Biến đổi Hilbert

Biến đổi Hilbert được xuất hiện đầu tiên khi D. Hilbert nghiên cứu bài toán Riemann-Hilbert, bài toán tìm hàm chỉnh hình khi biết “bước nhảy” của nó khi đi qua một đường cong. Sau đó nó được nhiều nhà toán học quan tâm và đặc biệt nó là khởi nguồn của lý thuyết tích phân kỳ dị do A. Zygmund, A. P. Calderon cũng như S. G. Mikhlin và nhiều toán học khác xây dựng nên. Về mặt định nghĩa nó đơn giản là tích phân “suy rộng” sau

H(f)(x)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{f(y)}{x-y}dy

với f:\mathbb R\to\mathbb C là hàm đủ tốt. Có thể thấy tích phân này suy rộng theo cả hai kiểu:

– kỳ dị tại x,

– miền lấy tích phân vô hạn.

Do đó nếu hiểu tích phân trên như cách lấy giới hạn của tích phân suy rộng thông thường thì sẽ có rất ít hàm để tích phân này hội tụ. Chẳng hạn hàm f(x)=e^{-x^2} là hàm khá tốt nhưng khi thay vào tích phân trên ta chỉ được một tích phân suy rộng không hội tụ tại bất cứ điểm x nào. Nhưng nếu ta hiểu tích phân trên theo kiểu giá trị chính (principal value), nghĩa là

H(f)(x)=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+\atop M\to+\infty}\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{\epsilon<|x-y|<M}\dfrac{f(y)}{x-y}dy

thì với f(x) thuộc lớp hàm giảm nhanh giới hạn trên hoàn toàn xác định tại mọi điểm x. Để thấy được điều này ta có thể nhìn qua con mắt “hàm suy rộng” như sau.

Trước hết ta gặp lại một hàm suy rộng thực sự (không phải hàm khả tích địa phương) có dạng thông thường PV(1/x), được hiểu theo nghĩa suy rộng như sau

\langle PV(1/x), \varphi\rangle=P.V. \dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \dfrac{\varphi(x)}{x}dx, \varphi\in S(\mathbb R)

=\dfrac{1}{\pi}\lim\limits_{\epsilon\to0_+\atop M\to+\infty}\int\limits_{\epsilon<|x|<M}\dfrac{\varphi(x)}{x}dx.

Từ đánh giá

|\langle PV(1/x), \varphi\rangle|\le \dfrac{2}{\pi}(\sup\limits_{x\in\mathbb R}|\varphi'(x)|+\sup\limits_{x\in\mathbb R}|x\varphi(x)|)

ta có PV(1/x)\in S'(\mathbb R). Khi đó biến đổi Hilbert chẳng qua là ánh xạ tích chập

f\mapsto H(f)=PV(1/x)*f là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(\mathbb R) vào \mathcal E(\mathbb R).

Như vậy biến đổi Hilbert là toán tử dạng tích chập, bất biến với phép dịch chuyển và đặc biệt ta có thể viết nó như toán tử nhân Fourier với nhân là biến đổi Fourier

\mathcal F(PV(1/x))\in S'(\mathbb R)

được tính toán như sau. Lấy \varphi\in S(\mathbb R)

\langle \mathcal F(PV(1/x)), \varphi\rangle= \dfrac{1}{\pi}\lim\limits_{\epsilon\to0_+\atop M\to+\infty}\int\limits_{\epsilon<|x|<M}\dfrac{\hat{\varphi}(x)}{x}dx

=\dfrac{1}{\pi} \lim\limits_{\epsilon\to0_+\atop M\to+\infty} \int\limits_{\mathbb R}\varphi(\xi)\Big(\int\limits_{\epsilon<|x|<M}\dfrac{e^{-2\pi i x\xi}}{x}dx\Big)d\xi

=\langle -i\;sgn(\xi), \varphi(\xi)\rangle

nên \mathcal F(PV(1/x))(\xi)=-i\;sgn(\xi). Khi đó biến đổi Hilbert dạng toán tử nhân Fourier

H(f)(x)=\mathcal F^{-1}(-i\;sgn(\xi)\hat{f}(\xi))(x).

