Bất đẳng thức ngược Holder

Ta bắt đầu quan sát bất đẳng thức Holder dạng đơn giản:

\int\limits_A |f(x)|dx\le \left(\int\limits_A dx\right)^{1/p'}\left(\int\limits_A|f(x)|^pdx\right)^{1/p}

với A\subset \mathbb R^n có độ đo Lebesgue hữu hạn, 1< p< \infty.

Phức tạp hơn một chút

\left(\dfrac{1}{|A|}\int\limits_{A}|f(x)|^qdx\right)^{1/q}\le \left(\dfrac{1}{|A|}\int\limits_A |f(x)|^pdx\right)^{1/p}

với A\subset\mathbb R^n có độ đo Lebesgue |A|< \infty, 1\le q< p< \infty.

Qua trên ta có thể thấy: bất đẳng thức Holder cho thấy:

trung bình p-tích phân, trên miền “hữu hạn”, đồng biến theo p.

Phần tiếp theo bài viết quan tâm đến câu hỏi: liệu ta có điều ngược lại hay không? Trong những trường hợp nào có điều ngược lại?

Để viết được gọn, tôi ký hiệu

M_Q(p, f)=\left(\dfrac{1}{|Q|}\int_Q |f(x)|^p\right)^{1/p},

M(p, f)(x)=\sup\limits_{R> 0}M_{B_R(x)}(p, f),

với f\in L^p_{loc}(\mathbb R^n).

Kết quả đầu tiên về bất đẳng thức ngược Holder có lẽ là do Gehring đưa ra năm 1972:

(G72) Cho Q là hình hộp trong \mathbb R^n, hàm f\in L^q(Q), q> 1, thỏa mãn

M(q, f)(x)\le C M(1, f)(x), \forall x\in Q,

với hằng số C> 1.

Khi đó có các hằng số dương \epsilon, c chỉ phụ thuộc q, C, n sao cho

M_Q(p, f)\le c M_Q(q, f), \forall p\in[q, q+\epsilon).

Chú ý, nếu coi f:\mathbb R^n\to\mathbb R thì f(x)=0 khi x\not\in Q (Nhận xét của Giaquinta-Modica.)

Từ kết quả này Gehring dẫn đến tính p-khả tích của các đạo hàm riêng của hàm K-tựa bảo giác. Cụ thể như sau:

Với mỗi đồng phôi (vào) f: D\to \mathbb R^n, D miền trong \mathbb R^n, ký hiệu:

– độ kéo dãn cực đại

L_f(x)=\limsup\limits_{y\to x}\dfrac{|f(y)-f(x)|}{|y-x|},

– Jacobien mở rộng

J_f(x)=\limsup\limits_{r\to 0_+}\dfrac{|f(B_r(x))|}{|B_r(x)|}.

Đồng phôi (vào) f được gọi là K-tựa bảo giác nếu

(L_f(x))^n\le KJ_f(x).

Do

0\le J_f(x)\le (L_f(x))^n

nên K\ge 1.

Cùng với kết quả (G72) và việc chứng minh được bất đẳng thức ngược Holder sau:

M_Q(n, L_f)\le CM_Q(1, L_f)

với f:D\to \mathbb R^n là hàm K-tựa bảo giác, Q là hình hộp thỏa mãn

diam\; f(Q)< d(f(Q), \partial f(D)),

còn hằng số C chỉ phụ thuộc K, n;

Gehring chỉ ra rằng f\in W^{1, p}_{loc}(D; \mathbb R^n) với p\in [n, n+c), trong đó c là hằng số chỉ phụ thuộc vào K, n.

Với việc quan sát ví dụ

f(x)=|x|^ax, a=K^{1/(1-n)}

Gehring đưa ra giả thuyết c=n/(K^{1/n-1}-1) là tốt nhất.

Năm 1994, Astala đã đưa ra chứng minh cho giả thuyết trên khi n=2. Kết quả này được dùng trong chứng minh cho tính duy nhất trong L^\infty của bài toán Calderon trong mặt phẳng.

Tiếp theo ta đến với một vài dạng mở rộng kết quả (G72) của Gehring:

M1(dạng toàn cục): Cho f, g\in L^p(\mathbb R^n), 1< p< \infty thỏa mãn

M_Q(p, f)\le C M_{2Q}(1, f)+ M_{2Q}(p, g)

với bất kỳ hình hộp Q\subset\mathbb R^n.

Khi đó có các hằng số s> p, c chỉ phụ thuộc p, n, A sao cho

\int\limits_{\mathbb R^n}|f(x)|^sdx\le c\int\limits_{\mathbb R^n}|g(x)|^sdx.

