Tính giải được địa phương (tiếp)

Cách đây khá lâu tôi có viết bài “Tính giải được địa phương”

https://datuan5pdes.wordpress.com/2007/05/22/tinh-gi%E1%BA%A3i-d%C6%B0%E1%BB%A3c-d%E1%BB%8Ba-ph%C6%B0%C6%A1ng/

nói về tính giải được địa phương của toán tử vi phân và toán tử giả vi phân. Cụ thể tôi có nói đến các kết quả quan trọng:

– Định lý Cauchy-Kovalevskii: khẳng định sự tồn tại-duy nhất nghiệm giải tích một cách địa phương của bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tổng quát

F(x, (\partial^\alpha u)_{|\alpha|\le k})=0, x\in\Omega (là tập mở trong \mathbb R^n), \partial^\alpha=\partial_{x_1}^{\alpha_1}, \cdots, \partial_{x_n}^{\alpha_n}, \partial_{x_j}=\dfrac{\partial}{\partial x_j},

với điều kiện Cauchy đặt trên siêu mặt S\subset\Omega là mặt giải tích và không đặc trưng,

trong đó F: \Omega\times \mathbb R^M\to\mathbb C, M=\sum\limits_{|\alpha|\le k}1, là hàm giải tích.

– Định lý Holmgren: quan tâm đến lớp phương trình tuyến tính với hệ số giải tích

P(x, D)u(x)=\sum\limits_{|\alpha|\le k}a_\alpha(x)D^\alpha u(x)=f(x), x\in\Omega (là tập mở trong \mathbb R^n) D^\alpha=D_1^{\alpha_1}\cdots D_n^{\alpha_n}, D_j=-i\partial_{x_j},

trong đó a_\alpha:\Omega\to\mathbb C là các hàm giải tích. Khi đó Holmgren khẳng định rằng nếu P(x, D)u là hàm giải tích thì u giải tích.

Từ đây kết hợp với Định lý Cauchy-Kovaleskaya khi f(x) giải tích thì bài toán Cauchy cho phương trình

P(x, D)u(x)=f(x), x\in\Omega,

với điều kiện Cauchy đặt trên siêu mặt giải tích, không đặc trưng, chỉ có duy nhất một nghiệm giải tích một cách địa phương.

Ngoài ra trong trường hợp toán tử vi phân P(x, D) là elliptic thì H. Weyl khẳng định nếu P(x, D)u khả vi vô hạn thì u khả vi vô hạn. Đây là điểm khởi đầu của khái niệm hypoelliptic.

– Hans Lewy chỉ ra phương trình tuyến tính với hệ số giải tích mà có những hàm khả vi vô hạn f(x) phương trình đó không có nghiệm. Từ kết quả này đã mở ra một vài hướng khá thú vị trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính: L. Hormander tìm lý do về sự vô nghiệm của ví dụ Lewy, L. Nirenberg và F. Treves đưa ra giả thuyết về điều kiện cần và đủ cho tính giải được địa phương cho toán tử vi phân kiểu chính, Yu. Egorov đạt được kết quả sâu sắc về tính subelliptic, P. C. Greiner, J. J. Kohn, E. Stein tìm điều kiện cho hàm f(x) để phương trình có nghiệm.v.v.

Trong bài này tôi sẽ đi cụ thể vào hai vấn đề:

– tính toán chi tiết ví dụ của Lewy,

– tìm hiểu Định lý Malgrange-Ehreinpreis về tính giải được của lớp toán tử vi phân đơn giản nhất: toán tử vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng,

– điều kiện cần và đủ để toán tử vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng là hypoelliptic.

Tài liệu tham khảo chính

“Introduction to PDEs” của G. B. Folland.

Ta bắt đầu với toán tử Lewy trên \Omega=\mathbb R^3

L=L(x, y, t)=\partial_x+i\partial_y-2i(x+iy)\partial_t.

H. Lewy chứng minh được rằng:

Cho f:\mathbb R\to\mathbb R là hàm liên tục. Khi đó, nếu hàm u\in C^1(\mathbb R^3) thỏa mãn phương trình

Lu(x, y, t)=f(t) trong một lân cận nào đó của gốc

thì f giải tích tại t=0.

