Biến đổi Riesz-Tích phân kỳ dị

Có thể nói biến đổi Riesz là biến đổi Hilbert trong trường hợp nhiều chiều, hay biến đổi Hilbert là biến đổi Riesz một chiều. Ta có thể thấy ngay điều này qua các công thức

– biến đổi Hilbert

H\varphi(x)=\dfrac{1}{\pi}p.v.\int\limits_{\mathbb R}\dfrac{f(y)}{x-y}dy, \varphi\in S(\mathbb R),

– biến đổi Riesz

R_j\varphi(x)=\dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}p.v.\int\limits_{\mathbb R^n}\dfrac{(x_j-y_j)}{||x-y||^{n+1}}f(y)dy, \varphi\in S(\mathbb R^n),

j=1, 2, \dots, n,

trong đó ||x-y||=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n (x_j-y_j)^2}.

Để ý rằng các phép biến đổi này gần giống với toán tử tích phân

T: f\mapsto \int\limits_{\mathbb R^n}K(x, y)f(y)dy.

Điểm khác

– biến đổi Hilbert có hạch K(x, y)=\dfrac{1}{x-y}

– biến đổi Riesz có hạch K_j(x, y)=\dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}\dfrac{x_j-y_j}{||x-y||^{n+1}}

không thỏa mãn

\int\limits_{\mathbb R^n}|K(x, y)|dy<C, \int\limits_{\mathbb R^n}|K(x, y)|dx<C.

Tuy nhiên các biến đổi này lại có thể viết dưới dạng tích chập với các hàm

– biến đổi Hilbert K(x)=\mathcal P(1/x)\in S'(\mathbb R),

– biến đổi Riesz K_j(x)=\mathcal P(x_j/||x||^{n+1})\in S'(\mathbb R^n).

Hơn nữa các hàm này đều có tính thuần nhất với bậc là số chiều không gian. Nhận xét này dẫn ta đến toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất.

Cho hàm \Omega\in L^1(\mathbb S^{n-1}), nghĩa là hàm khả tích Lebesgue trên mặt cầu đơn vị. Giả sử thêm \Omega có trung bình không, nghĩa là

\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(x)dS=0.

Khi đó hạch

K_\Omega(x)=\dfrac{\Omega(x/||x||)}{||x||^n}, x\not=0,

là hàm thuần nhất bậc -n.

Hạch cho biến đổi Riesz R_j là hạch ứng với

\Omega(x)=\dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}x_j.

Xét ánh xạ

K_\Omega: \varphi\in S(\mathbb R^n)\mapsto \langle K_\Omega, \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to 0_+\atop M\to+\infty}\int\limits_{\epsilon\le ||x||\le M}K_\Omega(x)\varphi(x)dx.

Từ các tính chất thuần nhất bậc (-n) và trung bình không của hàm \Omega ta có đánh giá

|\langle K_\Omega, \varphi\rangle|\le C_1||\nabla \varphi||_{L^\infty}||\Omega||_{L^1}+C_2\sum\limits_{|\alpha|\le 1}||x^\alpha\varphi||_{L^\infty}||\Omega||_{L^1}.

Do đó K_\Omega\in S'(\mathbb R^n). Khi đó toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất ứng với hạch K_\Omega được xác định bởi dạng tích chập

\varphi\mapsto K_\Omega*\varphi

là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ \mathcal S(\mathbb R^n) vào \mathcal E(\mathbb R^n). Ngoài ra, toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất K_\Omega còn bất biến với phép dịch chuyển và viết được dưới dạng toán tử nhân Fourier. Trước hết ta tính nhân Fourier của phép biến đổi Riesz.

Lấy \varphi\in S(\mathbb R^n), 1\le j\le n. Tính toán

\langle \hat{R}_j, \varphi\rangle=\langle R_j, \hat{\varphi}\rangle

=\dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}\lim\limits_{\epsilon\to0_+}\int\limits_{\epsilon<||\xi||<\epsilon^{-1}}\hat{\varphi}(\xi)\dfrac{\xi_j}{||\xi||}d\xi

=\dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}\lim\limits_{\epsilon\to0_+}\int\limits_{\mathbb R^n}\varphi(x)\left[\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\int\limits_{\epsilon<r<\epsilon^{-1}}e^{-2\pi irx\cdot\theta}\dfrac{dr}{r}\theta_jd\theta\right]dx

=\int\limits_{\mathbb R^n}\varphi(x)\left[-i\dfrac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\pi^{\frac{n+1}{2}}}\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\int\limits_0^\infty\dfrac{\sin(2\pi rx\cdot\theta)}{r}dr\theta_jd\theta\right]dx,

trong đó x\cdot\theta=\sum\limits_{k=1}^n x_k\theta_k.

