Xấp xỉ đồng nhất

Như đã biết đơn vị trong không gian hàm suy rộng là hàm Dirac theo nghĩa phép tích chập với hàm Dirac là toán tử đồng nhất. Khi đó xấp xỉ đồng nhất (approximation of the identity) được hiểu là hội tụ về hàm Dirac. Tôi đã viết một số bài về hội tụ về hàm Dirac

https://datuan5pdes.wordpress.com/2009/09/08/h%E1%BB%99i-t%E1%BB%A5-v%E1%BB%81-ham-dirac-ti%E1%BA%BFp/

https://datuan5pdes.wordpress.com/2008/11/04/bai-t%E1%BA%ADp-v%E1%BB%81-s%E1%BB%B1-h%E1%BB%99i-t%E1%BB%A5-d%E1%BA%BFn-ham-dirac/

Dưới đây tôi quan sát hội tụ về hàm Dirac từ cái nhìn của phương trình đạo hàm riêng. Ta bắt đầu từ phương trình truyền nhiệt trên toàn không gian

u_t=u_{xx}, x\in\mathbb R, t> 0,

u(x, 0)=f(x), x\in\mathbb R

có công thức nghiệm Poisson

u(x, t)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int\limits_{\mathbb R}e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}f(y)dy

hay viết lại dưới dạng tích chập

u(x, t)=W_t*f(x)

với nhân Gauss-Weierstrass

W_t(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}.

Câu hỏi: công thức nghiệm Poisson có thực sự thỏa mãn điều kiện ban đầu?

Có thể thấy: nếu thay t=0 vào công thức nghiệm Poisson ta có công thức không có nghĩa! Vậy phải hiểu thỏa mãn điều kiện ban đầu theo nghĩa nào?

Việc hiểu thỏa mãn điều kiện ban đầu theo nghĩa: xấp xỉ đồng nhất hay hội tụ về hàm Dirac! Nghĩa là

W_t có hội tụ về hàm Dirac khi t\to 0_+?

Câu hỏi tiếp: hội tụ theo nghĩa nào?

Cụ thể hơn: W_t hội tụ về hàm Dirac khi t\to 0_+ trong không gian \mathcal D', S', \mathcal E'?

W_t\in S, t> 0 nên với t> 0

W_t: S\to S tuyến tính liên tục.

Tuy nhiên có thể thấy

W_t không là ánh xạ từ \mathcal D vào chính nó,

W_t không là ánh xạ từ \mathcal E vào chính nó.

Lại có

W_t: S' \to \mathcal E tuyến tính liên tục.

Như vậy ta nghĩ đến các cách hội tụ của W_t*f:

– hội tụ trong S,

– hội tụ trong L^p, 1\le p\le \infty,

– hội tụ đều.

Tiếp tục quan sát nhân Gauss-Weierstrass, nếu ký hiệu hàm Gauss

W(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-x^2/4}

ta có:

+) W\in S\subset L^1, \int_{\mathbb R}W(x)dx=1,

+) W_t(x)=\epsilon^{-1}W(x/\epsilon), \epsilon=\sqrt{t}.

Ta đến với định lý đầu tiên về xấp xỉ đồng nhất.

ĐL1. Cho K\in L^1(\mathbb R), \int\limits_{\mathbb R}K(x)dx=1. Đặt K_\epsilon(x)=\epsilon^{-1}K(x/\epsilon). Ta có các kết luận sau:

a) Nếu f\in L^p(\mathbb R), 1\le p< \infty, thì

K_\epsilon*f\to f trong L^p(\mathbb R) khi \epsilon\to 0_+.

b) Nếu f\in L^\infty(\mathbb R), nói chung ta không có

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}||K_\epsilon*f-f||_\infty=0.

Tuy nhiên ta vẫn có

Nếu f\in L^\infty(\mathbb R)

-) \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}K_\epsilon*f(x)=f(x) tại những điểm xf liên tục tại đó,

-) \lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\sup\limits_{x\in K}|K_\epsilon*f(x)-f(x)|=0 với K\subset\mathbb R là tập trên đó f liên tục đều.

c) Với chú ý

D^k(K_\epsilon*f)=K_\epsilon*(D^kf),

nên từ (b) với f\in S ta có

\mathcal E_{-}\lim\limits_{\epsilon\to0_+}K_\epsilon*f=f

hay mạnh hơn

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\sup\limits_{x\in \mathbb R}|D^k(K_\epsilon*f)(x)-D^kf(x)|=0, \forall k\in\mathbb Z_+.

