Khi nào hàm là hàm hằng?

Trong trường hợp 1-chiều, Định lý Lagrange cho ta khẳng định rằng:

Nếu hàm khả vi f:(a, b)\to\mathbb R có đạo hàm

f'(x)=0, \forall x\in (a, b),

thì f là hàm hằng.

Tổng quát hơn, ta xét f là hàm suy rộng trên (a, b) và đạo hàm suy rộng của nó là hàm suy rộng 0 thì f là hàm suy rộng hằng.

Một cách tương tự cho hàm và hàm suy rộng xác định trên miền (mở+liên thông) trong không gian \mathbb R^n. Các bạn thử cụ thể việc tương tự này xem sao?

Quay trở lại trường hợp 1-chiều, hàm lồi trên toàn đường thẳng và bị chặn trên là hàm hằng.

Nhắc lại khái niệm hàm lồi:

f:\mathbb R\to\mathbb R được gọi là hàm lồi nếu

với mọi cặp điểm x_1, x_2 \in\mathbb R ta đều có

f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\le \dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}.

Nếu hàm khả vi đến cấp 2 ta có thể phát biểu như sau:

Cho f:\mathbb R\to\mathbb R khả vi đến cấp 2 và đạo hàm cấp 2 của nó

f"(x)\ge 0, \forall x\in\mathbb R.

Khi đó nếu f bị chặn trên, nghĩa là có số M để

f(x)\le M, \forall x\in\mathbb R,

thì f là hàm hằng.

Tuy nhiên có nhiều hàm lồi không có đạo hàm đến cấp 2, chẳng hạn f(x)=|x| hay các hàm có đồ thị tuyến tính từng khúc. Tuy nhiên L. Schwartz chứng minh được rằng

f là hàm lồi khi và chỉ khi nó có đạo hàm suy rộng cấp hai f" là độ đo Radon, nghĩa là hàm suy rộng dương

\langle f", \varphi\rangle\ge 0, \forall \varphi\in \mathcal D(\mathbb R)

hay

\int\limits_{\mathbb R}f(x)\varphi"(x)dx\ge 0, \forall \varphi\in\mathcal D(\mathbb R).

Ta có thể thấy điều này qua ví dụ f(x)=|x|f"=2\delta, hay f(x) có đồ thị tuyến tính từng khúc có

f"=\sum_{x_j}a_j\delta_{x_j},

với x_j là hoành độ điểm gãy, a_j là độ lệch giữa hệ số góc của đoạn phải và đoạn trái được nối với nhau tại điểm x_j.

Một cách tương tự các bạn thử phát biểu cho hàm lõm. Hàm vừa lồi vừa lõm là hàm afin, nghĩa là

f"(x)=0, \forall x\in\mathbb R.

Khi đó nếu f bị chặn hoặc trên, hoặc dưới thì nó là hàm hằng.

Chú ý rằng, theo Bổ đề Weyl, đạo hàm cấp hai f" ở trên có thể hiểu theo nghĩa suy rộng, nghĩa là ta chỉ cần giả sử f\in L^1_{loc}(\mathbb R)

\int\limits_{\mathbb R}f(x)\varphi"(x)dx=0, \forall \varphi\in \mathcal D(\mathbb R).

Khi đó nếu f\in L^\infty(\mathbb R) thì nó là hàm hằng.

Phần tiếp theo của bài viết quan tâm đến: với các điều kiện gì đặt lên các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm xác định trên toàn \mathbb R^n, n\ge 2, thì hàm là hàm hằng? Trả lời câu hỏi này ta thu được các Định lý kiểu Liouville.

Ta bắt đầu với các điều kiện đặt lên đạo hàm riêng cấp 1 và n=2. Chú ý ta có thể coi \mathbb R^2=\mathbb C theo cách (x, y)\mapsto x+iy=z. Ta quan tâm đến các hàm f: \mathbb R^2=\mathbb C\to \mathbb R^2=\mathbb C. Ta có các đạo hàm riêng

f_z=\dfrac{1}{2}(f_x-if_y)=\dfrac{1}{2}(u_x+v_y+i(v_x-u_y)),

f_{\bar{z}}=\dfrac{1}{2}(f_x+if_y)=\dfrac{1}{2}(u_x-v_y+i(v_x+u_y)),

với f=u+iv.

Đến đây ta gặp khái niệm tựa chính quy (quasiregular) sau:

Hàm f\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb C) được gọi là tựa chính quy nếu

|f_{\bar{z}}(z)|\le k|f_z(z)|, a.e. \; z\in\mathbb C,

với hằng số k\in(0, 1).

Khi đó ta có kết quả sau:

Nếu hàm tựa chính quy f thỏa mãn:

\int\limits_{B(0, R)}|f(z)|^2dm(z)\le C(1+R^2), \forall R> 0,

thì f là hàm hằng.

