Định lý ngược Steinhaus

Nhắc lại Định lý Steinhaus:

Nếu A\subset\mathbb R có độ đo Lebesgue dương thì tập hiệu A-A chứa một lân cận của gốc.

Y. V. Mospan, năm 2005 trả lời vấn đề: trong lớp các độ đo Borel, những độ đo Borel nào có cùng tính chất Steinhaus của độ đo Lebesgue?

Trước đấy, S. M. Simmons, năm 1975, đưa ra câu trả lời cho trường hợp tổng quát trên nhóm tôpô compact địa phương.

Ta quan sát vài điểm sau:

– độ đo Borel \mu liên tục tuyệt đối (đối với độ đo Lebesgue), nghĩa là với bất kỳ tập Borel A có độ đo Lebesgue m(A)=0 thì \mu(A)=0, là độ đo có tính chất Steinhaus;

– độ đo Dirac,

\delta(A)=\begin{cases}1 \; khi \; 0\in A,\\ 0 \; khi \; 0\not\in A,\end{cases}

không có tính chất Steinhaus;

– độ đo Cantor, độ đo xác suất có hàm phân phối là hàm Cantor

https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_distribution

cũng không có tính chất Steinhaus.

Độ đo Dirac là độ đo có nguyên tử (atom), hay còn gọi là độ đo rời rạc (discrete), còn độ đo Cantor là độ đo liên tục kỳ dị (singular continuous). Chúng đều không liên tục tuyệt đối. Từ đây có thể hình dung được câu trả lời:

Độ đo Borel có tính chất Steinhaus khi và chỉ khi nó liên tục tuyệt đối.

Dưới đây tôi trình bày cách tiếp cận của Y. V. Mospan dưới con mắt hàm suy rộng.

Độ đo Borel có thể hiểu là hàm suy rộng dương trên \mathbb R, nghĩa là phiếm hàm tuyến tính liên tục f: \mathcal D(\mathbb R)\to\mathbb C thỏa mãn

\langle f, \varphi\rangle\ge 0, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R; [0, \infty)).

Cụ thể, ta có thể hiểu độ đo Borel \mu như hàm suy rộng

\mu: \varphi\in\mathcal D(\mathbb R)\mapsto \int\limits_{\mathbb R}\varphi(x)d\mu(x).

NX1. Độ đo Borel \mu không có tính chất Steinhaus khi và chỉ khi tồn tại một tập \mu-đo được A với \mu(A)>0 và một dãy số thực \{t_n\}_{n=1}^\infty hội tụ về 0 sao cho

A\cap (A+t_n)=\emptyset.

NX2. Mỗi tập \mu-đo được A đều có

-) với bất kỳ số dương \epsilon đều có tập compact K\subset A sao cho

\mu(K)\le \mu(A)\le \mu(K)+\epsilon,

-) tồn tại tập Borel B\subset A sao cho

\mu(A)=\mu(B).

NX3. Ta có thể thay tập \mu-đo được bởi tập compact hoặc tập Borel trong NX1.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh kết quả sau:

Cho độ đo Borel \mu. Ba mệnh đề sau tương đương.

(i) Độ đo \mu không có tính chất Steinhaus.

(ii) Có tập compact A

\mu(A)>0, m(A)=0.

(iii) Có tập compact A với \mu(A)>0 và một dãy số thực \{t_n\}_{n=1}^\infty hội tụ về 0 sao cho

\lim\limits_{n\to\infty}\mu(A+t_n)=0.

Từ (ii) ta có ngay chứng minh cho câu trả lời.

Không khó để thấy (i) suy ra (ii).

Giả sử có (ii). Để chứng minh (iii) ta có thể giả sử \mu có giá compact, vì nếu không ta xét độ đo \chi_{[-n, n]}\mu với n đủ lớn theo nghĩa A\subset[-n, n].

Xét A thỏa mãn (ii). Có m*A là hàm hằng m(A)=0. Khi đó, do \mu, \chi_{-A} có giá compact nên

m*(\mu*\chi_{-A})=\mu*(m*\chi_{-A})=0.

Do đó \mu*\chi_{-A}=0 hầu khắp nơi trong \mathbb R. Chú ý rằng \mu*\chi_{-A}(x)=\mu(A+x).Như vậy ta có (iii).

Từ (iii) suy ra (i) bằng cách

-) đặt A'=A\setminus(A+t_n),

-) sử dụng NX1 cho A'.

Cách làm này có thể áp dụng cho trường hợp nhóm compact địa phương với độ đo Haar.

Tài liệu tham khảo:

– bài báo của S. M. Simmons

http://www.ams.org/journals/proc/1975-049-02/S0002-9939-1975-0370057-0/S0002-9939-1975-0370057-0.pdf

– bài báo của Y. V. Mospan

http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rae/1149516816

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s