormander)

\sup\limits_{y\in\mathbb R}\int\limits_{\mathbb R}|K(x-y)-K(x)|dx<\infty.

Ta gọi K(x) thỏa mãn các điều kiện trên là nhân Calderon-Zygmund.

Khi đó toán tử tích chập Calderon-Zygmund

f\mapsto K*f là ánh xạ trong L^p(\mathbb R), 1<p<\infty.

Định lý (xây dựng nhân Calderon-Zygmund)

Cho k_j\in L^1(\mathbb R), j\in\mathbb Z sao cho có các số

\epsilon>0, \alpha\in(0, 1), C>0 để

i) \int\limits_{\mathbb R}(1+|x|)^\epsilon |k_j(x)|dx<C,

ii) \int\limits_{\mathbb R}k_j(x)dx=0,

iii) \sup\limits_{h\in\mathbb R}|h|^{-\alpha}\int\limits_{\mathbb R}|k_j(x-h)-k_j(x)|dx<C.

Khi đó chuỗi \sum\limits_{j\in\mathbb Z}2^{-j}k_j(2^{-j}\xi) hội tụ trong S' đến một nhân Calderon-Zygmund.

Với \psi là hàm như trong phân tích Littlewood-Paley. Không gian MH^s, s>1/2, gồm các hàm đo được m:\mathbb R\to\mathbb C thỏa mãn

||m||_{MH^s}=\sup\limits_{r>0}||m(r\cdot)\psi||_{H^s}<\infty.

VD1: (điều kiện Mikhlin) Hàm m\in C^1(\mathbb R\setminus\{0\}) thỏa mãn

|m(\xi)|+|\xi m'(\xi)|\le C, \forall \xi\in\mathbb R\setminus\{0\}.

VD2: (điều kiện Hormander) Hàm m\in C^1(\mathbb R\setminus\{0\}) thỏa mãn

\sup\limits_{r>0}r^{-1}\int\limits_{r/2<|\xi|<2r}(|m(\xi)|^2+r^{2}|m'(\xi)|^2)d\xi<\infty.

Định lý Mikhlin-Hormander. Cho m\in MH^s, s>1/2. Khi đó toán tử nhân T_m: L^p(\mathbb R)\to L^p(\mathbb R), 1<p<\infty.

Để chứng minh Định lý Mikhlin-Hormander ta sẽ dùng phân tích Littlewood-Paley để phân tích nhân

m(\xi)=\sum\limits_{j\in\mathbb Z}m_j(2^j\xi)

với m_j(\xi)=m(2^{-j}\xi)\psi(\xi).

Khi đó nhân

K(x)=\mathcal F^{-1}m(x)=\sum\limits_{j\in\mathbb Z}2^{-j}k_j(2^j x)

với k_j(x)=\mathcal F^{-1}m_j(x).

Do m\in MH^s, s>1/2 nên

m_j(\xi)=m(2^{-j}\xi)\psi(\xi)\in H^s(\mathbb R)

hay

(1+|x|)^{2s}|k_j(x)|^2\in L^1(\mathbb R).

Với \epsilon=(2s-1)/4 ta có

\int\limits_{\mathbb R}(1+|x|)^\epsilon |k_j(x)|dx\le ||m(2^{-j}\cdot)\psi||_{H^s}(\int\limits_{\mathbb R}(1+|x|)^{-1/2-s}dx)^{1/2}

\le C||m||_{MH^s}

Như vậy k_j\in L^1(\mathbb R), thỏa mãn

(i) \int\limits_{\mathbb R}(1+|x|)^\epsilon|k_j(x)|dx<C||m||_{MH^s}

(ii) \int\limits_{\mathbb R}k_j(x)dx=m_j(0)=0

trong Định lý về xây dựng nhân Calderon-Zygmund.

Bằng một số biến đổi ta cũng sẽ có

với \alpha\in(0, 1), 0<|h|<1 thì

|h|^\alpha\int\limits_{\mathbb R} |k_j(x-h)-k_j(x)|dx\le C||m||_{MH^s}.

Như vậy từ Định lý Calderon-Zygmund và Định lý xây dựng nhân Calderon-Zygmund ta chứng minh được Định lý Mikhlin-Hormander về toán tử nhân.

Còn khá nhiều vấn đề:

– Có thể sử dụng W-phân tích để xem xét toán tử nhân trong không gian L^p(\mathbb T) không?

– Có thể tìm ví dụ để chứng tỏ H^{1/2}(\mathbb T) không là đại số?

– Ngoài MH^s, s>1/2 còn có toán tử nhân nào trong L^p(\mathbb R) không?

Ngoài ra các W-phân tích, phân tích Littlewood-Paley còn được sử dụng vào việc nào khác nữa?

One thought on “Ứng dụng của W-phân tích và phân tích Littlewood-Paley

  1. Pingback: Định lý Falconer | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s