Trước khi đi vào chứng minh kết quả này ta có vài chú ý sau:

– Năm 1956, H. Lewy phát hiện ra toán tử Lewy khi xét trong hệ tọa độ nhất định, L là trường vec-tơ Cauchy-Riemann trên mặt cầu đơn vị trong \mathbb C^2.

– Toán tử Lewy bất biến với nhóm Heisenberg, nghĩa là nếu cố định điểm (x_0, y_0, t_0) xét phép đổi biến

T: (x, y, t)\mapsto(x-x_0, y-y_0, t-t_0-2y_0x+2x_0y)

thì L(u(T(x, y, t)))=(Lu)(T(x, y, t)).

Từ đó dẫn đến, kết quả trên của H. Lewy không chỉ đúng tại gốc mà còn tại bất kỳ điểm (x_0, y_0, t_0). Do đó ta có thể xây dựng được hàm f:\mathbb R\to\mathbb R khả vi vô hạn mà phương trình

Lu=f

không giải được địa phương tại bất kỳ điểm nào trong C^{1+\alpha}, \alpha>0.

– Năm 1958, L. Hormander nhận ra được lý do toán tử Lewy không giải được địa phương. Cụ thể L. Hormander xét lớp toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số khả vi vô hạn

P(x, D)=\sum\limits_{|\alpha|\le k}a_\alpha(x)D^\alpha, a_\alpha\in C^\infty(\Omega), \Omega là tập mở trong \mathbb R^n.

L. Hormander đã chứng minh được:

Cho u\in \mathcal D'(\Omega) thỏa mãn P(x, D)u\in C^\infty_0(\Omega). Khi đó

C_{2k-1}(x, \xi)=0 trên tập \{(x, \xi)|\; P_m(x, \xi)=0\},

trong đó

P_k(x, \xi)=\sum\limits_{|\alpha|=k}a_\alpha(x)\xi^\alpha, \bar{P}_k(x, \xi)=\sum\limits_{|\alpha|=k}\bar{a}_\alpha(x)\xi^\alpha, và

C_{2k-1}(x, \xi)=i\sum\limits_{j=1}^n(\partial_{\xi_j}P_k(x, \xi)\partial_{x_j}\bar{P}_k(x, \xi)-

-\partial_{x_j}P_k(x, \xi)\partial_{x_j}\bar{P}_k(x, \xi)).

Quay trở lại toán tử Lewy là toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp 1 và có

P_1(x, \xi)=-iL(x, \xi)=-i\xi_1+\xi_2-2(x_1+ix_2)\xi_3,

C_1(x, \xi)=8\xi_3

nên từ kết quả của L. Hormander dẫn đến toán tử Lewy không giải được địa phương trong \mathcal D'(\mathbb R^3).

Trong bài viết này tôi không có ý định tìm hiểu chứng minh kết quả này của L. Hormander. Giờ ta chuyển qua chứng minh kết quả trên của H. Lewy. Từ giả thiết ta có số dương R để

Lu(x, y, t)=f(t) khi x^2+y^2<R^2, |t|< R.

Với mỗi r\in(0, R), ta quan sát tích phân đường

V(r, t)=\int\limits_{C_r}u(x, y, t)dz

trong đó C_r=\{(x, y)|\; x^2+y^2=r^2\} có hướng dương ngược chiều kim đồng hồ. Ta nhìn tích phân này theo hai cách sau.

C1. Chuyển sang hệ tọa độ cực x=r\cos\theta, y=r\sin\theta ta có

V(r, t)=ir\int\limits_0^{2\pi}u(r\cos\theta, r\sin\theta, t)e^{i\theta}d\theta.

C2. Dùng công thức Green có

V(r, t)=\int\limits_{x^2+y^2<r^2}\left[iu_x-u_y\right](x, y, t)dxdy

rồi chuyển sang hệ tọa độ cực

V(r, t)=i\int\limits_0^r\int\limits_0^{2\pi}\left[u_x+iu_y\right](\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, t)\rho d\rho d\theta.

Đặt s=r^2, U(s, t)=V(r, t)+\pi\int\limits_0^t f(\tau)d\tau. Ta sẽ chứng minh U thỏa mãn phương trình Cauchy-Riemann theo (s, t) trong 0<s<R^2, |t|<R, nghĩa là

U_t(s, t)+iU_s(s, t)=0, 0<s<R^2, |t|<R.