Chú ý

\int\limits_0^\infty \dfrac{\sin t}{t}dt=\dfrac{\pi}{2},

\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}sgn(x\cdot\theta)\theta_jd\theta=\dfrac{2\pi^{\frac{n-1}{2}}}{\Gamma(\frac{n+1}{2})}\dfrac{x_j}{||x||}, x\not=0,

nên nhân Fourier của biến đổi Riesz

\hat{R}_j(x)=-i\dfrac{x_j}{||x||}.

Một vài tính chất đơn giản của biến đổi Riesz:

+) -\sum\limits_{j=1}^n R_j^2 là toán tử đồng nhất,

+) biến đổi Riesz bị chặn trong L^2(\mathbb R^n), từ đó ta có thể định nghĩa được biến đổi Riesz cho lớp hàm L^2(\mathbb R^n),

+) nếu u\in \mathcal D'(\mathbb R^n) là nghiệm của phương trình Poisson

\Delta u=f\in S(\mathbb R^n)

thì \partial_j\partial_k u=-R_jR_kf.

Tiếp đến ta tính nhân Fourier cho toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất như sau. Tính toán

\langle \hat{K}_\Omega, \varphi\rangle=\langle K_\Omega, \hat{\varphi}\rangle

=\lim\limits_{\epsilon\to0_+\atop M\to+\infty}\int\limits_{\epsilon<||\xi||<M}\hat{\varphi}(\xi)\dfrac{\Omega(\xi_j/||\xi||)}{||\xi||^n}d\xi

(mà \int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)d\theta=0)

=\lim\limits_{\epsilon\to0_+\atop M\to+\infty}\int\limits_{\mathbb R^n}\varphi(x)\left[\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\int\limits_{\epsilon<r<M}(e^{-2\pi i rx\cdot \theta}-\cos(2\pi r||x||))\dfrac{dr}{r}\Omega(\theta)d\theta\right]dx

=\lim\limits_{\epsilon\to0_+\atop M\to+\infty}\int\limits_{\mathbb R^n}\varphi(x)\left[\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\int\limits_{\frac{\epsilon}{2\pi||x||}<r<\frac{M}{2\pi||x||}}\dfrac{e^{-ir\left(\frac{x}{||x||}\right)\cdot\theta}-\cos(r)}{r}drd\theta\right]dx.

Để tính được tiếp ta dùng một vài kết quả

\int\limits_0^\infty \dfrac{\sin t}{t}dt=\dfrac{\pi}{2},

\lim\limits_{\epsilon\to0_+\atop M\to+\infty}\int\limits_{\epsilon<r<M}\dfrac{\cos(ra)-\cos(r)}{r}dr=\ln(1/|a|).

Khi đó nhân Fourier của toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất

\hat{K}_\Omega(x)=\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)\left(\ln\left(\frac{1}{|(\frac{x}{||x||}\cdot\theta)|}\right)-\dfrac{i\pi}{2}sgn(x\cdot \theta)\right)d\theta.

Để ý \int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)d\theta=0 nên nhân Fourier của toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất có thể viết lại

\hat{K}_\Omega(x)=\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)\left(\ln\left(\frac{1}{|x\cdot\theta|}\right)-\dfrac{i\pi}{2}sgn(x\cdot\theta)\right)d\theta.

Một vài tính chất đơn giản:

+) Toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất là toán tử bị chặn trong L^2(\mathbb R^n) khi và chỉ khi

essssup_{x\in\mathbb S^{n-1}}\left|\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)\ln\left(\frac{1}{|x\cdot\theta|}\right)d\theta\right|<\infty.

+) Nếu \Omega là hàm lẻ thì kết quả của tích phân trên luôn bằng 0. Do đó toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất lẻ bị chặn trong L^2(\mathbb R^n). Biến đổi Riesz là trường hợp đặc biệt của nó. Ngoài ra nhân Fourier của toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất

\hat{K}_\Omega(x)=-\dfrac{i\pi}{2}\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)sgn(x\cdot\theta)d\theta.

