Toán tử dịch chuyển

Tôi đã viết một số bài liên quan đến toán tử dịch chuyển:

“Toán tử giao hoán với phép dịch chuyển”,

“Không gian bất biến với phép dịch chuyển”,

“Hàm suy rộng tuần hoàn trên đường thẳng – Chuỗi Fourier” .v.v.

Trong bài kiểm tra cuối kỳ cho K55A1T, tôi quan tâm đến tính liên tục của toán tử dịch chuyển trong không gian hàm cơ bản \mathcal D(\mathbb R), \mathcal D'(\mathbb R), S'(\mathbb R). Dưới đây tôi tiếp tục quan tâm đến tính liên tục của toán tử dịch chuyển trong các không gian khác.

Trong trường hợp không gian các hàm xác định trên \mathbb R toán tử dịch chuyển được hiểu đơn giản như sau:

T_hf(x)=f(x-h) với h\in\mathbb R.

Với không gian các hàm xác định trên nửa trục (0, \infty):

– khi h\le 0 ta vẫn hiểu như trên,

– khi h> 0 không còn đúng nữa vì với 0<x<h cách hiểu trên không cho ta biết T_hf(x).

Trong trường hợp không gian các hàm xác định trên (0, 1) với bất kỳ h\not=0 cách hiểu đơn giản trên không còn đúng nữa.

Vậy trong các trường hợp như vậy ta làm thế nào?

Một trong các cách: bổ sung giá trị 0. Nói nôm na, ta coi không gian các hàm như vậy như không gian các hàm xác định trên toàn trục \mathbb R và có giá nằm trong miền đang xét. Khi đó toán tử dịch chuyển vẫn được hiểu như trên. Một cách chính xác điều này được thể hiện như sau:

– Trường hợp nửa trục, h> 0,

T_hf(x)=\begin{cases}f(x-h) \; khi \; x>h, \\ 0 \; khi \; 0<x\le h.\end{cases}

– Trường hợp (0, 1)

T_hf(x)=\begin{cases}f(x-h)\; khi \; x-h\in(0, 1), \\ 0\; otherwise.\end{cases}

Ta bắt đầu với không gian L_p, 1\le p\le \infty. Ta có kết quả:

-) Với 1\le p\le \infty, f\in L_p

||T_hf||_p\le ||f||_p.

Riêng với trường hợp L_p(\mathbb R), trường hợp tuần hoàn L_p(\mathbb T)L_p(0, \infty), h\ge 0, ta có dấu bằng.

-) Với 1\le p < \infty

\lim\limits_{h\to 0}||T_hf-f||_p=0.

Riêng với p=\infty

+) trong L_\infty(\mathbb R)

\lim\limits_{h\to 0}||T_hf-f||_\infty=0

khi và chỉ khi

f\in C(\mathbb R) và tồn tại các giới hạn

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\lim\limits_{x\to-\infty}f(x);

-) trong L_\infty(\mathbb T)

\lim\limits_{h\to 0}||T_hf-f||_\infty=0

khi và chỉ khi f\in C(\mathbb T);

-) trong L_\infty(0, \infty)

(+) \lim\limits_{h\to 0_-}||T_hf-f||_\infty=0

khi và chỉ khi f\in C(0, \infty) và tồn tại các giới hạn

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\lim\limits_{x\to 0_+}f(x);

(+) \lim\limits_{h\to 0_+}||T_hf-f||_\infty=0

khi và chỉ khi f\in C(0, \infty), \lim\limits_{x\to0_+}f(x)=0 và tồn tại giới hạn

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x);

-) trong L_\infty(0, 1)

(+) \lim\limits_{h\to0_-}||T_hf-f||_\infty=0

khi và chỉ khi f\in C[0, 1]f(1)=0;

(+) \lim\limits_{h\to0_+}||T_hf-f||_\infty=0

khi và chỉ khi f\in C[0, 1]f(0)=0.

Ta chuyển sang không gian Sobolev W^m_p(\mathbb R), m\in\mathbb N, với chuẩn

||f||_{m, p}=\left(\sum\limits_{k=0}^m\int\limits_{\mathbb R}|D^kf(x)|^pdx\right)^{1/p}.

Không khó để thấy toán tử dịch chuyển T_h và phép đạo hàm suy rộng D^k giao hoán với nhau, nghĩa là

\langle T_h(D^kf), \varphi\rangle=\langle D^k(T_hf), \varphi\rangle, f\in\mathcal D'(\mathbb R), \varphi\in\mathcal D(\mathbb R).

Từ trên ta có:

-) Với 1\le p\le \infty, f\in W^m_p(\mathbb R)

||T_hf||_{m, p}=||f||_{m, p}.

-) Với 1\le p< \infty

\lim\limits_{h\to\infty}||T_hf-f||_{m, p}=0.

Trong không gian W^m(0, \infty)

-) khi h>0

T_h(Df)=D(T_hf)+f(0)\delta_h, f\in C[0, \infty);

-) khi h\le 0

T_h(Df)=D(T_hf), f\in C[0, \infty).

Từ đây các bạn xem toán tử dịch chuyển có tính chất gì trong W^m_p(0, \infty)? Sau đó trong không gian W^m_p(0, 1)?

Tiếp đến ta chuyển sang không gian W^\alpha_p(\mathbb R), 0<\alpha<1, với chuẩn

||f||_{\alpha, p}=\left(\int\limits_{\mathbb R}|f(x)|^pdx+\int\limits_{\mathbb R}\int\limits_{\mathbb R}\dfrac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{1+\alpha p}}dxdy\right)^{1/p}.

Không khó khăn để thấy các kết quả tương tự như trong không gian W^m_p(\mathbb R).

Với các không gian W^\alpha_p(0, \infty), W^\alpha_p(0, 1), toán tử dịch chuyển có tính chất gì?

One thought on “Toán tử dịch chuyển

  1. Pingback: Toán tử dịch chuyển – Định lý Steinhauss | Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s