Định lý Falconer

Khi đưa ra giả thuyết Falconer, bản thân Falconer chứng minh được kết quả sau:

Cho A\subset\mathbb R^d là tập Borel. Nếu số chiều Hausdorff dim(A)> (d+1)/2 thì tập khoảng cách của nó

\Delta(A)=\{|x-y||\; x, y\in A\}

có độ đo Lebesgue dương.

Dưới đây ta sẽ tìm hiểu một vài chứng minh của kết quả này. Trước hết ta cần hiểu số chiều Hausdorff cho ta điều gì. Trong bài

“Đồng nhất thức Hecke”

có nói đến mối quan hệ giữa số chiều Hausdorff và \alpha-dung lượng (capacity)

C_\alpha(A)=\sup\{I_\alpha(\mu)|\; \mu\in \mathcal M(A)\},

với \mathcal M(A) là tập các độ đo Radon \mu có giá nằm trong A\mu(\mathbb R^d)=1, và

I_\alpha(\mu)=\int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}d\mu(x)d\mu(y).

Cụ thể số chiều Hausdorff của tập A có thể tính bởi

dim(A)=\sup\{\alpha\in(0, d)|\; C_\alpha(A)> 0\}.

Từ mối quan hệ này ta sẽ có

nếu dim(A)> (d+1)/2 thì với mỗi \alpha\in[0, dim(A)) đều có độ đo \mu\in\mathcal M(A) sao cho

I_\alpha(\mu)< \infty.

Ta quan sát tập khoảng cách \Delta(A). Ta có thể giả sử A là tập compact. Khi đó có số dương R để

A\subset B(0, R/2).

Khi đó

\Delta(A)\subset [0, R].

Ta phủ \Delta(A) bởi họ các khoảng đóng

[R_j, R_j+\epsilon_j], 0\le R_j\le R, \epsilon_j> 0.

Độ đo Lebesgue của tập \Delta được cho bởi

\inf \sum\limits_{j}\epsilon_j

với \inf lấy trên họ tất cả các phủ khoảng đóng của \Delta(A)\setminus\{0\}.

Để đánh giá tổng \sum\limits_{j}\epsilon_j Falconer đánh giá

\mu\times\mu\{(x, y)|\; R_j\le |x-y|\le R_j+\epsilon_j\}=

=\int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}\chi_j(x-y)d\mu(x)d\mu(y)\;\;\;(1)

trong đó \chi_j(x) là hàm đặc trưng của tập

\{x|\; R_j\le|x|\le R_j+\epsilon_j\}.

Đến đây ta cần đến công thức trong bài “Đồng nhất thức Hecke”

\int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}d\mu(x)d\mu(y)=\dfrac{1}{\gamma_{n, \alpha}}\int\limits_{\mathbb R^d}|\xi|^{\alpha-d}|\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi

với \gamma_{d, \alpha}=\pi^{d/2-\alpha}\dfrac{\Gamma(d/2-\alpha/2)}{\Gamma(\alpha/2)},

và một kết quả tương tự cho hàm \chi_j(x)

\int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}\chi_j(x-y)d\mu(x)d\mu(y)\le c\int\limits_{\mathbb R^d}|\mathcal F\chi_j(\xi)|\cdot|\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi.\;\;\;(2)

Ngoài ra ta cần đến một số kết quả liên quan đến hàm Bessel:

J_\nu(t)=\dfrac{t^\nu}{(2\pi)^{\nu+1}}\omega_{2\nu}\int\limits_0^\pi e^{-it\cos\theta}\sin^{2\nu}(\theta)d\theta.

Cụ thể

\mathcal F\chi_j(\xi)=2\pi |\xi|^{-(d-2)/2}\int\limits_0^\infty \chi_j(x)J_{(d-2)/2}(2\pi|\xi|s)s^{d/2}ds,|x|=s,

|J_{(d-2)/2}(s)|\le cs^{-1/2},

(s^{d/2}J_{d/2}(s))'=s^{d/2}J_{(d-2)/2}(s).