+) U_t(s, t)=V_t(s, t)+\pi f(t)=

=ir\int\limits_0^{2\pi}u_t(r\cos\theta, r\sin\theta, t)e^{i\theta}d\theta+\pi f(t),

+) U_s(s, t)=\dfrac{\partial V}{\partial s}(s, t)=\dfrac{V_r(r, t)}{2r}

=\dfrac{i}{2}\int\limits_0^{2\pi}\left[u_x(r\cos\theta, r\sin\theta, t)+iu_y(r\cos\theta, r\sin\theta, t)\right]d\theta

Lu(x, y, t)=f(t), x^2+y^2<R^2, |t|<R hay

u_x(r\cos\theta, r\sin\theta, t)+iu_y(r\cos\theta, r\sin\theta, t)=

=2ire^{i\theta}u_t(r\cos\theta, r\sin\theta, t)+f(t), 0<s<R^2, |t|<R

nên khi 0<s<R^2, |t|<R

U_s(s, t)=-r\int\limits_0^{2\pi}u_t(r\cos\theta, r\sin\theta, t)d\theta+i\pi f(t).

Tóm lại trong miền 0<s<R^2, |t|<R hàm U(s, t) là hàm chỉnh hình theo biến w=t+is. Ngoài ra U(s, t) liên tục đến đường s=0U(0, t)=\pi F(t) là hàm giá trị thực. Bằng phép phản xạ Schwarz

U(s, t)=\overline{U(-s, t)}, s<0

ta thu được hàm U(s, t) chỉnh hình theo w=t+is trong lân cận |s|<R^2, |t|<R của gốc. Đặc biệt U(0, t)=\pi F(t) là hàm giải tích và do đó f(t) là hàm giải tích tại t=0. Kết thúc chứng minh kết quả của H. Lewy.

Tiếp đến ta chuyển sang kết quả của Malgrange và Ehreinpreis về toán tử vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng

P(D)=\sum\limits_{|\alpha|\le k}c_\alpha D^\alpha,

trong đó c_\alpha là các hằng số phức sao cho

\sum\limits_{|\alpha|=k}|c_\alpha|>0.

Bằng phép quay hệ tọa độ ta có thể giả sử toán tử vi phân có dạng

P(D)=D_n^k + \sum\limits_{|\alpha|\le k\atop \alpha_n<k}c_\alpha D^\alpha.

Biểu trưng của toán tử vi phân là đa thức

P(\xi', \xi_n)=\xi_n^k+\sum\limits_{|\alpha|\le k\atop \alpha_n<k}c_\alpha \xi^\alpha.

Mỗi \xi'\in\mathbb R^{n-1} đa thức biểu trưng có k nghiệm phức (tính cả bội):

\lambda_1(\xi'), \cdots, \lambda_k(\xi')

được sắp xếp

với 1\le j<\ell\le k thì

hoặc Im\lambda_j(\xi')<Im\lambda_\ell(\xi')

hoặc Im\lambda_j(\xi')=Im\lambda_\ell(\xi')Re\lambda_j(\xi')\le Re\lambda_\ell(\xi').

Khi đó theo Định lý Rouche các hàm \lambda_j(\xi') sẽ liên tục theo \xi'. Từ đây ta xây dựng “cầu thang Hormander” (Hormander’s staircase) như sau.

Với mỗi \xi'\in\mathbb R^{n-1} có tối đa k phần tử đôi một khác nhau trong tập S(\xi')=\{Im\lambda_j(\xi'), j=1, 2, \dots, k\}. Khi đó có ít nhất một trong (k+1) đoạn [2m-k-1, 2m-k+1], 0\le m\le k, không chứa bất kỳ phần tử nào của tập S(\xi'). Nếu đặt

V_m=\{\xi'\in\mathbb R^{n-1}| Im\lambda_j(\xi')\not\in[2m-k-1, 2m-k+1], j=\overline{1, k}\}

thì

-) V_m là tập mở (vì \lambda_j(\xi') là các hàm liên tục),

-) \mathbb R^{n-1}=\cup_{m=0}^k V_m.

