Định lý ngược định lý vết

Trong giáo trình “Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev” tôi có trình bày Định lý vết:

Ánh xạ lấy vết

\gamma: S(\mathbb R^n)\to S(\mathbb R^{n-1})

u(x)\mapsto \gamma u=u(x', 0)

có thể thác triển thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ

H^s(\mathbb R^n) vào H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1}) với s> 1/2.

Trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/07/21/dinh-ly-vet/

tôi trình bày kết quả

Ker \gamma\Big|_{H^s(\mathbb R^n_+)}= H^s_0(\mathbb R^n_+).

Như vậy ánh xạ lấy vết không đơn ánh.

Dưới đây tôi sẽ chỉ ra rằng ánh xạ vết là toàn ánh. Hơn nữa nó còn có nghịch đảo phải, nghĩa là

có ánh xạ tuyến tính bị chặn

\eta: H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1})\to H^s(\mathbb R^n)

sao cho

\gamma o \eta=Id\Big|_{H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1})}.

Để xây dựng \eta trên H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1})

– ta xây dựng \eta trên S(\mathbb R^{n-1})

\eta u(x)=\int\limits_{\mathbb R^{n-1}}\hat{u}(\xi')\theta((1+|\xi'|^2)^{1/2}x_n)e^{i2\pi \xi'\cdot x'}d\xi', u\in S(\mathbb R^{n-1}),

trong đó \hat{u}(\xi')=\int\limits_{\mathbb R^{n-1}}e^{-i2\pi \xi'\cdot x'}u(x')dx', còn

\theta\in C^\infty_0(\mathbb R), \theta(t)=1 khi |t|\le 1;

– chỉ ra \eta: S(\mathbb R^{n-1})\to S(\mathbb R^n) là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn:

+) \gamma o\eta u=u, \forall u\in S(\mathbb R^{n-1}),

+) ||\eta u||_{H^s(\mathbb R^n)}\le C||u||_{H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1})}, \forall u\in S(\mathbb R^{n-1}),

– thác triển \eta lên toàn H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1}) nhờ tính trù mật của S(\mathbb R^{n-1}) trong H^{s-1/2}(\mathbb R^{n-1}).

Ngoài Định lý vết trên, ta còn Định lý vết có đạo hàm:

Ánh xạ:

\gamma_j: S(\mathbb R^n)\to S(\mathbb R^{n-1}), j\in \mathbb Z_+,

u(x)\mapsto \gamma_j u=D^j_nu(x', 0)

có thể thác triển thành ánh xạ tuyến tính liên tục từ

H^s(\mathbb R^n) vào H^{s-j-1/2}(\mathbb R^{n-1}) với s> j+1/2.

Ánh xạ này cũng có ngược phải được xây dựng tương tự trên bằng cách thay hàm \theta bởi \theta_j\in C^\infty_0(\mathbb R) thỏa mãn

\theta_j(t)=t^j/j! khi |t|\le 1

và ánh xạ ngược phải của \gamma_j xác định trên S(\mathbb R^{n-1}) bởi

\eta_j u(x)=\int\limits_{\mathbb R^{n-1}}\hat{u}(\xi')\dfrac{\theta_j((1+|\xi'|^2)^{1/2}x_n)}{(1+|\xi'|^2)^{j/2}}e^{i2\pi \xi'\cdot x'}d\xi'.

One thought on “Định lý ngược định lý vết

  1. Pingback: Lấy vết hàm thuộc W^{1, p} – Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s