Ta áp dụng ĐL1 cho W_t ta có:

+) W_t*f\to f trong L^p(\mathbb R), 1\le p< \infty, khi t\to 0_+;

+) W_t*f\to f trong L^\infty(\mathbb R)\cap C_U(\mathbb R), khi t\to 0_+ với C_U(\mathbb R) là không gian các hàm liên tục đều trên \mathbb R,

hay

W_t*f\to f đều trên từng compact khi t\to 0_+, với f\in C(\mathbb R)\cap L^\infty(\mathbb R);

+) W_t*f\to f trong \mathcal E(\mathbb R) khi t\to0_+, với f\in S.

Ta còn câu hỏi:

W_t*f\to f trong S(\mathbb R) khi t\to 0_+?

Câu hỏi khó khác:

W_t*f\to f h.k.n khi t\to 0_+ với f\in L^p(\mathbb R)?

Để chứng minh sự hội tụ trong S ta có thể làm theo một trong các cách:

C1: Chú ý biến đổi Fourier của W_t

\mathcal F(W_t)(\xi)=\int\limits_{\mathbb R}e^{-i2\pi x\xi}W_t(x)dx=e^{-4\pi^2 t\xi^2}

và biến đổi Fourier là tự đẳng cấu, liên tục trong S

nên câu hỏi hội tụ trong S chuyển thành

S_{-}\lim\limits_{t\to 0_+}e^{-4\pi^2 t\xi}\hat{f}=\hat{f}, f\in S?

C2: Chú ý ta đã có sự hội tụ của đều trên \mathbb R của

D^k(W_t*f)\to D^kf,

nên câu hỏi hội tụ trong S chỉ còn phải trả lời câu hỏi

x^k(W_t*f)(x)\to x^kf(x) đều trên \mathbb R, f\in S?

Để chứng minh điều này ta chú ý

\lim\limits_{\epsilon\to 0_+}\int\limits_{\mathbb R}|x^k|W_t(x)dx=0.

Bạn đọc thử tự hoàn thiện các cách trên?

Về câu hỏi hội tụ điểm ta đến với các định lý xấp xỉ đồng nhất sau:

ĐL2: Cho K\in L^1(\mathbb R)\cap L^\infty(\mathbb R) thỏa mãn:

+) \int\limits_{\mathbb R}K(x)dx=1,

+) K(x)=o(|x|^{-n}) ở vô cùng, nghĩa là

\lim\limits_{|x|\to\infty}|x|^{n}K(x)=0.

Khi đó, với f\in L^p(\mathbb R), 1\le p< \infty,

\lim\limits_{\epsilon\to0_+}K_\epsilon*f(x)=f(x) tại những điểm xf liên tục tại đó.

ĐL3. Cho K:\mathbb R\to\mathbb R đo được thỏa mãn:

+) \int\limits_{\mathbb R}K(x)dx=1,

+) |K(x)|\le \dfrac{M}{(1+|x|)^{1+\lambda}}, \lambda> 0 nào đó.

Khi đó, với f\in L^p(\mathbb R), 1\le p< \infty,

K_\epsilon*f hội tụ điểm đến f trên tập các điểm Lebesgue của f.

Ở đây, x_0\in\mathbb R được gọi là điểm Lebesgue của f nếu

\lim\limits_{h\to 0_+}\int\limits_{-h}^h|f(x_0+t)-f(x_0)|dt=0.

Theo Lebesgue, nếu f\in L^1_{loc}(\mathbb R) thì tập các điểm không Lebesgue của f có độ đo không.

Khi đó để ý rằng W(x) thỏa mãn giả thiết của ĐL3 với \lambda=1 nên ta có câu trả lời khẳng định cho câu hỏi hội tụ hầu khắp nơi khi 1\le p< \infty.

Ta còn vướng các câu hỏi:

khi f\in L^\infty(\mathbb R) liệu có

+) W_t*f\to f trong L^\infty(\mathbb R)?

+) W_t*f\to f h.k.n?