Cầu thang Hormander được xây bởi k+1 bậc

\phi: \mathbb R^{n-1}\to\{-k, 2-k, \dots, 2m-k, \dots, k-2, k\}

\phi(\xi')=2m-k khi \xi'\in V_m\setminus\cup_{j=0}^{m-1}V_j.

Khi đó nếu \phi(\xi')=2m-k thì

Im\lambda_j(\xi')\not\in[2m-k-1, 2m-k+1], j=1, \cdots, k.

Do đó

|\phi(\xi')-Im\lambda_j(\xi')|\ge 1, j=1, \dots, k.

Ta cần đến bổ đề sau.

BĐ 1. Cho đa thức một biến g(z) có bậc k. Giả sử

+) g(0)\not=0,

+) \lambda_1, \dots, \lambda_k là các nghiệm của g(z).

Khi đó |g(0)|\ge (d/2)^k, trong đó d=\min\{|\lambda_j|, j=\overline{1, k}\}.

Sử dụng BĐ 1 cho đa thức g(z)=P(\xi', \xi_n+z), \xi_n=\phi(\xi') ta có

d=1 nên

|P(\xi)|\ge 2^{-k}, \xi_n=\phi(\xi').

Tiếp đến ta cần đến Định lý Paley-Wiener:

Cho f\in C^\infty_0(\mathbb R^n). Khi đó có số dương R sao cho

+) suppf\subset B_R(0),

+) biến đổi Fourier \mathcal Ff(\zeta)=(2\pi)^{-n}\int\limits_{\mathbb R^n}e^{-ix\zeta}f(x)dx là hàm nguyên trên \mathbb C^n,

+) với mọi số N>0 đều có số C_N>0 sao cho

|\mathcal Ff(\zeta)|\le C_N(1+||\zeta||)^{-N}e^{R||Im\zeta||}.

Khi đó ta có Định lý sau.

Định lý. Nếu f\in C^\infty_0(\mathbb R^n) thì có u\in C^\infty(\mathbb R^n) là nghiệm của phương trình P(D)u=f.

Nghiệm u được xác định từ công thức

u(x)=\int\limits_{\mathbb R^{n-1}}\left(\int\limits_{Im\xi_n=\phi(\xi')}e^{ix\xi}\dfrac{\mathcal Ff(\xi)}{P(\xi)}d\xi_n\right)d\xi'.

Với Im\xi_n=\phi(\xi')

+) |P(\xi)|\ge 2^{-k},

+) |\mathcal Ff(\xi)|\le C_n(1+||\xi||)^{-n-1}e^{R|Im\xi_n|}\le C_{n, k}(1+||\xi||)^{-n-1}

do đó tích phân xác định hàm u(x) hội tụ tuyệt đối đều nên u(x) liên tục. Sử dụng tiếp Định lý Paley-Wiener sẽ dẫn đến u\in C^\infty(\mathbb R^n). Ta có thể đẩy phép lấy đạo hàm qua dấu lấy tích phân. Khi đó ta có

P(D)u(x)=\int\limits_{\mathbb R^{n-1}}\left(\int\limits_{Im\xi_n=\phi(\xi')}e^{ix\xi}\mathcal Ff(\xi)d\xi_n\right)d\xi'.

Do hàm e^{ix\xi}\mathcal Ff(\xi) là hàm giải tích theo \xi_n

|\xi_n|=|\phi(\xi')|\le k+1,

\lim\limits_{|\xi_n|\to\infty}|\mathcal Ff(\xi)|=0

nên theo Định lý Cauchy ta có

\int\limits_{Im\xi_n=\phi(\xi')}e^{ix\xi}\mathcal Ff(\xi)d\xi_n=\int\limits_{\mathbb R}e^{ix\xi}\mathcal Ff(\xi)d\xi_n.

Như vậy

P(D)u(x)=\mathcal F^{-1}(\mathcal Ff)(x)=f(x)

hay ta chứng minh xong Định lý trên.

Đến đây ta có thể chứng minh được Định lý Malgrange-Ehreinpreis sau

Toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng P(D) có nghiệm cơ bản K\in\mathcal D'(\mathbb R^n), nghĩa là

P(D)K=\delta.

