Bất đẳng thức Caccioppoli

Bất đẳng thức Caccioppoli có thể hiểu là bất đẳng thức Poincare ngược theo cách sau. Nhắc lại hai dạng của bất đẳng thức Poincare như sau:

Dạng 1: với u\in H^1_0(\Omega), \Omega là miền bị chặn trong \mathbb R^n ta có

||u||_{L^2(\Omega)}\le C||\nabla u||_{L^2(\Omega)},

trong đó hằng số C chỉ phụ thuộc vào \Omega, n.

Dạng 2: với u\in H^1(\Omega), \Omega là miền bị chặn trong \mathbb R^n ta có

||u-\bar{u}_\Omega||_{L^2(\Omega)}\le C||\nabla u||_{L^2(\Omega)},

trong đó C là hằng số chỉ phụ thuộc \Omega, n; còn ký hiệu

\bar{u}_\Omega=\dfrac{1}{|\Omega|}\int\limits_\Omega u(x)dx.

Các bạn có thể tham khảo thêm về trường hợp \Omega\subset\mathbb R trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2014/05/31/cac-dang-bat-dang-thuc-poincare-1-chieu/

Chẳng hạn hằng số tốt nhất trong trường hợp \Omega=(0, \pi) cho cả hai dạng trên đều bằng 1. Một cách tổng quát, khi \Omega là tập lồi, trong bài

“An optimal Poincaré inequality for convex domains”, Archive for Rational Mechanics and Analysis: 286–292, 1960,

L. E. Payne và H. F. Weinberger đã chỉ ra hằng số tốt nhất

C=d(\Omega)/\pi, d(\Omega) là đường kính của tập \Omega.

Ta không đi sâu vào điều này mà ta quan tâm đến dạng ngược của bất đẳng thức Poincare, bất đẳng thức Caccioppoli sau:

||\nabla u||_{L^2(B_\rho(x_0))}\le \dfrac{C}{R-\rho}||u-\lambda||_{L^2(B_R(x_0)\setminus B_\rho(x_0))}, \forall \lambda\in\mathbb R,\quad\quad\quad(3)

trong đó 0< \rho< R, B_R(x_0)\subset\Omega, u\in H^1_{loc}(\Omega).

Hằng số C trong (3) có thể chọn 4. Như vậy hằng số C không phụ thuộc vào R, \rho.

Nói chung không phải lúc nào ta cũng có bất đẳng thức Caccioppoli, chẳng hạn ta lấy dãy hàm u_n(x)=\sin(nx), \Omega=(0, \pi). Để có bất đẳng thức Caccioppoli ta cần

ngoài chuyện u\in H^1_{loc}(\Omega) thì u còn là nghiệm yếu của phương trình Laplace, nghĩa là

\int\limits_\Omega \sum\limits_{j=1}^nD_ju(x)D_j\varphi(x)dx=0, \forall \varphi\in H^1_0(\Omega).

Trước khi chứng minh bất đẳng thức Caccioppoli ta xem các hệ quả dẫn ra từ bất đẳng thức này:

Hệ quả 1 (Bổ đề Weyl). Nghiệm yếu của phương trình Laplace là hàm khả vi vô hạn. Từ đó dẫn đến nó là nghiệm mạnh.

Chứng minh: Lấy hàm

\rho(x)=\begin{cases}Ce^{\frac{1}{|x|^2-1}}\; khi \; |x|< 1, \\ 0\; khi \; |x|\ge 1,\end{cases}

với hằng số C thỏa mãn \int\limits_{\mathbb R^n}\rho(x)dx=1,

\rho_\epsilon(x)=\epsilon^{-n}\rho(x/\epsilon).

Khi đó, lấy x_0\in\Omega, R> 0 sao cho B_R(x_0)\subset\Omega. Chọn \epsilon_0> 0 sao cho

B_{R+\epsilon}(x_0)\subset \Omega, 0<\epsilon< \epsilon_0.

Khi đó:

u_\epsilon(x)=\int\limits_{\Omega}u(y)\rho_\epsilon(x-y)dy

– là hàm khả vi vô hạn trong B_R(x_0),

– có ||u_\epsilon||_{L^2(B_R(x_0))}\le ||u||_{L^2(\Omega)}\le ||u||_{H^1(\Omega)},

u_\epsilon\to u trong L^2(B_R(x_0)) khi \epsilon\to 0_+,

– có các đạo hàm riêng thỏa mãn phương trình Laplace nên từ bất đẳng thức Caccioppoli ta có

\int\limits_{B_{R/2}(x_0)}|D^ku_\epsilon(x)|^2dx\le C(k, R)\int\limits_{B_{R}(x_0)}|u_\epsilon(x)|^2dx,

với |D^ku_\epsilon(x)|^2=\sum\limits_{|\alpha|= k}|D^\alpha u_\epsilon(x)|^2.

