Định lý Wiener-Tauberian (tiếp)

Trong bài “Định lý Wiener-Tauberian”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2011/05/07/d%E1%BB%8Bnh-ly-wiener-tauberian/

tôi trình bày cách tiếp cận của N. Wiener đối với Định lý Tauberian. Với cách tiếp cận này, N. Wiener đã đưa ra kết quả sâu sắc sau.

Cho f\in L^1(\mathbb R), h\in L^\infty(\mathbb R) thỏa mãn:

+) \mathcal Ff(\xi)(=\int\limits_{\mathbb R}e^{-2i\pi x\xi}f(x)dx)\not=0, \forall \xi\in\mathbb R,

+) \lim\limits_{x\to\infty}(f*h)(x)=A\mathcal Ff(0).

Khi đó, với bất kỳ g\in L^1(\mathbb R) ta đều có

\lim\limits_{x\to\infty}(g*h)(x)=A\mathcal Fg(0).

Một cách tương đương ta có thể phát biểu như sau.

Cho f\in L^1(\mathbb R) thỏa mãn

\mathcal Ff(\xi)\not=0, \forall\xi\in\mathbb R.

Khi đó không gian con đóng, bất biến với phép dịch chuyển chứa f chỉ có thể là L^1(\mathbb R). Hơn nữa, không gian sinh bởi các dịch chuyển của f trù mật trong L^1(\mathbb R).

Chú ý, trong phát biểu dầu của N. Wiener, nếu thay h(x) bởi h(x)-A ta có thể chuyển phát biểu tổng quát về trường hợp A=0. Khi đó, không gian con đóng trong phát biểu sau là không gian các hàm g\in L^1(\mathbb R), trong phát biểu của N. Wiener, thỏa mãn

\lim\limits_{x\to\infty}(g*h)(x)=0.

I. M. Gelfand phát biểu lại Định lý Wiener-Tauberian dưới dạng đại số như sau.

Cho f\in \mathbb A(\mathbb R)=\{\mathcal Fg|\; g\in L^1(\mathbb R)\} thỏa mãn

f(\xi)\not=0, \forall \xi\in\mathbb R.

Khi đó f không nằm trong ideal đóng thực sự nào trong đại số Banach \mathbb A(\mathbb R).

Hai phát biểu trên tương đương vì các lý do sau:

+ biến đổi Fourier \mathcal F: L^1(\mathbb R)\to\mathbb A(\mathbb R) là đẳng cấu, đẳng cự giữa hai đại số Banach, nghĩa là

-) \mathcal F tuyến tính, và bảo toàn phép nhân

\mathcal F(f*g)(\xi)=\mathcal Ff(\xi)\mathcal Fg(\xi),

-) ||\mathcal Ff||_{\mathbb A(\mathbb T)}=||f||_{L^1};

+ Không gian con đóng trong L^1(\mathbb R) là ideal, nghĩa là hấp thụ phép nhân (phép tích chập), khi và chỉ khi nó bất biến với phép dịch chuyển, nghĩa là nếu không gian con đóng đó chứa f thì nó chứa tất cả các dịch chuyển T_hf=f(.-h).

Nhờ Định lý Hahn-Banach, các phát biểu trên tương đương với phát biểu sau của A. Beurling.

Cho f\in L^1(\mathbb R) thỏa mãn:

\mathcal Ff(\xi)\not=0, \forall \xi\in\mathbb R.

Khi đó, nếu h\in L^\infty(\mathbb R) thỏa mãn

f*h(x)=0, h.k.n trong \mathbb R,

thì h=0.

Ngoài ra ta còn thấy các mệnh đề sau tương đương.

Cho f\in L^1(\mathbb R).

MĐ 1. \mathcal Ff(\xi)\not=0, \forall \xi\in\mathbb R.

MĐ 2. Nếu h\in L^\infty(\mathbb R) thỏa mãn

\lim\limits_{x\to\infty}(f*h)(x)=A\mathcal Ff(0)

thì với mọi g\in L^1(\mathbb R) ta đều có

\lim\limits_{x\to\infty}(g*h)(x)=A\mathcal Fg(0).

MĐ 3. Không gian con đóng, bất biến với phép dịch chuyển, chứa f chính là L^1(\mathbb R).

MĐ 4. Không gian con sinh bởi các dịch chuyển của hàm f trù mật trong L^1(\mathbb R).

MĐ 5. Không có ideal đóng thực sự nào trong \mathbb A(\mathbb R) chứa \mathcal Ff.

MĐ 6. Nếu h\in L^\infty(\mathbb R) thỏa mãn

(f*h)(x)=0, h.k.n trong \mathbb R,

thì h=0.

Không khó để thấy

+ các mệnh đề MĐ 2, MĐ 3, MĐ 5 tương đương,

+ các mệnh đề MĐ 4, MĐ 6 tương đương,

+ mệnh đề MĐ 4 suy ra MĐ 3,

+ mệnh đề MĐ 5 suy ra MĐ 1, vì nếu có \xi_0 để \mathcal Ff(\xi_0)=0 thì ideal \{h\in\mathbb A(\mathbb R)|\; h(\xi_0)=0\} chứa \mathcal Ff(\xi),

+ mệnh đề 6 suy ra MĐ 1, vì nếu có \xi_0 để \mathcal Ff(\xi_0)=0 ta chọn h(x)=e^{2\pi ix\xi_0}.

Nhờ Định lý Wiener-Tauberian ta có MĐ 1 dẫn đến các MĐ 4, MĐ 5, MĐ 6. Từ đó ta có sáu mệnh đề tương đương.

Trong không gian dãy \ell_1(\mathbb Z) ta cũng có Định lý Wiener-Tauberian. Hơn nữa ta có các mệnh đề sau tương đương.