Với cách nhìn này ta thấy được thêm một số tính chất của biến đổi Hilbert:

– Giống biến đổi Fourier, biến đổi Hilbert bảo toàn chuẩn trong L^2, nghĩa là

||H(f)||_{L^2}=||f||_{L^2},

H^2=-I. Và hơi khác một chút so với biến đổi Fourier, toán tử liên hợp của biến đổi Hilbert

H^*(f)(x)=-H(f)(x)=\mathcal F^{-1}(i\;sgn(\xi)\hat{f}(\xi))(x).

Khi đó ta có thể thác triển biến đổi Hilbert thành một toán tử uniatry trong L^2(\mathbb R), nghĩa là toán tử tuyến tính bị chặn và thỏa mãn

H^*=H^{-1}=-H.

Khác đôi chút với biến đổi Fourier cũng là toán tử tự unitary trong L^2(\mathbb R) nhưng

\mathcal F^*(\varphi)=\mathcal F^{-1}(\varphi)=\overline{\mathcal F(\bar{\varphi})}.

– Với f\in S(\mathbb R) thì -i\;sgn(\xi)\hat{f}(\xi)\in L^1(\mathbb R). Khi đó

H(f)\in L^\infty(\mathbb R)\lim\limits_{|x|\to\infty}H(f)(x)=0.

Ngoài ra, không khó để thấy

H(tf(t))(x)=xH(f)(x)-\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{\mathbb R}f(t)dt.

Do xf(x)\in S(\mathbb R) khi f\in S(\mathbb R) nên

\lim\limits_{|x|\to\infty}xH(f)(x)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{\mathbb R}f(t)dt.

Từ đó dẫn đến:

nói chung H(f)\not\in L^1(\mathbb R), khi f\in S(\mathbb R). Tuy nhiên, khi p>1, M. Riesz và E. Titchmash cho các đánh giá

||H(f)||_{L^p}\le C_p||f||_{L^p}, f\in S(\mathbb R).

Hằng số tốt nhất được S. Pichorides chỉ ra

C_p=\begin{cases}\;tan(\pi/(2p))\; khi\; 1<p\le 2,\\ \;cotan(\pi/(2p))\; khi\; 2<p<\infty.\end{cases}

Hơn nữa, bằng kỹ thuật maximal nghĩa là xét toán tử maximal

H_{max}(f)(x)=\sup\limits_{\epsilon>0} \Big|\int\limits_{|x-y|>\epsilon}\dfrac{f(y)}{x-y}dy\Big|

và vài đánh giá ta có giá trị chính của tích phân H(f)(x) xác định với hầu hết x khi f\in L^p(\mathbb R), p>1. E. Titchmash còn cho kết quả tương tự với lớp hàm rộng hơn

\int\limits_{\mathbb R}\dfrac{|f(x)|^p}{1+x^2}dx<\infty, p>1.

Câu hỏi: liệu còn có thể mở rộng lớp hàm này đến mức nào?

One thought on “Biến đổi Hilbert

  1. datuan5pdes

    Để làm quen với phép biến đổi Hilbert ta tính biến đổi Hilbert của một vài hàm đơn giản.

    Có biến đổi Fourier

    \mathcal F(PV(1/x))(\xi)=-i\;sgn(\xi)

    nên biến đổi Hilbert

    H(e^{it})(x)=e^{ix}\mathcal F(PV(1/x))(1)=-ie^{ix}.

    Do đó các biến đổi Hilbert

    H(\cos t)(x)=\sin x,

    H(\sin t)(x)=-\cos x.

    Với các số thực a<b, xét hàm đặc trưng

    \chi_{a,b}(x)=\begin{cases}1 \; khi \; a<x<b,\\ 0\; otherwise.\end{cases}

    Tính toán cẩn thận ta có biến đổi Hilbert

    H(\chi_{a, b})(x)=\dfrac{1}{\pi}\ln\Big|\dfrac{x-a}{x-b}\Big|.

    Ngoài ra các bạn thử chứng minh các biến đổi Hilbert sau

    H(\dfrac{1}{t^2+1})(x)=\dfrac{x}{x^2+1},

    H(\dfrac{\sin t}{t})(x)=\dfrac{1-\cos x}{x}.

    Đặc biệt biến đổi Hilbert của hàm Dirac

    H(\delta)(x)=\dfrac{1}{\pi x}.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s