Lại do phép nhúng

H^k(B_{R/2}(x_0))\hookrightarrow C^r(B_{R/2}(x_0))

là compact khi k> n/2+r

nên từ dãy u_\epsilon, 0< \epsilon < \epsilon_0, trích ra được dãy con u_{\epsilon_j}, \epsilon_j\to 0_+, hội tụ trong C^r(B_{R/2}(x_0)). Do đó u\in C^r(\Omega), \forall r\in\mathbb N, hay u\in C^\infty(\Omega).

Hệ quả 2 (Định lý Liouville). Hàm điều hòa (nghiệm của phương trình Laplace) trên toàn không gian mà bị chặn thì nó là hàm hằng.

Chứng minh:

Từ bất đẳng thức Poincare ta có

\int\limits_{B_1(0)\setminus B_{1/2}(0)}|u(x)-\lambda|^2dx\le C_1\int\limits_{B_1(0)\setminus B_{1/2}(0)}|\nabla u(x)|^2dx

với \lambda=\dfrac{1}{|B_1(0)\setminus B_{1/2}(0)|}\int\limits_{B_1(0)\setminus B_{1/2}(0)}u(x)dx.

Bằng cách “rescale”, nghĩa là đặt \tilde{u}(x)=u(Rx) ta có

\int\limits_{B_R(0)\setminus B_{R/2}(0)}|u(x)-\lambda|^2dx\le C_1R^2\int\limits_{B_R(0)\setminus B_{R/2}(0)}|\nabla u(x)|^2dx

với \lambda=\dfrac{1}{|B_R(0)\setminus B_{R/2}(0)|}\int\limits_{B_R(0)\setminus B_{R/2}(0)}u(x)dx.

Lại từ bất đẳng thức Caccioppoli ta có

\int\limits_{B_{R/2}(0)}|\nabla u(x)|^2dx\le \dfrac{C_2}{R^2}\int\limits_{B_R(0)\setminus B_{R/2}(0)}|u(x)-\lambda|^2dx.

Do đó

\int\limits_{B_{R/2}(0)}|\nabla u(x)|^2dx\le C\int\limits_{B_R(0)\setminus B_{R/2}(0)}|\nabla u(x)|^2dx.

Khi đó

\int\limits_{B_{R/2}(0)}|\nabla u(x)|^2dx\le \dfrac{C}{C+1}\int\limits_{B_R(0)}|\nabla u(x)|^2dx

và, từ bất đẳng thức Caccioppoli, nếu n=2

\int\limits_{B_R(0)}|\nabla u(x)|^2dx\le C\sup\limits_{x\in\mathbb R}|u(x)|^2.

Từ đó không khó để thấy

\nabla u(x)=0 \;h.k.n\; \mathbb R^n

hay u=const.

Cách tiếp cận trên mới chứng minh cho trường hợp n=2.

Ta sẽ chứng minh Định lý Liouville cho trường hợp tổng quát hơn.

Giả sử u\in H^1_{loc}(\mathbb R^n) là nghiệm yếu của phương trình elliptic thuần nhất với hệ số hằng

\sum\limits_{j, k=1}^n D_j(a_{jk}D_ku(x))=0\quad\quad\quad(2)

nghĩa là

\int\limits_{\mathbb R^n}\sum\limits_{j, k=1}^n a_{jk}D_ku(x)D_j\varphi(x)dx=0, \forall \varphi\in H^1_0(\mathbb R^n).

Phương trình (2) được gọi là elliptic nếu ma trận (a_{jk})_{1\le j, k\le n} là xác định dương, nghĩa là

\sum\limits_{j, k=1}^n a_{jk}\xi_j\xi_k\ge \lambda|\xi|^2, \forall \xi=(\xi_1, \dots, \xi_n)\in\mathbb R^n.

Khi đó nếu nghiệm u của phương trình (2) bị chặn thì u là hàm hằng.