Từ đó dẫn đến phương trình vi phân đạo hàm riêng

P(D)u=f, với f\in\mathcal E'(\mathbb R^n),

luôn có ít nhất một nghiệm K*f.

Quay trở lại chứng minh Định lý Malgrange-Ehreinpreis, nghiệm cơ bản được xác định như sau

K: \mathcal D(\mathbb R^n)\to \mathbb C

\langle K, f\rangle=\int\limits_{\mathbb R^{n-1}}\left(\int\limits_{Im\xi_n=\phi(\xi')}\dfrac{\mathcal Ff(-\xi)}{P(\xi)}\right)d\xi'.

Ta cần đến đánh giá khác trong Định lý Paley-Wiener sau:

Cho f\in C^\infty_0(\mathbb R^n). Khi đó có hằng số C>0 sao cho

\sup\limits_{|Im\xi|\le k}(1+||\xi||)^{n+1}|\mathcal Ff(\xi)|\le C\sup\limits_{x\in\mathbb R^n}\sum\limits_{|\alpha|\le n+1}|D^\alpha f(x)|.

Với đánh giá trên ta có

+) tích phân xác định \langle K, f\rangle hoàn toàn xác định, hơn nữa

|\langle K, f\rangle|\le C'\sup\limits_{x\in\mathbb R^n}\sum\limits_{|\alpha|\le n+1}|D^\alpha f(x)|.

Do đó K\in \mathcal D'(\mathbb R^n).

Nhắc lại đạo hàm suy rộng

\langle D^\alpha K, f\rangle=(-1)^\alpha\langle K, D^\alpha f\rangle

nên

\langle P(D)K, f\rangle=\langle K, P(-D)f\rangle.

Lại có

\mathcal F(P(-D)f)(-\xi)=P(\xi)\mathcal Ff(-\xi)

nên

\langle P(D)K, f\rangle=\int\limits_{\mathbb R^{n-1}}\left(\int\limits_{Im\xi_n=\phi(\xi')}\mathcal Ff(-\xi)d\xi_n\right)d\xi'.

Lại dùng Định lý Cauchy cho hàm giải tích \mathcal Ff(\xi) ta có

\langle P(D)K, f\rangle=f(0)

hay P(D)K=\delta. Ta đã chứng minh được Định lý Malgrange-Ehreinpreis.

Cách tiếp cận trên của Folland chưa cho ta công thức hiển của nghiệm cơ bản. Cụ thể hàm “cầu thang Hormander” \phi(\xi') được xây dựng không hiển. Năm 2009, P. Wagner đưa ra công thức hiển cho nghiệm cơ bản như sau

K=\dfrac{1}{\overline{P_k(2\eta)}}\sum\limits_{j=0}^k a_je^{\lambda_j\eta x}\mathcal F_\xi^{-1}\left(\dfrac{\overline{P(i\xi+\lambda_j\eta)}}{P(i\xi+\lambda_j\eta)}\right)

trong đó

+) P_k(\xi)=\sum\limits_{|\alpha|=k}c_\alpha\eta^\alpha,

+) \eta\in\mathbb R^n sao cho P_k(\eta)=\not=0,

+) các số thực \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_k đôi một khác nhau, a_j=\Pi_{0\le \ell\le k\atop \ell\not=j}(\lambda_j-\lambda_\ell)^{-1}.

Hay công thức dạng tích phân do N. Ortner và P. Wagner đưa ra năm 1994

K=\dfrac{1}{\overline{P_k(\eta)}}\int\limits_{\lambda\in \mathbb C\atop |\lambda|=1}\lambda^k e^{\lambda \eta x}\mathcal F_\xi^{-1}\left(\dfrac{\overline{P(i\xi+\eta)}}{P(i\xi+\eta)}\right)\dfrac{d\lambda}{2\pi i\lambda}.

Cuối cùng ta đến với kết quả về tính hypoelliptic của toán tử vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng:

Các mệnh đề sau tương đương.

(i) Toán tử P(D) có một nghiệm cơ bản có giá kỳ dị nằm trong tập chỉ gồm điểm gốc.

(ii) Bất kỳ nghiệm cơ bản nào của toán tử P(D) đều có giá kỳ dị nằm trong tập chỉ gồm điểm gốc.