Đặc biệt, khi hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Để chuyển sang trường hợp \mathbb R^n ta cần quan sát điều kiện tựa chính quy. Để ý:

-) Jacobien

Jf(x, y)=u_x(x, y)v_y(x, y)-u_y(x, y)v_x(x, y)=|f_z(z)|^2-|f_{\bar{z}}(z)|^2,

-) chuẩn của đạo ánh

|Df(x, y)|=\sup\limits_{|h|=1}|Df(x, y)h|=|f_z(z)|+|f_{\bar{z}}(z)|

-) và

\min\limits_{|h|=1}|Df(x, y)h|=|f_z(z)|-|f_{\bar{z}}(z)|

nên f\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^2) là tựa chính quy khi và chỉ khi

|f_z(z)|+|f_{\bar{z}}(z)|\le K(|f_z(z)|-|f_{\bar{z}}(z)|), a.e. \; z\in\mathbb C,

hay

|Df(x, y)|^2\le KJf(x, y), a.e. \; (x, y)\in\mathbb R^2,

hoặc

0\le Jf(x, y)\le K\left(\min\limits_{|h|=1}|Df(x, y)h|\right)^2, a.e. \; (x, y)\in\mathbb R^2,

với hằng số K\ge 1.

Giờ ta có thể định nghĩa hàm tựa chính quy trong \mathbb R^n như sau:

Hàm f:\mathbb R^n \to\mathbb R^n, f\in W^{1, n}_{loc}(\mathbb R^n) thỏa mãn

|Df(x)|^n\le KJf(x), a.e.\; x\in\mathbb R^n, \quad\quad\quad(1)

với hằng số K\ge 1,

được gọi là hàm tựa chính quy.

Nhắc lại

-) ma trận đạo ánh Jacobi Df(x)=(D_j f_i)_{1\le i, j\le n}, f=(f_1, \dots, f_n), D_j=\partial/\partial x_j,

-) chuẩn của ma trận đạo ánh Jacobi

|Df(x)|=\sup\limits_{|h|=1}\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|\sum\limits_{j=1}^n D_jf_i(x)h_j\right|^2\right)^{1/2},

-) định thức Jacobien của ma trận đạo ánh Jacobi

Jf(x)=det Df(x).

Khi đó ta cũng có

0\le Jf(x)\le K'\left(\min\limits_{|h|=1}|Df(x)h|\right)^n, a.e. \; x\in\mathbb R^n\quad\quad\quad(2)

với hằng số K'\ge 1.

Đặt K_O(f), K_I(f) lần lượt là số nhỏ nhất trong các K, K' thỏa mãn (1), (2).

Trong trường hợp n=2 ta có K_O(f)=K_I(f).

Ta có kết quả sau cho hàm tựa chính quy trong \mathbb R^n, n\ge 2 như sau:

Cho f là hàm tựa chính quy thỏa mãn

\lim\limits_{|x|\to\infty}|x|^{-\alpha}|f(x)|=0

với \alpha=(K_I(f))^{1/(n-1)}. Khi đó f là hàm hằng.

Đặc biệt, nếu hàm tựa chính quy bị chặn thì nó là hàm hằng.

Trong trường hợp n=2, hàm tựa chính quy với hằng số k=0 hay K_I=K_0=1, theo Bổ đề Weyl, là hàm chỉnh hình. Khi đó từng thành phần của nó đều là hàm điều hòa. Ta gặp lại Định lý Liouville cho hàm chỉnh hình trên \mathbb C, cũng như hàm điều hòa trên mặt phẳng.

Chú ý rằng hàm điều hòa là nghiệm của phương trình Laplace, trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic. Phần tiếp ta quan tâm đến nghiệm u\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^2; \mathbb R) của phương trình elliptic, theo nghĩa suy rộng,

a(x, y)u_{xx}+2b(x, y)u_{xy}+c(x, y)u_{yy}=0,

trong đó a, b, c là các hàm đo được thỏa mãn

\lambda (|\xi|^2+|\eta|^2) \le a(x, y)\xi^2+2b(x, y)\xi\eta+c(x, y)\eta^2\le\Lambda(|\xi|^2+|\eta|^2),

\forall (\xi, \eta)\in\mathbb R^2, a.e.\; (x, y)\in\mathbb R^2,

trong đó \lambda, \Lambda là các hằng số dương.

Khi đó nếu u\in L^\infty(\mathbb R^n) thì nó là hàm hằng.

Ta quan sát lại bài viết:

– bắt đầu xét hàm f:(a, b)\to\mathbb R,

– mở rộng f:\Omega(\subset\mathbb R^n) \to \mathbb R,

– rồi f: \mathbb R^2=\mathbb C\to\mathbb Cf: \mathbb R^n \to \mathbb R^n,

– quay trở lại u: \mathbb R^2 \to \mathbb R.

Tiếp đến ta quan tâm đến nghiệm theo nghĩa suy rộng u\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^n; \mathbb R^m) của hệ phương trình elliptic

-\sum\limits_{i, j=1}^n \sum\limits_{\alpha=1}^m D_i(A^{\alpha, \beta}_{i, j}(x)D_j u^{\alpha})=0, \beta=1, \dots, m,\quad\quad(3)

với u=(u^1, \dots, u^m)

và hệ số A^{\alpha, \beta}_{i, j}\in L^\infty(\mathbb R^n) thỏa mãn

\lambda |\xi|^2\le \sum\limits_{1\le \alpha, \beta\le m\atop 1\le i, j \le n}A^{\alpha, \beta}_{i, j}(x)\xi^\alpha_i \xi^\beta_j, \forall \xi\in \mathbb R^n\times \mathbb R^m, a.e. x\in\mathbb R^n.