Chú ý rằng

\chi_j(x)=\begin{cases}1 \; khi \; R_j\le |x|\le R_j+\epsilon_j, \\ 0 \; otherwise\end{cases}

nên

|\mathcal F\chi_j(\xi)|= 2\pi|\xi|^{-(d-2)/2}\left|\int\limits_{R_j}^{R_j+\epsilon_j}J_{(d-2)/2}(2\pi|\xi|s)s^{d/2}ds\right|

=(2\pi)^{-d/2}|\xi|^{-d}\left|\int\limits_{2\pi R_j|\xi|}^{2\pi (R_j+\epsilon_j)|\xi|}J_{(d-2)/2}(s)s^{d/2}ds\right|.

Từ các tính chất của hàm Bessel ta có, với 0< \epsilon_j\le R_j,

|\mathcal F\chi_j(\xi)|\le(2\pi)^{-d/2}|\xi|^{-d}\int\limits_{2\pi R_j|\xi|}^{2\pi(R_j+\epsilon_j)|\xi|}s^{(d-1)/2}ds

\le c|\xi|^{-(d-1)/2}R_j^{(d-1)/2}\epsilon_j,

|\mathcal F\chi_j(\xi)|=(2\pi)^{-d/2}|\xi|^{-d}\left|\int\limits_{2\pi R_j|\xi|}^{2\pi(R_j+\epsilon_j)|\xi|}(s^{d/2}J_{d/2}(s))'ds\right|

\le c|\xi|^{-(d+1)/2}R_j^{(d-1)/2}.

Như vậy

\int\limits_{\mathbb R^d}|\mathcal F\chi_j(\xi)|\cdot|\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi=\int\limits_{|\xi|\le 1/\epsilon_j}\underbrace{\dots}d\xi +\int\limits_{|\xi|\ge 1/\epsilon_j}\underbrace{\dots}d\xi

\le cR_j^{(d-1)/2}\Big[\epsilon_j\int\limits_{|\xi|\le1/\epsilon_j}|\xi|^{-(d-1)/2}|\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi+

+\int\limits_{|\xi|\ge 1/\epsilon_j}|\xi|^{-(d+1)/2}|\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi\Big]

(lưu ý với 0< \epsilon_j < 1, 0< t\le 1

\epsilon_j^{1-t}\le |\xi|^{t-1} khi |\xi|\le 1/\epsilon_j\epsilon_j^t\ge |\xi|^{-t} khi |\xi|\ge 1/\epsilon_j)

\le cR_j^{(d-1)/2}\epsilon_j^t\int\limits_{\mathbb R^d}|\xi|^{(d-1)/2+t-d}|\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi

\le c\epsilon_j^t R_j^{(d-1)/2}I_{t+(d-1)/2}(\mu).

Do đó từ (1) và (2) ta có, khi 0< \epsilon_j\le R_j\le \min\{R, 1\}, 0< t\le 1

\mu\times\mu\{(x, y)|\; R_j\le |x-y|\le R_j+\epsilon_j\}\le

\le c\epsilon_j^tR_j^{(d-1)/2}I_{t+(d-1)/2}(\mu).\;\;\;(3)

Quay trở lại giả thiết về số chiều Hausdorff ta có

tồn tại độ đo Radon \mu\in\mathcal M(A) sao cho

I_{(d+1)/2}(\mu)=\int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}|x-y|^{-(d+1)/2}d\mu(x)d\mu(y)<\infty

nên \mu\times\mu\{(x, x)|\; x\in A\}=0.

Khi đó với bất kỳ cách phủ \Delta(A)\setminus\{0\} bởi họ các khoảng đóng [R_j, R_j+\epsilon_j] với 0< \epsilon_j\le R_j\le\min\{R, 1\}

1=\mu\times\mu(A\times A)\le \sum\mu\times\mu\{(x, y)|\; R_j\le |x-y|\le R_j+\epsilon_j\}\le

\le cR^{(d-1)/2}I_{(d+1)/2}(\mu)\sum\epsilon_j

hay

\sum\epsilon_j\ge \left[cR^{(d-1)/2}I_{(d+1)/2}(\mu)\right]^{-1}> 0.

