Một số vấn đề trong khóa luận của Hà Đức Thái

Trong khóa luận của Hà Đức Thái quan tâm đến:

– biến đổi Hilbert rời rạc, biến đổi Hilbert trên đường thẳng thực,

– tổng Fejer, tổng Dirichlet trong trường hợp tuần hoàn và trên đường thẳng thực

trong không gian L^p với 1\le p\le \infty.

Trường hợp p=1 hay p=\infty là các trường hợp khó chịu! Dưới đây ta quan tâm đến những điểm này.

Ta bắt đầu từ biến đổi Hilbert rời rạc:

Hf(\theta)=-i\sum\limits_{n\ge 1}c_ne^{in\theta}+i\sum\limits_{n\le -1}c_ne^{in\theta}

khi

f(\theta)=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\theta}.

Cách định nghĩa trên có nghĩa khi f là đa thức lượng giác. Khi đó ta có

H: (\mathcal P, ||\cdot||_p)\to (\mathcal P, ||\cdot||_p) là toán tử bị chặn khi 1< p < \infty.

Từ đó, do không gian các đa thức lượng giác \mathcal P trù mật trong L^p(\mathbb T), 1< p< \infty nên ta có thể thác triển biến đổi Hilbert thành toán tử bị chặn trong L^p(\mathbb T), 1< p< \infty.

Vậy tại p=1p=\infty điều gì xảy ra?

Tại p=1:

-) với f\in L^1(\mathbb T)

Hf(\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{\epsilon\le |\varphi|\le \pi}f(\theta-\varphi)\cot(\varphi/2)d\varphi;

hơn nữa H: L^1(\mathbb T)\to L^q(\mathbb T) là toán tử bị chặn khi 0< q< 1;

-) chuỗi hàm f(\theta)=\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{\cos(n\theta)}{\log n}\in L^1(\mathbb T), còn

Hf(\theta)=\sum\limits_{n=2}^\infty\dfrac{\sin(n\theta)}{\log n}\not\in L^1(\mathbb T);

-) H: L\log L(\mathbb T)\to L^1(\mathbb T) là toán tử bị chặn.

Với p=\infty ta sẽ bàn sau khi nói đến tổng Dirichlet.

Ta chuyển sang biến đổi Hilbert trên đường thẳng thực

Hf(x)=\dfrac{1}{\pi}\lim\limits_{M\to\infty\atop \epsilon\to 0_+}\int\limits_{\epsilon\le |y|\le M}\dfrac{f(x-y)}{y}dy.

Ta có:

-) H: S(\mathbb R)\to \mathcal E(\mathbb R) là toán tử tuyến tính liên tục,

-) H:(S(\mathbb R), ||\cdot||_p)\to L^p(\mathbb R) là toán tử tuyến tính bị chặn khi 1< p<\infty.

Từ đó do tính trù mật của S(\mathbb R) trong L^p(\mathbb R), 1< p<\infty ta có thể thác triển biến đổi Hilbert thành toán tử bị chặn trong L^p(\mathbb R), 1< p<\infty.

Ta tiếp tục quan tâm các trường hợp p=1p=\infty.

Với f(x)=\chi_{[0, 1]}(x)\in L^1(\mathbb R)\cap L^\infty(\mathbb R). Tính toán

Hf(x)=\dfrac{1}{\pi}\log(|x|/|x-1|)\not\in L^1(\mathbb R)\cup L^\infty(\mathbb R).

Tiếp tục với tổng Fejer:

– trường hợp tuần hoàn:

\sigma_nf(\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi F_n(\varphi)f(\theta-\varphi)d\varphi, n\in\mathbb N

với nhân Fejer F_n(\varphi)=\dfrac{1}{n}\dfrac{\sin^2(n\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)};

– trường hợp trên đường thẳng thực:

\sigma_Mf(x)=\int\limits_{\mathbb R}K_M(y)f(x-y)dy, M> 0,

với nhân Fejer K_M(y)=\dfrac{\sin^2(\pi My)}{M\pi^2y^2}.

Tổng Fejer là toán tử bị chặn đều trong L^p, 1\le p\le \infty. Hơn nữa, khi 1\le p< \infty

\lim\limits_{n\to\infty}||\sigma_nf-f||_{L^p(\mathbb T)}=0

\lim\limits_{M\to\infty}||\sigma_Mf-f||_{L^p(\mathbb R)}=0.

Riêng p=\infty ta không có điều trên vì:

giả sử có điều trên thì không gian các hàm liên tục sẽ trù mật trong L^\infty.

Điều trên là vô lý vì không thể xấp xỉ hàm \chi_{x< 0}+\chi_{x> 0} bởi hàm liên tục trong L^\infty.

Cuối cùng ta quan tâm đến tổng Dirichlet:

– trường hợp tuần hoàn

S_nf(\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi D_n(\varphi)f(\theta-\varphi)d\varphi

với nhân Dirichlet D_n(\varphi)=\dfrac{\sin((n+1/2)\varphi)}{\sin(\varphi/2)};

– trường hợp trên toàn đường thẳng

S_Mf(x)=\int\limits_{\mathbb R}D_M(y)f(x-y)dy

với nhân Dirichlet D_M(y)=\dfrac{\sin(2\pi My)}{\pi y}.

Từ mối liên hệ giữa tổng Dirichlet và biến đổi Hilbert:

– trong trường hợp tuần hoàn

S_nf(\theta)=\dfrac{1}{2i}(e^{in\theta}H(e^{-in\theta}f)-e^{-in\theta}H(e^{in\theta}f))+

+\dfrac{1}{2}(c_ne^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}),

– trong trường hợp trên đường thẳng thực

S_Mf(x)=\dfrac{1}{2i}(e^{2\pi i Mx}H(e^{-2\pi iMx}f)-e^{-2\pi iMx}H(e^{2\pi iMx}f))

dẫn đến tổng Dirchlet là toán tử bị chặn đều trong L^p, 1< p< \infty. Từ đó

tổng Dirichlet hội tụ đến f trong L^p, 1< p< \infty.

Khi p=\infty, giống tổng Fejer ta không có điều trên. Từ đây, trong trường hợp tuần hoàn ta sẽ có biến đổi Hilbert không bị chặn trong L^\infty(\mathbb T).

Khi p=1

||S_n||_{1\to 1} có cỡ \log n,

Kolmogorov xây dựng được hàm f\in L^1(\mathbb T)S_nf phân kỳ khắp nơi.

Các bạn thử xem lại trường hợp trên toàn đường thẳng?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s