Khi đó, nếu u(x) có độ tăng không quá đa thức, nghĩa là

|u(x)|\le M(1+|x|^k), a.e. \; x\in\mathbb R^n

thì u(x) là đa thức bậc k, nghĩa là từng thành phần của nó là đa thức bậc k.

Đặc biệt nếu u\in L^\infty(\mathbb R^n) thì nó là hằng số.

Nhắc lại: u\in W^{1, 2}_{loc}(\mathbb R^n; \mathbb R^m) được gọi là nghiệm của hệ (3) nếu

\sum\limits_{1\le \alpha, \beta \le m\atop 1\le i, j\le n}\int\limits_{\mathbb R^n}A^{\alpha, \beta}_{i, j}(x)D_ju^\alpha(x) D_j\phi^\beta(x)dx=0, \forall \phi\in \mathcal D(\mathbb R^n; \mathbb R^m).

Vừa rồi ta xét các hàm xác định trên toàn không gian \mathbb R^n. Trở lại đầu bài các hàm chỉ cần xác định trên miền (mở+liên thông). Cũng cần chú ý việc xác định trên toàn không gian là rất cần qua ví dụ:

– hàm u(x)=\dfrac{1}{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}} là nghiệm bị chặn, khác hằng, của phương trình Laplace ngoài hình tròn đơn vị.

Phần cuối của bài viết ta quay trở lại xét hàm f: \Omega\to\mathbb R, \Omega là miền trong \mathbb R^n. H. Brezis là người đầu tiên đưa ra các điều kiện thú vị dạng tích phân như sau:

Hàm đo được f: \Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega \dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{n+1}}dxdy

thì f là hàm hằng.

Tổng quát hơn một chút, với 1\le p< \infty, nếu hàm đo được f: \Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega \dfrac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+p}}dxdy

thì f là hàm hằng.

Tổng quát hơn nữa như sau:

Cho họ hàm \{\rho_\epsilon\}_{\epsilon> 0} gồm các hàm đo được \rho_\epsilon: [0, \infty)\to[0, \infty) thỏa mãn

\int\limits_{\mathbb R^n}\rho_\epsilon(|x|)dx=1,

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{|x|> \delta}\rho_\epsilon(|x|)dx=0, \forall \delta> 0;

và hàm lồi \omega:[0, \infty)\to[0, \infty) thỏa mãn

\omega(0)=0, \omega(t)> 0 \; khi \; t> 0.

Khi đó nếu hàm đo được f:\Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega\omega\left(\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\right)\rho_\epsilon(|x-y|)dxdy=0

thì f là hàm hằng.

Nếu lấy \omega(t)=t^p

\rho_\epsilon(r)=\begin{cases}\epsilon r^{\epsilon-n} \; khi \; 0< r< 1,\\ 0 \; otherwise\end{cases}

ta sẽ có kết quả ngay trên.

R. Ignat lại quan tâm đến vấn đề sau:

Xét tập

W=\{\omega\in C(\mathbb R_+; \mathbb R_+)|\; \omega(0)=0, \omega(t)> 0 \; khi \; t> 0\}.

Tìm điều kiện cần và đủ cho một hàm \omega\in W để

với bất kỳ hàm đo được f:\Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\int\limits_\Omega\int\limits_\Omega \omega\left(\dfrac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}\right)\dfrac{1}{|x-y|^n}dxdy< \infty

thì f là hàm hằng.

Ignat đưa ra các điều kiện như sau:

– Điều kiện cần: \int\limits_1^\infty \dfrac{\omega(t)}{t^2}dt=\infty.

– Điều kiện đủ:\liminf\limits_{t\to\infty}\dfrac{\omega(t)}{t}> 0.

Câu hỏi mở: Điều kiện cần ở trên có là điều kiện đủ không?

One thought on “Khi nào hàm là hàm hằng?

  1. datuan5pdes

    Nếu f\in C(\mathbb T) (hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2\pi) thỏa mãn

    ||\sigma_n(f)-f||_\infty=o(1/n)

    thì f=const.

    Nếu f\in L^1(\mathbb T) (hàm đo được tuần hoàn chu kỳ 2\pi, khả tích trên từng chu kỳ) thỏa mãn

    ||\sigma_n(f)-f||_1=o(1/n)

    thì f=const.

    Trong đó tổng Fejer

    \sigma_n(f)=K_n*f, K_n(x)=\dfrac{1-\cos((n+1)x)}{2(n+1)\sin^2(x/2)}.

    Nếu f\in L^1(\mathbb R) (hàm khả tích \mathbb R) thỏa mãn

    ||\sigma_n(f)-f||_1=o(1/n)

    thì f=0.

    Trong đó tích phân Fejer

    \sigma_n(f)=K_n*f, K_n(x)=\dfrac{1-\cos(2\pi nx)}{2n\pi^2x^2}.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s