Từ đây, nếu f\in L^p(\mathbb R^n) thỏa mãn bất đẳng thức ngược Holder

M_Q(p, f)\le C M_{2Q}(1, f)

với mọi hình hộp Q\subset \mathbb R^n thì f\equiv 0.

M2(dạng địa phương) Cho \Omega là hình hộp trong \mathbb R^n, 1< p< \inftyf, g\in L^p(\Omega) thỏa mãn

M_Q(p, f)\le CM_{2Q}(1, f)+M_{2Q}(p, g)

với mọi hình hộp Q\subset 2Q\subset \Omega. Khi đó với bất kỳ \sigma\in(0, 1), s\in(p, p+\frac{p-1}{10^{n+p}4^nC^p}) ta có

M_{\sigma \Omega}(s, f)\le \dfrac{100^n}{\sigma^{n/s}(1-\sigma)^{n/p}}(M_{\Omega}(p, f)+M_\Omega(s, g)).

Từ kết quả này ta có thể thu được tính p-khả tích của các đạo hàm riêng của nghiệm của phương trình elliptic

\nabla\cdot(A(x)\nabla u)=0, x\in\Omega,

trong đó A(x)=(A_{ij}(x))_{1\le i, j\le n} là ma trận thỏa mãn

A_{ij}\in L^\infty(\Omega),

\sum\limits_{i, j=1}^n A_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge C|\xi|^2, \forall \xi\in\mathbb R^n, a.e. x\in\Omega.

Nếu nghiệm u\in H^1(\Omega) thì

+ có bất đẳng thức Caccioppoli:

\int\limits_{B_{R/2}(x)}|\nabla u|^2dx\le \dfrac{C}{R^2}\int\limits_{B_R(x)}|u-u_R|^2dx

+ có bất đẳng thức Sobolev-Poincare:

\int\limits_{B_R(x)}|u-u_R|^2dx\le C\left(\int\limits_{B_R(x)}|\nabla u|^qdx\right)^{1/q}, q=2n/(n+2)

với B_R(x)\subset \Omega, u_R(x)=\dfrac{1}{|B_R(x)|}\int\limits_{B_R(x)}u(x)dx,

nên

M_{B_{R/2}(x)}((n+2)/n, |\nabla u|^q)\le CM_{B_R(x)}(1, |\nabla u|^q);

+ từ (M2) có s> 2 để |\nabla u|\in L^s_{loc}(\Omega)

M_{B_{R/2}}(s, \nabla u)\le cM_{B_R}(2, \nabla u)

với bất kỳ B_{R}\subset\Omega.

Kết quả này được sử dụng trong việc tìm phản ví dụ của Alessandrini về tính ổn định của bài toán Calderon. Các bạn có thể xem trong luận văn của Trần Thế Dũng

https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2015/02/luan-van-3.pdf

Bằng cách tương tự ta xét phương trình tựa tuyến tính elliptic

\nabla\cdot A(x, \nabla u)=0, x\in\Omega

với A:\Omega\times \mathbb R^n\to\mathbb R^n là ánh xạ đo được, thỏa mãn các tính chất:

+)(Lipschitz) |A(x, \xi)-A(x, \eta)|\le M(|\xi|+|\eta|)^{p-2}|\xi-\eta|,

+) (elliptic) (A(x, \xi)-A(x, \eta))\cdot(\xi-\eta)\ge m(|\xi|+|\eta|)^{p-2}|\xi-\eta|^2,

+) (thuần nhất dương) A(x, t\xi)=t^{p-1}A(x, \xi),

với hầu hết x\in\Omega, với mọi \xi, \eta\in\mathbb R^n, t\ge 0, còn M, m là các hằng số dương, còn hằng số p\in[2, n).

Ví dụ về A(x, \xi): phương trình p-Laplace có

A(x, \xi)=|\xi|^{p-2}\xi.

Giả sử u\in W^{1,p}_{loc}(\Omega) là nghiệm của phương trình tựa tuyến tính elliptic trên, theo nghĩa

\int\limits_{\Omega}A(x, \nabla u(x))\cdot \nabla \varphi(x)dx=0

với bất kỳ \varphi\in W^{1, p}_0(\Omega).

Khi đó có số s> p sao cho u\in W^{1, s}_{loc}(\Omega). Trong trường hợp p=n, bằng cách dùng Định lý nhúng Sobolev, ta có u\in C^{0, 1-n/s}_{loc}(\Omega).