Để chứng minh kết quả này ta cần đến bất đẳng thức Caccioppoli sau:

||\nabla u||^2_{L^2(B_\rho(x_0))}\le C\left(\dfrac{1}{(R-\rho)^2}||u-c_0||^2_{L^2(B_R(x_0))}+R^2||f||^2_{L^2(B_R(x_0))}+||F||^2_{L^2(B_R(x_0))}\right)

với 0< \rho< R, B_R(x_0)\subset\Omega, u\in H^1_{loc}(\Omega) là nghiệm yếu của phương trình

-\sum\limits_{j, k=1}^n D_j(a_{jk}(x)D_ku(x))=f(x)+\sum\limits_{j=1}^nF_j(x)

với F=(F_1, \dots, F_n), f, F_j\in L^2(\Omega)

a_{jk}\in L^\infty(\Omega) thỏa mãn

\sum\limits_{j, k=1}^n a_{jk}(x)\xi_j\xi_k\ge \lambda|\xi|^2, \forall \xi\in\mathbb R^n, a.e.\; x\in\Omega,

hằng số C=C=(\lambda, \Lambda), \Lambda=ess\sup\limits_{x\in\Omega\atop j,k}|a_{jk}(x)|.

Có thể thấy ngay bất đẳng thức Caccioppoli cho phương trình Laplace là trường hợp riêng của bất đẳng thức Caccioppoli cho phương trình elliptic không thuần nhất trên. Ta sẽ chứng minh kết quả này sau. Giờ ta sẽ dùng kết quả này để chứng minh Định lý Liouville cho nghiệm yếu của phương trình elliptic thuần nhất với hệ số hằng trên toàn không gian.

Do a_{jk} là hằng, f=F_j=0 nên

– tương tự như chứng minh Bổ đề Weyl cho nghiệm yếu của phương trình Laplace ta có

nếu u là nghiệm yếu thì nó khả vi vô hạn và các đạo hàm riêng D^\alpha u là nghiệm của phương trình đang xét.

Khi đó bằng cách áp dụng bất đẳng thức Caccioppoli nhiều lần ta được

||u||_{H^k(B_{r}(0))}\le C||u||_{L^2(B_1(0))}, 0< r< 1/2,

với hằng số C=C(k, n, \lambda, \Lambda).

Với k> n/2, 0< r< 1/2, ta có phép nhúng H^k(B_{r}(0))\hookrightarrow L^\infty(B_{r}(0)) nên

||u||^2_{L^2(B_{r}(0))}\le Cr^n\sup\limits_{x\in B_{r}(0)}|u(x)|^2 \le Cr^n||u||^2_{H^k(B_{r}(0))} \le C(k, n, \lambda, \Lambda)r^n||u||_{L^2(B_1(0))}.

Bằng cách “rescale” và lấy k=[n/2]+1 ta có

||u||^2_{L^2(B_\rho(0))}\le C(n, \lambda, \Lambda)\left(\dfrac{\rho}{R}\right)^n ||u||^2_{L^2(B_R(0))}

với 0< \rho < R/2.

Chú ý D_ju cũng là nghiệm nên

||\nabla u||^2_{L^2(B_\rho(0))}\le C(n, \lambda, \Lambda)\left(\dfrac{\rho}{R}\right)^n ||\nabla u||^2_{L^2(B_R(0))}.

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Caccioppoli

||\nabla u||^2_{L^2(B_R(0))}\le \dfrac{C}{R^2}||u||^2_{B_{2R}(0)}

nên ta có

||\nabla u||^2_{L^2(B_\rho(0))}\le C(n, \lambda, \Lambda)\dfrac{\rho^n}{R^{n+2}} ||u||^2_{L^2(B_{2R}(0))}\le C(n, \lambda, \Lambda)\dfrac{\rho^n}{R^2}ess\sup\limits_{x\in \mathbb R^n}|u(x)|^2.

Khi đó ta cho R\to\infty ta có \nabla u=0 \;a.e. \; x\in B_\rho(0). Tiếp tục cho \rho\to\infty ta có điều phải chứng minh.

Quay trở lại phương trình elliptic với hệ số biến thiên, bằng việc sử dụng bất đẳng thức Caccioppoli khéo léo ta sẽ chứng minh được rằng

nếu a_{ij}\in C^{k, 1}(\Omega), f\in H^k(\Omega), F_j\in H^{k+1}(\Omega) và nghiệm yếu u\in H^1(\Omega)

thì u\in H^{k+2}_{loc}(\Omega) và ước lượng tiên nghiệm

||u||_{H^{k+2}(\Omega_0)}\le C\left(||u||_{L^2(\Omega)}+||f||_{H^k(\Omega)}+||DF||_{H^k(\Omega)}\right)

với hằng số C=C(n, k, \Omega_0, \lambda, ||a_{ij}||_{C^{k, 1}(\Omega)}), \Omega_0 là tập compact tương đối trong \Omega.

Từ đó ta thu được Bổ đề Weyl cho phương trình elliptic:

Nếu a_{ij}, f, F_j\in C^\infty(\Omega) và nghiệm yếu u\in H^1_{loc}(\Omega) thì u\in C^\infty(\Omega).