Cho dãy x\in\ell_1(\mathbb Z). Các mệnh đề sau tương đương.

MĐ 1. Chuỗi \sum\limits_{n\in\mathbb Z}x_ne^{in\theta} là một hàm x(\theta)\in\mathbb A(\mathbb T). Hàm x(\theta)\not=0, \forall \theta\in\mathbb T.

MĐ 2. Nếu y\in\ell_\infty(\mathbb Z) thỏa mãn

\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k\in\mathbb Z}x_{n-k}y_k=A\sum\limits_{k\in\mathbb Z}x_k

thì với mọi z\in\ell_1(\mathbb Z) ta đều có

\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k\in\mathbb Z}z_{n-k}y_k=A\sum\limits_{k\in\mathbb Z}z_k.

MĐ 3. Không gian con sinh bởi các dịch chuyển của x trù mật trong \ell_1(\mathbb Z).

MĐ 4.(Định lý Wiener) Hàm (1/x)(\theta)\in \mathbb A(\mathbb T).

MĐ 5. Nếu y\in\ell_\infty(\mathbb Z) thỏa mãn

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}x_{n-k}y_k=0, \forall n\in\mathbb Z

thì y=0.

Trong các không gian L^2(\mathbb R), \ell_2(\mathbb Z) mặc dù không có phép nhân nhưng lại có

+) f*g\in \mathbb A(\mathbb R), \mathcal F(f*g)=\mathcal Ff\mathcal Fg\in L^1(\mathbb R) khi f, g\in L^2(\mathbb R);

+) (x*y)(\theta)=x(\theta)y(\theta)\in\mathbb A(\mathbb T).

Từ đó ta cũng có Định lý Wiener-Tauberian trong các không gian này.

Cho f\in L^2(\mathbb R) (một cách tương ứng x\in\ell_2(\mathbb Z)). Các mệnh đề sau tương đương.

MĐ 1. \mathcal Ff(\xi)\not=0, h.k.n trong \mathbb R, (tương ứng x(\theta)\not=0, h.k.n trong \mathbb T.

MĐ 2. Nếu h\in L^2(\mathbb R) thỏa mãn

\lim\limits_{x\to\infty}(f*h)(x)=0

thì với mọi g\in L^2(\mathbb R) ta đều có

\lim\limits_{x\to\infty}(g*h)(x)=0,

(tương ứng, nếu y\in\ell_2(\mathbb Z) thỏa mãn

\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k\in\mathbb Z}x_{n-k}y_k=0

thì với mọi z\in\ell_2(\mathbb Z) ta đều có

\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k\in\mathbb Z}z_{n-k}y_k=0).

MĐ 3. Không gian sinh bởi các dịch chuyển của f trù mật trong L^2(\mathbb R), (không gian sinh bởi các dịch chuyển của x trù mật trong \ell_2(\mathbb Z)).

MĐ 4. Nếu h\in L^2(\mathbb R) thỏa mãn

(f*h)(x)=0, \forall x\in\mathbb Z,

thì h=0,

(nếu y\in\ell_2(\mathbb Z) thỏa mãn

\sum\limits_{k\in\mathbb Z}x_{n-k}y_k=0, \forall n\in\mathbb Z,

thì y=0).

N. Wiener đặt ra câu hỏi: trong L^p, \ell_p, 1<p<2 các kết quả như trên còn đúng không? Cụ thể, N. Wiener đặt giả thuyết như sau:

(Liên tục) Cho f\in L^p(\mathbb R). Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương.

MĐ 1. Tập Z_f=\{\xi|\; \mathcal Ff(\xi)=0\}=\emptyset.

MĐ 2. Hàm f là cyclic, nghĩa là không gian sinh bởi các dịch chuyển của f sinh ra L^p(\mathbb R).

(Rời rạc) Cho dãy x\in\ell_p(\mathbb Z). Khi đó, hai mệnh đề sau tương đương.

MĐ 1. Tập Z_x=\{\theta|\; \sum\limits_{n\in\mathbb Z}x_ne^{in\theta}=0\}=\emptyset.

MĐ 2. Dãy x là cyclic.

Trong trường hợp L^p(\mathbb T), 1\le p<\infty, giả thuyết Wiener đúng, nghĩa là hai mệnh đề sau tương đương.

MĐ 1. Z_f=\{n|\; \hat{f}(n)=0\}=\emptyset.

MĐ 2. Hàm f là cyclic.

A. Beurling chỉ ra giả thuyết Wiener không đúng, bằng các kết quả sau.

(Liên tục) Cho f\in L^1(\mathbb R)\cap L^p(\mathbb R). Nếu số chiều Hausdorff dim_H(Z_f)<2-2/p thì f là cyclic trong L^p(\mathbb R).

(Rời rạc) Cho x\in\ell_1(\mathbb Z)\cap \ell_p(\mathbb Z). Nếu số chiều Hausdorff dim_H(Z_x)<2-2/p thì x là cyclic trong \ell_p(\mathbb Z).

Câu hỏi tiếp: liệu các tập Z_f, Z_x có quyết định tính cyclic của f, x trong L^p(\mathbb R), \ell_p(\mathbb Z) không?

Với p>2 câu trả lời: có.

Với 1<p<2, N. Lev và A. Olevskii đã đưa ra câu trả lời không bằng các kết quả sau.

(Liên tục) Có các hàm f_1, f_2\in L^p(\mathbb R) sao cho:

(i) Z_{f_1}=Z_{f_2};

(ii) f_1 là cyclic, f_2 không là cyclic.

(Rời rạc) Có các dãy x_1, x_2\in\ell_p(\mathbb Z) sao cho:

(i) Z_{x_1}=Z_{x_2};

(ii) x_1 là cyclic, x_2 không là cyclic.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s