Giả thuyết Falconer – Giả thuyết Erdos

Ta bắt đầu từ khoảng mở I=(a, b) khác rỗng, nghĩa là a< b. Khi đó tập hiệu

I-I=\{x-y|\; x, y\in (a, b)\}=(a-b, b-a)

là khoảng mở chứa gốc.

Không khó để thấy điều tương tự với tập mở trên đường thẳng thực, hay tập có phần trong khác rỗng. Đến đây ta gặp câu hỏi:

Những tập nào có tính chất trên?

H. Steinhaus đưa ra câu trả lời:

Tập có tập con có độ đo Lebesgue dương.

Chú ý rằng: tập có phần trong khác rỗng đương nhiên chứa tập có độ đo dương; nhưng có những tập có độ đo dương lại có phần trong rỗng chẳng hạn

tập các số vô tỷ.

Tiếp tục hỏi: liệu có tập không chứa tập có độ đo Lebesgue dương nào cũng có tính chất trên?

Các bạn thử tìm hiểu xem sao? Trước khi chuyển sang câu hỏi tiếp tôi có một ví dụ:

Tập Cantor C có độ đo Lebesgue không và

C+C=[0, 2].

Giờ ta chuyển sang trường hợp nhiều chiều, cụ thể 2-chiều. Dĩ nhiên ta vẫn có Định lý Steinhaus:

Nếu A\subset\mathbb R^2 có độ đo Lebesgue m_2(A)> 0 thì tập hiệu A-A sẽ chứa một hình tròn tâm tại gốc.

Phần còn lại của bài này quan tâm đến tập độ dài các phần tử của tập hiệu, hay tập khoảng cách giữa các phần tử trong A, còn gọi tập khoảng cách của A, ký hiệu

\Delta(A)=\{|x-y||\; x, y\in A\}.

Ta bắt đầu với trường hợp A gồm hữu hạn điểm trong mặt phẳng. P. Erdos quan tâm đến số phần tử của tập khoảng cách các điểm trong A so với số phần tử của A. Cụ thể, giả sử An điểm, ký hiệu g(n) số khoảng cách ít nhất có thể giữa các điểm trong A.

Chẳng hạn n=2, 3 thì g(2)=g(3)=1. Với n=4, 5g(4)=g(5)=2.

P. Erdos quan tâm đến đánh giá g(n) khi n lớn. Cụ thể, năm 1946 P. Erdos đưa ra đánh giá

\sqrt{n-3/4}-1/2\le g(n)\le cn/\sqrt{\log(n)}

với c là hằng số.

Sau đó P. Erdos đưa ra giả thuyết

g(n)\ge cn^{1-\epsilon}, với bất kỳ \epsilon > 0.

Năm 2010, L. Guth và N. H. Katz đưa ra câu trả lời cho giả thuyết P. Erdos bằng đánh giá

g(n)\ge cn/\log(n).

Khi chuyển từ mặt phẳng sang không gian có số chiều d\ge 3, P. Erdos có đánh giá

c_1 n^{1/d}\le g(n) \le c_2 n^{2/d}.

Ông đưa ra giả thuyết

g(n)\ge cn^{2/d}.

Năm 2008, J. Solymosi và Vũ Hà Văn đưa ra đánh giá

g(n)\ge cn^{2/d-2/d(d+2)}.

Giả thuyết Erdos còn xuất hiện trong không gian véc-tơ trên trường hữu hạn, hay ở dạng tiệm cận. Tôi không đi sâu vào phần này mà chuyển sang trường hợp tập A có vô hạn phần tử. Thay vì dùng độ đo Lebesgue như Định lý Steinhaus, K. J. Falconer dùng số chiều Hausdorff. Vậy số chiều Hausdorff của một tập A\subset\mathbb R^d là gì?

Trước hết ta cần hiểu độ đo Hausdorff s-chiều, với s\ge 0.

Một họ đếm được các tập \{U_j\}_{j=1}^\infty được gọi là \delta-phủ của A, (\delta>0) nếu:

+) A\subset \cup_{j=1}^\infty U_j,

+) đường kính |U_j|=\sup\{|x-y||\; x, y\in U_j\}\in(0, \delta], \forall j.

Khi đó ta định nghĩa

H^s_\delta(A)=\inf\sum\limits_{j=1}^\infty |U_j|^s,

với \inf lấy trên tập tất cả các \delta-phủ của A.

Không khó để thấy H^s_\delta(A) tăng khi \delta\to 0_+. Khi đó độ đo Hausdorff s-chiều của A

H^s(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A).

Có thể thấy:

-) khi s=0H^0 là độ đo đếm, dùng trong trường hợp tập có hữu hạn phần tử;

-) khi s=dH^d tỷ lệ với độ đo Lebesgue trong không gian \mathbb R^d.

Đến đây ta định nghĩa được số chiều Hausdorff của tập A, ký hiệu dim(A) là số thực không âm thỏa mãn

+) khi 0\le s< dim(A) thì H^s(A)=\infty,

+) khi dim(A)< s< \infty thì H^s(A)=0.

Chẳng hạn:

+) A=(0, 1)\times(0, 1) có số chiều Hausdorff bằng 2,

+) A=\{0\}\times\mathbb R có số chiều Hausdorff bằng 1,

+) tập Cantor 2-chiều C\times C có số chiều Hausdorff bằng \log 4/\log 3.

Chú ý rằng 0\le dim(A)\le d. Trường hợp H. Steinhaus quan tâm A chứa tập có độ đo Lebesgue dương, khi đó dim(A)=d. Trường hợp P. Erdos quan tâm A chứa hữu hạn phần tử, khi đó dim(A)=0. K. J. Falconer quan tâm đến câu hỏi:

số chiều Hausdorff của tập A như nào để độ đo Lebesgue (1-chiều) của tập các khoảng cách giữa các điểm trong A dương?

Năm 1985, K. J. Falconer chỉ ra hai sự kiện:

-) tìm được tập A\subset\mathbb R^d

dim(A)=d/2 và độ đo Lebesgue của tập khoảng cách của A bằng không;

-) chứng minh được nếu dim(A)> (d+1)/2 thì độ đo của tập khoảng cách của A dương.

K. J. Falconer đưa ra giả thuyết:

nếu dim(A)> d/2 thì độ đo của tập khoảng cách giữa các điểm trong A dương.

Đến năm 2006, M. B. Erdogan chứng minh được giả thuyết Falconer khi

dim(A)> \dfrac{d(d+2)}{2(d+1)}.

Nhắc lại chú ý rằng tập có độ đo Lebesgue dương có thể có phần trong rỗng. Năm 1997, P. Mattila và P. Sjolin chỉ ra rằng nếu

A là tập Suslin, có dim(A)> (d+1)/2

thì \Delta(A) có phần trong khác rỗng.

Tập A được gọi là tập Suslin nếu nó có dạng

\cup_{i_1, i_2, \dots}\cap_{k=1}^\infty E_{i_1, i_2, \dots, i_k}

với i_1, i_2, \dots là dãy các số tự nhiên, E_{i_1, i_2, \dots, i_k} là tập đóng.

Tập Borel là tập Suslin. Hay đơn giản tập đóng, tập mở đều là tập Suslin.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s