Do đó độ đo Lebesgue của tập khoảng cách \Delta(A) dương.

Nếu ta chỉ có (d-1)/2< dim(A)\le(d+1)/2 thì với 0< t <dim(A)-(d-1)/2, tương tự trên ta có

\sum\limits_{j}\epsilon_j^t\ge \left[cR^{(d-1)/2}I_{t+(d-1)/2}(\mu)\right]^{-1}> 0

hay độ đo Hausdorff H^t(\Delta(A))> 0. Do đó số chiều Hausdorff

dim(\Delta(A))\ge dim(A)-(d-1)/2.

Như vậy ta đã đi qua cách tiếp cận của Falconer. Tiếp theo tôi sẽ trình bày cách tiếp cận của Mattila.

Cách tiếp cận của Falconer: đánh giá độ đo Lebesgue của tập khoảng cách thông qua quan sát các phủ. Khác với Falconer, Mattila tìm cách chỉ ra một độ đo Radon dương trên \mathbb R, có giá nằm trong tập khoảng cách và liên tục tuyệt đối với độ đo Lebesgue. Với cách tiếp cận của Falconer có lẽ đánh giá (3) là chìa khóa, với cách tiếp cận của Mattila có lẽ kết quả sau có ý nghĩa quyết định.

Cho \mu là độ đo Radon trong \mathbb R^d. Giả sử có số \alpha> 1 sao cho I_\alpha(\mu)< \infty. Khi đó hai mệnh đề sau tương đương.

(i) \mathcal F\nu\in L^2(\mathbb R).

(ii) \int\limits_1^\infty \left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\right)^2t^{d-1}dt<\infty.

Độ đo \nu trên \mathbb R được xác định như sau

d\nu(t)=e^{i\pi/4}t^{-1/2}d\nu_0(t) +e^{-i\pi/4}|t|^{-1/2}d\nu_0(-t)

trong đó \nu_0 là độ đo khoảng cách của độ đo \mu được xác định như hàm suy rộng

\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)\mapsto \int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}\varphi(|x-y|)d\mu(x)d\mu(y).

Có thể thấy nếu giá supp\mu\subset A thì

supp\nu_0\subset\Delta(A)supp\nu\subset \Delta(A)\cup (-\Delta(A)).

Hơn nữa, nếu \mu là độ đo dương thì \nu_0 có độ đo dương, còn \nu là độ đo khác 0 trên \Delta(A)\cup(-\Delta(A)). Khi đó nếu có (i) thì \nu liên tục tuyệt đối với độ đo Lebesgue, cụ thể d\nu=fdm, m là độ đo Lebesgue trên đường thẳng, f\in L^2(\mathbb R). Do đó m(A)> 0.

Như vậy, theo Mattila ta chỉ cần tìm độ đo Radon dương \mu thỏa mãn

I_\alpha(\mu)< \infty với \alpha> 1 nào đó, và (ii).

Việc chứng minh kết quả trên của Mattila khá phức tạp, ta để lại sau. Phần tiếp ta sẽ sử dụng kết quả này để chứng minh Định lý Falconer theo hai cách, một của Wolff, một của Iosevich.

C1: (Wolff) Ta cần đến kết quả sau:

Cho \alpha\ge 1\mu là độ đo Radon dương với giá compact. Khi đó

\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\le Ct^{1-\alpha}I_\alpha(\mu).

Trước khi chứng minh kết quả này, ta chứng minh Định lý Falconer theo cách của Wolff như sau.

Do dim(A)> (d+1)/2 nên có độ đo \mu\in \mathcal M(A) sao cho

I_{(d+1)/2}(\mu)<\infty.