(iii) Toán tử P(D) là hypoelliptic, nghĩa là giá kỳ dị của P(D)u nằm trong giá kỳ dị của u, với bất kỳ u\in\mathcal D'.

Nhắc lại khái niệm giá kỳ dị của hàm suy rộng u\in\mathcal D'. Tập giá kỳ dị, ký hiệu singsupp\ u là phần bù của hợp các tập mở \omega mà có một hàm \varphi\in C^\infty(\omega) sao cho u-\varphi là hàm suy rộng 0 trên \omega. Nói nôm na giá kỳ dị là chỗ hàm suy rộng không khả vi vô hạn.

Quay trở lại chứng minh kết quả trên.

Có (iii) suy ra (ii): vì singsupp\ \delta=\{0\} nên nếu K là nghiệm cơ bản của P(D) ta có singsuppP(D)K\subset\{0\}.

(ii) suy ra (i): hiển nhiên.

Ta chỉ còn phải chứng minh (i) suy ra (iii). Ta cần đến bổ đề sau.

BĐ. Cho các hàm suy rộng f, g trên \mathbb R^n. Giả sử singsuppf\subset\{0\} còn suppg compact. Khi đó singsuppf*g\subset supp \ g.

Giả sử K là nghiệm cơ bản của P(D) thỏa mãn singsupp\ K\subset\{0\}. Lấy u\in\mathcal D' bất kỳ. Ta cần phải chứng minh

singsupp\ u\subset singsupp\ P(D)u.

Lấy x_0\not\in singsupp\ P(D)u. Khi đó có tập mở \omega chưa x_0 để P(D)u khả vi vô hạn trên \omega. Do \omega mở nên có số dương \epsilon để B(x_0, \epsilon)\subset\omega. Chọn hàm \phi\in C^\infty_0(B(x_0, \epsilon))\phi(x)=1 khi x\in B(x_0, \epsilon/2).

Nếu đặt v=P(D)(\phi u)-\phi P(D)u thì v(x)=0 khi x\in B(x_0, \epsilon/2) hay x\not\in B(x_0, \epsilon). Do đó

singsuppv\subset suppv\subset B(x_0, \epsilon)\setminus B(x_0, \epsilon/2).

Ngoài ra

singsupp\phi P(D)u\subset B(x_0, \epsilon)\setminus B(x_0, \epsilon/2),

singsupp K\subset\{0\}

nên

singsuppK*v\subset B(x_0, \epsilon)\setminus B(x_0, \epsilon/2),

singsuppK*(\phi P(D)u)\subset B(x_0, \epsilon)\setminus B(x_0, \epsilon/2).

Lại do K là nghiệm cơ bản nên

P(D)(K*(\phi u))=K*(P(D)(\phi u))=(P(D)K)*(\phi u)=\phi u

hay

\phi u= K*(\phi P(D)u)+K*v.

Do đó

singsupp\phi u\subset B(x_0, \epsilon)\setminus B(x_0, \epsilon/2).

Chú ý \phi(x)=1 khi x\in B(x_0, \epsilon/2) nên u=\phi u là hàm khả vi vô hạn trong B(x_0, \epsilon/2). Do đó x_0\not\in singsuppu. Ta kết thúc chứng minh.

Từ kết quả này ta có:

+ toán tử Laplace \Delta có nghiệm cơ bản

E_2(x)=c_2^{-1}\ln||x|| trong trường hợp hai chiều,

E_n(x)=-((n-2)c_n)^{-1}||x||^{2-n} trong trường hợp số chiều n>2

nên nó là toán tử hypoelliptic;

+ toán tử truyền nhiệt \partial_t-\Delta có nghiệm cơ bản

E(x, t)=\begin{cases}(4\pi t)^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{||x||^2}{4t}} \; khi\; t>0,\\ 0\; khi \; t\le 0\end{cases}

nên nó là hypoelliptic;

+ toán tử truyền sóng \partial^2_t-\partial^2_x có nghiệm cơ bản

E_2(x, t)=\dfrac{1}{2}\theta(t-|x|)

nên nó không hypoelliptic.

