Toán tử dịch chuyển – Định lý Steinhaus

Ta gặp Định lý Steinhaus trong bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2014/07/04/tap-khong-dau-tru-mat/

chỉ ra tổng, hiệu của hai tập không đâu trù mật lại không là không đâu trù mật,

và bài

https://bomongiaitich.wordpress.com/2015/07/20/dinh-ly-cantor-lebesgue/

góp phần trong chứng minh trực tiếp Định lý Cantor-Lebesgue.

Nhắc lại phát biểu Định lý Steinhaus:

Cho E\subset\mathbb R là tập có độ đo dương. Khi đó có số thực dương r để

(-r, r)\subset E-E=\{x-y|\; x, y\in E\}.

Vậy toán tử dịch chuyển và Định lý Steinhaus liên quan gì đến nhau? Dưới đây tôi trình bày cách dùng toán tử dịch chuyển để đưa ra chứng minh cho Định lý Steinhaus.

Do E=\cup_{n=1}^\infty E\cap(-n, n) nên ta có thể giả sử E có độ đo hữu hạn. Khi đó hàm đặc trưng \chi_E\in L^2(\mathbb R).

Bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2015/07/12/toan-tu-dich-chuyen/

cho ta biết, cố định f\in L^2(\mathbb R), ánh xạ

h\mapsto T_hf

là ánh xạ liên tục từ \mathbb R vào L^2(\mathbb R), nghĩa là

\lim\limits_{h\to h_0}||T_hf-T_{h_0}f||_{L^2}=0.

Khi đó, kết hợp với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có ánh xạ

\Phi: h\to \int\limits_{\mathbb R}\chi_E(x)\chi_E(x+h)dx

là hàm liên tục từ \mathbb R vào \mathbb R.

Lại có

\Phi(0)=|E|>0

nên, từ định nghĩa hàm liên tục tại 0, có số dương r để

\Phi(h)>|E|/2>0, \forall h\in(-r, r).

Lại có

\Phi(h)=|E\cap(E-h)|

nên khi h\in(-r, r) thì h\in E-E. Do đó ta có điều phải chứng minh.

Bằng cách thay đổi một chút chứng minh trên ta cũng có thể chứng minh tập E+E một khoảng mở nào đó. Ngoài ra ta còn có thể chứng minh kết quả mở rộng sau.

Cho E, F\subset\mathbb R là các tập có độ đo dương. Khi đó các tập E+F chứa một khoảng mở nào đó.

Cụ thể:

– ta có thể giả sử E, F có độ đo hữu hạn,

– xét ánh xạ

h\mapsto \int\limits_{\mathbb R}\chi_E(x)\chi_F(x-h)dx

là ánh xạ liên tục từ \mathbb R vào \mathbb R,

– tích phân \int\limits_{\mathbb R}\left(\int\limits_{\mathbb R}\chi_E(x)\chi_F(x-h)dx\right)dh=|E|\cdot |F|>0.

One thought on “Toán tử dịch chuyển – Định lý Steinhaus

  1. datuan5pdes

    Một vài cách khác để chứng minh Định lý Steinhaus:

    C1: (trong cuốn “Introduction to classical real analysis”). Do tập E có độ đo dương nên theo tính chính quy:

    +) có tập compact A\subset E sao cho |A|> 2|E|/3> 0,

    +) có tập mở U chứa E sao cho |E|>3|U|/4.

    Như vậy ta có:

    +) A\subset E\subset U,

    +) |U|< 2|A|.

    Do U là tập mở, chứa tập compact A nên

    \delta=\{|x-y||\; x\in A, y\not\in U\}>0.

    Khi đó với mọi t\in(-\delta, \delta) đều có

    t+A\subset U.

    Do |U|< 2|A| nên

    A\cap(t+A)\not=\emptyset, \forall t\in(-\delta, \delta).

    Ta có điều phải chứng minh.

    C2: (trong cuốn “An introduction to harmonic analysis” của Y. Katznelson).

    Do E có độ đo Lebesgue dương nên nó có điểm mật độ (point of density), nghĩa là có điểm x_0\in E sao cho

    \lim\limits_{\epsilon\to0_+}\dfrac{|E\cap(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)|}{2\epsilon}=1.

    Khi đó tồn tại \epsilon_0>0 sao cho

    |E\cap(x_0-\epsilon, x_0+\epsilon)|>3\epsilon/2, \forall 0< \epsilon< \epsilon_0.

    Lại có với mỗi t\in (\epsilon_0, \epsilon_0)

    +) E\cap(x_0-|t|, x_0+|t|)+\frac{t}{4}\subset (E+\frac{t}{4})\cap(x_0-\frac{5|t|}{4}, x_0+\frac{5|t|}{4}),

    +) E\cap(x_0-|t|, x_0+|t|)\subset E\cap(x_0-5|t|/4, x_0+5|t|/4)

    nên

    |(E+t/4)\cap(x_0-5|t|/4, x_0+5|t|/4)|> 3|t|/2,

    |E\cap(x_0-5|t|/4, x_0+5|t|/4)|> 3|t|/2.

    Mà hai tập

    E\cap(x_0-5|t|/4, x_0+5|t|/4)

    (E+t/4)\cap(x_0-5|t|/4, x_0+5|t|/4)

    đều nằm trong tập

    (x_0-5|t|/4, x_0+5|t|/4) có độ đo 5|t|/2 nên chúng phải giao nhau hay

    E\cap(E+t/4)\not=\emptyset.

    Ta có điều phải chứng minh.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s