Như vậy độ đo \mu này thỏa mãn kết quả trên của Wolff và Mattila khi \alpha=(d+1)/2. Khi đó theo Wolff

\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\le Ct^{-(d-1)/2}I_{(d+1)/2}(\mu).

Do đó

\int\limits_1^\infty\left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\right)^2t^{d-1}dt\le

\le CI_{(d+1)/2}(\mu)\int\limits_1^\infty \left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\right)t^{(d-1)/2}dt

I_{(d+1)/2}(\mu)=\dfrac{1}{\gamma_{d, (d+1)/2}}\int\limits_{\mathbb R^d}|\xi|^{-(d-1)/2}|\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi

=\dfrac{1}{\gamma_{d, (d+1)/2}}\int\limits_0^\infty\left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\right)t^{(d-1)/2}dt

nên

\int\limits_1^\infty\left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\right)^2t^{d-1}dt\le CI_{(d+1)/2}^2(\mu)

hay \mu thỏa mãn (ii). Từ đó theo Mattila ta có chứng minh cho Định lý Falconer.

Giờ ta chứng minh kết quả của Wolff. Do giá của \mu là compact nên có số dương R sao cho

supp\mu\subset B(0, R).

Chọn hàm \phi\in C^\infty_0(\mathbb R^d) sao cho

\mathcal F\phi(\xi)\ge 1, \forall \xi\in B(0, R).

Chẳng hạn lấy

\rho(x)=\begin{cases}Ce^{-1/(1-|x|^2)} \; khi \; |x|< 1, \\ 0\; otherwise\end{cases}

với hằng số C sao cho \int\limits_{\mathbb R^d}\rho(x)dx=2.

Khi đó:

+) \mathcal F\rho(\xi) là số thực,

+) \mathcal F\rho(0)=\int\limits_{\mathbb R^d}\rho(x)dx=2

nên có số dương a sao cho

\mathcal F\rho(\xi)\ge 1 khi |\xi|\le a.

Ta chọn \phi(x)=(R/a)^{d}\rho(Rx/a).

Đặt \mu_0 là độ đo Radon có giá nằm trong supp\mu sao cho

d\mu=\mathcal F\phi d\mu_0.

Khi đó

I_\alpha(\mu_0)=\int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}d\mu_0(x)d\mu_0(y)

\le \int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\mathcal F\phi(x)\mathcal F\phi(y)d\mu_0(x)d\mu_0(y)=I_\alpha(\mu).\;\;\;(4)

Lại có, với \omega\in \mathbb S^{d-1}, t> 1 theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

|\mathcal F\mu(t\omega)|^2=\left(\int\limits_{\mathbb R^d}\mathcal F(\mathcal F\phi)(t\omega-x)\mathcal F\mu_0(x)dx\right)^2

\le \left(\int\limits_{\mathbb R^d} \phi(y)dy\right)\left(\int\limits_{\mathbb R^d} \phi(t\omega-x)|\mathcal F\mu_0(x)|^2dx\right)

(do ||x|-t|\le |x-t\omega|supp \phi\subset B(0, a/R), \int\limits_{\mathbb R^d}\phi(y)dy=2 )

\le 2\int\limits_{||x|-t|\le a/R}\phi(t\omega - x)|\mathcal F\mu_0(x)|^2dx.

Do đó

\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\mu(t\omega)|^2d\omega\le 2\int\limits_{||x|-t|\le \frac{a}{R}} |\mathcal F\mu_0(x)|^2\left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}\phi(t\omega -x) d\omega\right)dx.

Khi t đủ lớn và ||x|-t|\le a/R, \alpha\le d

m_{d-1}\{\omega\in\mathbb S^{d-1}|\; |\omega-\frac{x}{t}|\le \frac{a}{Rt}\}\le Ct^{1-d},

|x|^{d-\alpha}\le(t+a/R)^{d-\alpha}\le ct^{d-\alpha}

nên

\int\limits_{||x|-t|\le a/R}|\mathcal F\mu_0(x)|^2\left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}\phi(t\omega -x)d\omega\right)dx\le

\le Ct^{1-\alpha}\int\limits_{\mathbb R^d}|x|^{\alpha-d}|\mathcal F\mu_0(x)|^2dx=CI_\alpha(\mu_0).\;\;\;\quad (5)

Như vậy từ (4), (5) ta chứng minh được kết quả của Wolff.