2 thoughts on “Tính giải được địa phương (tiếp)

  1. datuan5pdes

    Chứng minh về tính giải được của toán tử vi phân đạo hàm riêng với hệ số hằng của Malgrange hay Ehrenpreis dựa vào Định lý Hahn-Banach. Các chứng minh này không chỉ ra tường minh nghiệm cơ bản. Năm 1991, J. P. Rosay đưa ra chứng minh đơn giản theo hướng này. Dưới đây tôi tóm tắt các bước chính của cách tiếp cận của J. P. Rosay.

    B1. Bất đẳng thức Hormander:

    Cho \Omega là tập mở, bị chặn trong \mathbb R^n. Khi đó có hằng số dương C để với mọi \varphi\in C^\infty_0(\Omega)

    ||P(D)\varphi||_{L^2}\ge C||\varphi||_{L^2}

    trong đó C=K_{k, \Omega}\max\{|c_\alpha||\ |\alpha|=k\}.

    Có thể thấy bất đẳng thức Hormander như sự mở rộng của bất đẳng thức Poincare.

    B2. Tính giải được trong L^2(\Omega), \Omega là tập mở, bị chặn trong \mathbb R^n.

    Cho g\in L^2(\Omega). Khi đó phương trình P(D)u=g luôn có nghiệm trong L^2(\Omega).

    Chứng minh B2. Ta có toán tử liên hợp của P(D)

    P^*(D)=\sum\limits_{|\alpha|\le k}(-1)^{|\alpha|}\overline{c_\alpha}D^\alpha.

    Ký hiệu không gian ảnh

    E=P^*(D)C^\infty_0(\Omega)\subset C^\infty_0(\Omega)\subset L^2(\Omega).

    Từ bất đẳng thức Hormander ta có P^*(D) là đơn ánh từ C^\infty_0(\Omega) vào E. Khi đó ta xét ánh xạ

    \phi=P^*(D)\varphi \mapsto \int\limits_{\Omega}g(x)\overline{\varphi}(x)dx.

    Lại từ bất đẳng thức Hormander ta có

    |\int\limits_{\Omega}g(x)\overline{\varphi}(x)dx|\le ||g||_{L^2}||\varphi||_{L^2}\le C||\phi||_{L^2}

    nên ánh xạ trên là ánh xạ “tuyến tính”, liên tục từ (E, ||\cdot||_{L^2}) vào \mathbb C. Khi đó theo Định lý biểu diễn Riesz có hàm u\in \overline{E} sao cho ánh xạ tuyến tính trên được cho bởi

    \phi\mapsto \int\limits_{\Omega}u(x)\overline{\phi}(x)dx.

    Như vậy, với mọi \varphi\in C^\infty_0(\Omega)

    \int\limits_{\Omega}g(x)\overline{\varphi}(x)dx=\int\limits_{\Omega}u(x) \overline{P^*(D)\varphi}(x)dx

    =\int\limits_{\Omega}P(D)u(x)\overline{\varphi}(x)dx

    hay P(D)u=g. Ta kết thúc B2.

    B3. Bất đẳng thức Hormander có trọng.

    Cho \Omega là tập mở, bị chặn. Khi đó có hằng số dương C để với mọi \eta\in\mathbb R, \varphi\in C^\infty_0(\Omega)

    \int\limits_\Omega e^{\eta x_1}|P(D)\varphi(x)|^2dx\ge C\int\limits_\Omega e^{\eta x_1}|\varphi(x)|^2dx.

    Hq1. Nếu \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R^n) và suppP(D)\varphi\subset\mathbb R^n_-=\{x\in\mathbb R^n|\; x_1\le 0\} thì supp\varphi\subset\mathbb R^n_-.

    Hq2. Cho \varphi\in L^2(\mathbb R^n) có giá compact. Nếu suppP(D)\varphi\subset B(0, r) thì supp\varphi\subset B(0, r).

    B4. Định lý xấp xỉ.

    Cho 0<r<r'<R. Cho v\in L^2(B(0, r')) thỏa mãn P(D)v=0 trong B(0, r'). Khi đó có một dãy các hàm v_j\in L^2(B(0, R)), j=1, 2, \dots, thỏa mãn

    +) P(D)v_j=0 trong L^2(B(0, R)),

    +) \lim\limits_{j\to\infty}||v_j-v||_{L^2(B(0, r))}=0.