Cuối cùng ta đến với mở rộng (G72) của Giaquinta-Modica:

M3: Cho \Omega là hình hộp trong \mathbb R^n, 1< p< \inftyf, g\in L^p(\Omega) thỏa mãn

M_{Q_R(x_0)}^p(p, f)\le CM_{Q_{2R}(x_0)}^p(1, f)+\theta M_{Q_{2R}(x_0)}^p(p, f)+M_{Q_{2R}(x_0)}^p(p, g)

với bất kỳ x_0\in\Omega, R< \dfrac{1}{2}\min\{d(x_0, \partial\Omega), R_0\},

còn các hằng số C, \theta, R_0 thỏa mãn C> 1, R_0> 0, 0\le\theta < 1.

Khi đó f\in L^s_{loc}(\Omega) với s\in[p, p+\epsilon), và

M_{Q_R}(s, f)\le c(M_{Q_{2R}}(p, f)+M_{Q_{2R}}(s, g)),

với mọi Q_{2R}\subset\Omega, R< R_0, còn các hằng số dương c, \epsilon chỉ phụ thuộc C, \theta, p, n.

Nhờ kết quả này Giaquinta-Modica dẫn đến tính p-khả tích của các đạo hàm riêng của nghiệm của phương trình tựa tuyến tính elliptic

\nabla\cdot A(x, u, \nabla u)+B(x, u, \nabla u)=0, x\in\Omega

trong đó A:\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n\to\mathbb R^n, B:\Omega\times\mathbb R\times\mathbb R^n\to\mathbb R là các ánh xạ đo được thỏa mãn:

+) (dưới tuyến tính) |A(x, u, \xi)|\le \mu_1(|\xi|+|u|^{r/2}+F),

|B(x, u, \xi)|\le\mu_2(|\xi|^{2(1-1/r)}+|u|^{r-1}+f),

trong đó

r=\begin{cases}\frac{2n}{n-2} \; khi \; n > 2, \\ any\; exponent \; for \; n=2,\end{cases}

F\in L^2(\Omega), f\in L^{r/(r-1)}(\Omega),

+) (elliptic) A(x, u, \xi)\cdot \xi \ge \lambda|\xi|^2-\mu_2|u|^r-g^2

trong đó  g\in L^2(\Omega), \lambda > 0, \mu_1, \mu_2  không âm.

Khi đó nếu

+) F, g\in L^\sigma(\Omega), f\in L^s(\Omega) với \sigma > 2, s> r/(r-1),

+) u\in H^1(\Omega) là nghiệm yếu của phương trình tựa tuyến tính elliptic trên theo nghĩa

\int\limits_{\Omega}\left(A(x, u(x), \nabla u(x))\cdot \nabla \varphi(x) +B(x, u(x), \nabla u(x))\varphi(x)\right)dx=0

với mọi \varphi\in H^1_0(\Omega);

thì có số s> 2 không phụ thuộc u để

+) u\in W^{1, s}_{loc}(\Omega),

+) M_{B_{R/2}}(s, (|u|^r+|\nabla u|^2)^{1/2})\le c(M_{B_R}(2, (|u|^r+|\nabla u|^2)^{1/2})+

+M_{B_R}(s, (g^2+F^2)^{1/2})+RM_{B_R}(\frac{rp}{2(r-1)}, f),

với mọi B_R\subset \Omega, R< R_0, c=c(n, \lambda, \mu_1, \mu_2, s), R_0 phụ thuộc u.

Trong trường hợp A(x, u, \nabla u), B(x, u, \nabla u) thỏa mãn các tính chất:

+) (dưới tuyến tính) |A(x, u, \xi)|\le \mu_1(|\xi|+F),

|B(x, u, \xi)|\le\mu_2(|\xi|^{2-\epsilon}+f),

trong đó

\epsilon\ge 0, F\in L^2(\Omega), f\in L^1(\Omega),

+) (elliptic) A(x, u, \xi)\cdot \xi \ge \lambda|\xi|^2-\mu_1g^2

trong đó g\in L^2(\Omega), \lambda > 0, \mu_1, \mu_2 không âm, có thể phụ thuộc u.

Khi đó nếu

+) F, g\in L^\sigma(\Omega), f\in L^s(\Omega) với \sigma > 2, s > 1,

+) u\in H^1(\Omega)\cap L^\infty(\Omega) là nghiệm yếu của phương trình tựa tuyến tính elliptic;

thì có số s > 2 không phụ thuộc u để

+) u\in W^{1, s}_{loc}(\Omega),

+) M_{B_{R/2}}(s, |\nabla u|)\le c(M_{B_R}(2, |\nabla u|)+M_{B_R}(s, (g^2+F^2+|f|)^{1/2}),

với mọi B_R\subset \Omega, R < R_0, c=c(n, \lambda, \mu_1, \mu_2, s), R_0 phụ thuộc u.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s