Phần cuối ta tìm hiểu cách của Iosevich.

C2: (Iosevich) Ta cần đến kết quả sau:

Cho \varphi\in S(\mathbb R^d) có giá trị không âm thỏa mãn

+) \int\limits_{\mathbb R^d}\varphi(x)dx=1,

+) có \alpha > (d+1)/2 sao cho

I_\alpha(\varphi)=\int\limits_{\mathbb R^d}\int\limits_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\varphi(x)\varphi(y)dxdy< \infty.

Khi đó

M(\varphi)=\int\limits_1^\infty\left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\varphi(t\omega)|^2d\omega\right)^2t^{d-1}dt\le CI_\alpha^{\frac{2(d-1)}{d+1}}(\varphi).

Trước hết ta dùng kết quả này để chứng minh Định lý Falconer. Do dim(A)> (d+1)/2 nên có số \alpha\in((d+1)/2, dim(A)) và độ đo Radon dương \mu\in\mathcal M(A) sao cho

I_\alpha(\mu)<\infty.

Với \rho(x) được xác định như trong C1, ta đặt

\rho_\epsilon(x)=\epsilon^{-d}\rho(x/\epsilon)

supp\rho_\epsilon\subset B(0, \epsilon), \int\limits_{\mathbb R^d}\rho_\epsilon(x)dx=2.

Chú ý, ta giả sử A compact nên

\mu*\rho_\epsilon\in S(\mathbb R^d), supp(\mu*\rho_\epsilon)\subset A+B_\epsilon

\int\limits_{\mathbb R^d}\mu*\rho_\epsilon(x)dx=2\mu(A)=2,

I_\alpha(\mu*\rho_\epsilon)=\dfrac{1}{\gamma_{d, \alpha}}\int\limits_{\mathbb R^d}|\xi|^{\alpha-d}|\mathcal F\rho_\epsilon(\xi)\mathcal F\mu(\xi)|^2d\xi\le CI_\alpha(\mu)

Đặt \varphi=\mu*\rho_\epsilon/2 thì \varphi thỏa mãn giả thiết của kết quả của Iosevich. Do đó

M(\mu*\rho_\epsilon)\le CI_\alpha^{\frac{2(d-1)}{d+1}}(\mu*\rho_\epsilon)\le CI_\alpha^{\frac{2(d-1)}{d+1}}(\mu).

Do \mu*\rho_\epsilon hội tụ đến 2\mu trong \mathcal E'(\mathbb R^d) nên \mathcal F(\mu*\rho_\epsilon) hội tụ điểm đến 2\mathcal F\mu. Khi đó, theo Bổ đề Fatou ta có

M(\mu)\le CI_\alpha^{\frac{2(d-1)}{d+1}}(\mu).

Theo Mattila ta có chứng minh cho Định lý Falconer.

Quay trở lại chứng minh kết quả của Iosevich. Lấy hàm \psi\in C^\infty_0(\mathbb R^d), như trong quá trình xây dựng phân tích Littlewood-Paley

https://datuan5pdes.wordpress.com/2014/11/20/ung-dung-cua-w-phan-tich-va-phan-tich-littlewood-paley/,

thỏa mãn

0\le \psi(x)\le 1, supp\psi\subset \{1/2\le |x|\le 2\}.

Lấy \beta(x)=\psi(2x/3) ta có

\min\limits_{1\le |x|\le 2}\beta(x)=a> 0,

0\le \beta(x)\le 1, supp\beta\subset \{3/4\le |x|\le 3\}.

Với mỗi j\in\mathbb Z_+ đặt

\varphi_j(x)=\mathcal F(\beta(2^{-j}\xi))(x)*\varphi(x)=2^{jd}\mathcal F\beta(2^jx)*\varphi(x).