Cuối cùng ta chứng minh bất đẳng thức Caccioppoli cho nghiệm yếu của phương trình elliptic với hệ số biến thiên.

Lấy \eta(x)=\rho_\epsilon*\chi_{B_r(x_0)} với \epsilon=(R-\rho)/2, r=(R+\rho)/2 ta có

\eta\in C^\infty(\mathbb R^n; [0, 1]),

\eta(x)=1 khi x\in B_\rho(x_0), \eta(x)=0 khi x\not\in B_R(x_0),

|\nabla \eta(x)|\le \dfrac{C}{R-\rho}.

Khi đó (u-c_0)\eta^2\in H^1_0(\Omega). Mà u là nghiệm yếu của phương trình nên

\int\limits_{\Omega}\sum\limits_{j, k=1}^n a_{jk}(x)D_ju(x)D_k[(u-c_0)(x)\eta^2(x)]dx=\int\limits_{\Omega}f(x)(u-c_0)(x)\eta^2(x)dx+\int\limits_{\Omega}\sum\limits_{j=1}^n F_j(x)D_j[(u-c_0)(x)\eta^2(x)]dx.

Lại có

\int\limits_{\Omega}\sum\limits_{j, k=1}^n a_{jk}(x)D_ju(x)D_k[(u-c_0)(x)\eta^2(x)]dx=\int\limits_{\Omega}\sum\limits_{j, k=1}^n \eta^2(x)a_{jk}(x)D_ju(x)D_k u(x)dx+2\int\limits_{\Omega}(u-c_0)(x)\eta(x)\sum\limits_{j, k=1}^n a_{jk}(x)D_ju(x)D_k\eta(x)]dx,

\int\limits_{\Omega}\sum\limits_{j=1}^n F_j(x)D_j[(u-c_0)(x)\eta^2(x)]dx=\int\limits_{\Omega}\eta^2(x)\sum\limits_{j=1}^n F_j(x)D_j u(x)dx+2\int\limits_{\Omega}\eta(x)\sum\limits_{j=1}^n F_j(x)D_j\eta(x)dx.

Từ tính chất elliptic của (a_{jk})_{1\le j, k\le n}, tính chất của hàm \eta và sử dụng

– bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

\int\limits_D |f(x)g(x)|dx\le \left(\int\limits_D|f(x)|^2dx\right)^{1/2}\left(\int\limits_D|g(x)|^2dx\right)^{1/2},

– bất đẳng thức \epsilon-Cauchy

|ab|\le \epsilon |a|^2 + \dfrac{1}{\epsilon}|b|^2

ta có bất đẳng thức Caccioppoli.

One thought on “Bất đẳng thức Caccioppoli

  1. datuan5pdes

    Gần đây trong bài

    “G-convergence, Dirichlet to Neumann maps and invisibility”, Journal of Functional Analysis, Volume 267, Issue 7, 1 October 2014, Pages 2478–2506,

    các tác giả D. Faraco et. al. có sử dụng bất đẳng thức Caccioppoli cho trường hợp u\in H^1_0(\Omega).

    Xét toán tử

    L^\lambda u= -\nabla_A \cdot(\sigma \nabla_A u)+qu-\lambda u,

    trong đó \nabla_A=\nabla + iA, A\in L^\infty(\Omega; \mathbb R^n), q\in L^\infty(\Omega; \mathbb R), \lambda\in\mathbb C,

    \sigma=(a_{jk})_{1\le j, k\le, n}, a_{jk}\in L^\infty(\Omega)

    thỏa mãn

    \dfrac{1}{K}|\xi|^2\le \sum\limits_{j,k=1}^n a_{jk}(x)\xi_j\xi_k\le K|\xi|^2, \forall \xi\in\mathbb R^n, a.e.\; x\in\Omega,

    ||A||_{L^\infty(\Omega)}\le K, ||q||_{L^\infty(\Omega)}\le K.

    Ký hiệu \Omega_\delta=\{x\in\Omega|\; d(x, \partial\Omega)< \delta\}, \delta< 0.

    Nếu u\in H^1_0(\Omega) là nghiệm yếu của phương trình

    L^\lambda u=f+\sum\limits_{j=1}^n D_jF_j,

    với f, F_j\in L^2(\Omega) thì

    ||\nabla u||^2_{L^2(\Omega_\delta)}\le C\left(\delta^{-2}||u||^2_{L^2(\Omega_{2\delta})}+||f||^2_{L^2(\Omega_{2\delta})}+||F||^2_{L^2(\Omega_{2\delta})}\right).

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s