    Nói cách khác, bao đóng trong L^2(B(0, r)) của không gian nghiệm N=\{w\in L^2(B(0, R))|\; P(D)w=0\} chứa v.

    Ta sẽ chứng minh cách nhìn sau bằng Định lý Hahn-Banach, cụ thể ta đi chứng minh

    bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L^2(B(0, r)), bằng 0 trên không gian nghiệm N thì tác động vào v cũng bằng 0,

    hay

    nếu g\in L^2(B(0, r)) thỏa mãn

    \int\limits_{B(0, r)}g(x)\overline{w}(x)dx=0, \forall w\in N

    thì

    \int\limits_{B(0, r)}v(x)\overline{w}(x)dx=0.

    B5. Tính giải được trong L^2_{loc}(\mathbb R^n).

    Cho g\in L^2_{loc}(\mathbb R^n). Khi đó phương trình P(D)u=g luôn có nghiệm trong L^2_{loc}(\mathbb R^n).

    B6. Sự tồn tại nghiệm cơ bản.

    Hàm Heaviside

    \theta(x)=\begin{cases}1\; khi \; x_j>0, j=\overline{1,n},\\ 0\; otherwise\end{cases}

    là hàm thuộc L^2_{loc}(\mathbb R^n). Khi đó từ B5 có hàm u\in L^2_{loc}(\mathbb R^n) sao cho

    P(D)u=H.

    Để ý rằng

    \dfrac{\partial^n}{\partial x_1\cdots \partial x_n}H=\delta

    nên một nghiệm cơ bản của P(D)

    \dfrac{\partial^nu}{\partial x_1\cdots\partial x_n}.

  2. datuan5pdes

    Cách dùng “Hormander’s staircase” như G. Folland trình bày là của L. Nirenberg. Dưới đây tôi trình bày qua cách của L. Hormander.

    Do P(D) không là toán tử 0 nên có vector \eta\in\mathbb R^n sao cho P_k(\eta)\not=0. Với mỗi \xi\in\mathbb R^n xét đa thức một biến

    P(\xi+z\eta), z\in\mathbb C

    có hệ số của bậc cao nhất z^kP_k(\eta).

    Từ Định lý Rouche ta có ánh xạ liên tục \omega:\mathbb R^n\to \mathbb C^k, \omega(\xi)=[z_1, \dots, z_k] sao cho

    P(\xi+z\eta)=P_k(\eta)\Pi_{j=1}^k (z-z_j).

    Xét (k+1) khoảng mở

    A_j=\left(-1+\frac{2j-1}{k+1}, -1+\frac{2j+1}{k+1}\right), j=0, 1, \dots, k.

    Khi đó theo nguyên lý Dirichlet tập \mathbb C^k được phủ bởi (k+1) tập đóng

    B_j=\{[z_1, \dots, z_k]\in\mathbb C^k|\; Im\ z_m\not\in A_j, \forall m=1, \dots, k\}.

    Do \omega:\mathbb R^n\to\mathbb C^k là hàm liên tục nên \mathbb R^n được phủ bởi (k+1) tập đóng

    \omega^{-1}(B_j)\cap_{m=0}^{j-1}\omega(\mathbb C^k\setminus B_m).

    Ký hiệu \chi_j(\xi) là hàm đặc trưng của mỗi tập đóng trên ta có

    +) \chi_j(\xi+\lambda\eta)=\chi_j(\xi), \xi\in\mathbb R^n, \lambda\in\mathbb R, j=0, 1, \dots, k,

    +) \sum\limits_{j=0}^k \chi_j(\xi)=1,

    +) nếu \chi_j(\xi)\not=0 thì

    |P(\xi+iy_j\eta)|\ge |P_k(\eta)|(k+1)^{-k},

    trong đó y_j=-1+\dfrac{2j+1}{k+1}.

    Khi đó L. Hormander đưa ra nghiệm cơ bản

    K=\sum\limits_{j=0}^k e^{iy_j\eta x}\mathcal F_{\xi}\left(\dfrac{\chi_j(\xi)}{P(\xi+iy_j\eta)}\right).

    Nghiệm cơ bản này có tính chất

    K/\cosh(\eta x)\in S'.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s