Ta có, do \varphi(x)\ge 0, \int\limits_{\mathbb R^d}\varphi(x)dx=1 nên

||\varphi_j||_{L^1}\le ||\mathcal F\beta(x)||_{L^1}.

Lại có supp\beta(2^{-j}\xi)\subset \{3\times 2^{j-2}\le |\xi|\le 3\times 2^j\}, 0\le \beta(\xi)\le 1,

I_\alpha(\varphi)=\int\limits_{\mathbb R^d}|\xi|^{\alpha-d}|\mathcal F\varphi(\xi)|^2d\xi

nên

||\varphi_j||^2_{L^2}=||\mathcal F\varphi_j||^2_{L^2}

=\int\limits_{3\times 2^{j-2}}^{3\times 2^j}|\beta(2^{-j}\xi)|^2|\mathcal F\varphi(\xi)|^2d\xi

\le C2^{j(d-\alpha)}\int\limits_{\mathbb R^d}|\xi|^{\alpha-d}|\mathcal F\varphi(\xi)|^2d\xi=CI_\alpha(\varphi)2^{j(\alpha-d)}.

Theo bất đẳng thức nội suy, với p=\dfrac{2(d+1)}{d+3}\in(1, 2)

||\varphi_j||_{L^p}\le C2^{j(d-\alpha)/p'}I_\alpha^{1/p'}(\varphi).

Với 2^j\le t\le 2^{j+1}, \omega\in \mathbb S^{d-1}

1\le 2^{-j}t\omega\le 2

nên

\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\varphi(t\omega)|^2d\omega\le \dfrac{1}{a^2}\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}||\beta(2^{-j}t\omega)\mathcal F\varphi(t\omega)|^2d\omega

\le \dfrac{1}{a^2}\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\varphi_j(t\omega)|^2d\omega.

Đến đây ta sử dụng Định lý hạn chế Tomas-Stein (Tomas-Stein restriction theorem). Cho f\in L^p(\mathbb R^d), 1\le p\le 2(d+1)/(d+3). Khi đó

||\mathcal Ff\Big|_{\mathbb S^{d-1}}||_{L^2(\mathbb S^{d-1})}\le C||f||_{L^p(\mathbb R^d)}.

Chú ý \mathcal F(t^{-d}f(x/t))(\xi)=\mathcal F(t\xi). Khi đó theo Định lý hạn chế Tomas-Stein ta có

\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\varphi_j(t\omega)|^2d\omega\le C\left(\int\limits_{\mathbb R^d}|t^{-d}\varphi_j(x/t)|^pdx\right)^{2/p}

\le Ct^{-2d/p'}||\varphi_j||_{L_p}^2.

Như vậy với 2^j\le t\le 2^{j+1} ta có

\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\varphi(t\omega)|^2d\omega\le C2^{-\frac{2jd}{p'}}2^{\frac{2j(d-\alpha)}{p'}}I_\alpha^{\frac{2}{p'}}(\varphi)=C2^{-\frac{2j\alpha}{p'}}I_\alpha^{\frac{2}{p'}}(\varphi).

Do đó

M_j(\varphi)=\int\limits_{2^j}^{2^{j+1}}\left(\int\limits_{\mathbb S^{d-1}}|\mathcal F\varphi(t\omega)|^2d\omega\right)^2t^{d-1}dt\le C2^{j(d-1-\frac{4\alpha}{p'})}I_\alpha^{\frac{4}{p'}}(\mu).

Với p=2(d+1)/(d+3), \alpha> (d+1)/2

d-1-\dfrac{4\alpha}{p'}=(d-1)\left(1-\dfrac{2\alpha}{d+1}\right)< 0

nên

M(\varphi)=\sum\limits_{j=0}^\infty M_j(\varphi)\le CI_\alpha^{\frac{2(d-1)}{d+1}}(\varphi).

Ta đã chứng minh xong kết quả của Iosevich.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s