Bằng phương pháp quay ta có

– do \Omega lẻ nên

\int\limits_{\epsilon<|y|<M}\dfrac{\Omega(y/|y|)}{||y||^n}f(x-y)dy=\dfrac{\pi}{2}\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)\mathcal H^{\epsilon, M}_\theta(f)(x)d\theta

trong đó

\mathcal H^{\epsilon, M}_\theta(f)(x)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{\epsilon<|t|<M}f(x-t\theta)\dfrac{dt}{t},

– khi đó

K_\Omega*f(x)=\dfrac{\pi}{2}\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)\mathcal H_\theta(f)(x)d\theta

trong đó \mathcal H_\theta là biến đổi Hilbert theo hướng \theta\in\mathbb S^{n-1} xác định bởi

\mathcal H_\theta(f)(x)=\dfrac{1}{\pi}p.v.\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t\theta)\dfrac{dt}{t}.

Từ đó toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất lẻ K_\Omega là toán tử bị chặn trong L^p(\mathbb R^n), 1<p<\infty. Hơn nữa ta có đánh giá chuẩn

||K_\Omega||_{L^p\to L^p}\le C||\Omega||_{L^1}\begin{cases}p\; khi \; p\ge 2,\\ (p-1)^{-1}\; khi \; 1<p<2.\end{cases}

+) Nếu \Omega là hàm chẵn và thỏa mãn

\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}|\Omega(\theta)|\ln^+|\Omega(\theta)|d\theta

thì

– nhân Fourier

\hat{K}_\Omega(x)=\int\limits_{\mathbb S^{n-1}}\Omega(\theta)\ln\left(\frac{1}{|x\cdot\theta|}\right)d\theta

là hàm bị chặn nên toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất chẵn là bị chặn trong L^2(\mathbb R^n),

– bằng các phân tích

K_\Omega=K^0_\Omega+K^1_\Omega+K^2_\Omega

trong đó

\langle K^0_\Omega, \varphi\rangle=\lim\limits_{\epsilon\to0_+}\int\limits_{\epsilon2}(x),

K^m_\Omega=-\sum\limits_{j=1}^n R_j K^m_j, m=0, 1, 2

với K^m_j=R_jK^m_\Omega là toán tử có nhân Fourier -i\dfrac{x_j}{||x||}\hat{K}^m_\Omega(x)

và một số kỹ thuật đánh giá sẽ dẫn đến toán tử tích phân kỳ dị thuần nhất chẵn là bị chặn trong L^p(\mathbb R^n), 1<p<\infty.

Một cách tổng quát toán tử tích phân kỳ dị dạng tích chập có dạng

\lim\limits_{j\to\infty}\int\limits_{\delta_j<||y||<j}K(x-y)\varphi(y)dy, \varphi\in S(\mathbb R^n),

trong đó K:\mathbb R^n\setminus\{0\}\to\mathbb C là hàm đo được thỏa mãn

\sup\limits_{R>0}\int\limits_{R<||x||<2R}|K(x)|dx=A_1<\infty

\lim\limits_{j\to\infty}\int\limits_{\delta_j<||x||<1}K(x)dx=L

và dãy số \{\delta_j\}_{j=1}^\infty là dãy giảm về 0.

Khi đó toán tử tích phân kỳ dị dạng tích chập K là ánh xạ tuyến tính liên tục từ \mathcal S(\mathbb R^n) vào \mathcal E(\mathbb R^n). Để toán tử này là toán tử bị chặn trong L^p(\mathbb R^n), 1< p <\infty, ta thêm hai điều kiện

-) điều kiện trơn hay còn gọi là điều kiện Hormander

\sup\limits_{y\not=0}\int\limits_{||x||>2||y||}|K(x-y)-K(x)|dx=A_2<\infty,

-) điều kiện loại bỏ

\sup\limits_{0<R_1<R_2<\infty}\left|\int\limits_{R_1<||x||<R_2}K(x)dx\right|=A_3<\infty.

One thought on “Biến đổi Riesz-Tích phân kỳ dị

  1. Pingback: Biến đổi Riesz – Thế vị Riesz – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s