Ta chuyển sang phương trình Laplace trên nửa không gian

u_{xx}+u_{yy}=0, x\in\mathbb R, y> 0,

u(x, 0)=f(x), x\in\mathbb R

có công thức nghiệm Poisson

u(x, y)=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{\mathbb R}\dfrac{y}{y^2+(x-t)^2}f(t)dt

hay

u(x, y)=(P_y*f)(x)

với nhân Poisson

P_y(x)=\dfrac{y}{\pi(y^2+x^2)}.

Nếu ký hiệu

K(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}, y=\epsilon

ta có

+) P_y(x)=K_\epsilon(x),

+) ||K||_{L^1}=\int\limits_{\mathbb R}K(x)dx=1,

+) |K(x)|\le \dfrac{2}{\pi(1+|x|)^2} (TH \lambda=1)

nên từ các định lý về xấp xỉ đồng nhất ta có:

+) P_y*f\to f trong L^p(\mathbb R), 1\le p<\infty khi y\to 0_+;

và nếu f\in L^p(\mathbb R), 1\le p< \infty

P_y*f\to f h.k.n trên \mathbb R khi y\to 0_+;

+) P_y*f\to f trong L^\infty(\mathbb R)\cap C_U(\mathbb R) khi y\to 0_+

hay

P_y*f\to f đều trên từng compact khi y\to 0_+, với f\in C(\mathbb R)\cap L^\infty(\mathbb R);

+) Nếu f\in S thì

\lim\limits_{y\to 0_+}\sup\limits_{x\in\mathbb R}|D^k(P_y*f)(x)-D^kf(x)|=0, \forall k\in\mathbb Z_+.

Tuy nhiên ta không có:

+) P_y là tự đồng cấu trên S

do \mathcal F(P_y)(\xi)=e^{-2\pi y |\xi|} không khả vi tại 0.

Giờ ta chuyển sang trường hợp tuần hoàn. Ta bắt đầu với phương trình truyền nhiệt trên đường tròn

u_t=u_{xx}, x\in\mathbb T, t> 0

u(x, 0)=f(x), x\in\mathbb T=\mathbb R/2\pi \mathbb Z,

có công thức nghiệm

u(x, t)=(H_t*f)(x)

với nhân

H_t(x)=\dfrac{1}{2\pi}\sum\limits_{n\in\mathbb Z}e^{-n^2t}e^{inx}.

Có thể thấy khi t> 0, dùng Weierstrass:

+) H_t\in C^\infty(\mathbb T),

+) \int\limits_{\mathbb T}H_t(x)dx=1.

Ta sẽ chứng minh họ \{H_t\}_{t> 0} là xấp xỉ đồng nhất theo nghĩa

+) H_t(x)\ge 0, \int\limits_{\mathbb T}H_t(x)dx=1,

+) \lim\limits_{t\to 0_+}\int\limits_{\delta\le |x|\le \pi}H_t(x)dx=0, \forall \delta\in(0, \pi).

Giả sử ta có điều trên ta có:

+) Nếu f\in L^1(\mathbb T) thì

H_t*f(x)\to f(x) khi t\to 0_+ tại những điểm xf liên tục tại đó.

Hơn nữa, trên tập Kf liên tục đều trên đó

\lim\limits_{t\to 0_+}\sup\limits_{x\in K}|H_t*f(x)-f(x)|=0.

+) Nếu f\in C^\infty(\mathbb T) thì

\lim\limits_{t\to 0_+}\sup\limits_{x\in K}|D^k(H_t*f)(x)-D^kf(x)|=0, \forall k\in\mathbb Z_+.

+) Nếu f\in L^p(\mathbb T), 1\le p< \infty thì

\lim\limits_{t\to 0_+}||H_t*f-f||_{L^p}=0.

Để chứng minh tính xấp xỉ đồng nhất của họ \{H_t\}_{t> 0} ta dùng công thức tổng Poisson

H_t(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb Z}W_t(x+2\pi n)

với W_t(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}.

Khi đó

H_t(x)\le \dfrac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}+e^{-C/t}, t\in(0, 1), x\in\mathbb T.

Các bạn thử tự chứng minh?

Ngoài ra ta còn có kết quả về hội tụ điểm như sau:

Nếu f\in L^1(\mathbb T) thì

H_t*f\to f h.k.n trong \mathbb T.

Điều này kết hợp với ví dụ của Kolmogorov về chuỗi Fourier phân kỳ khắp nơi cho thấy

việc cho t=0t\to 0_+ rất khác nhau!

Cuối cùng ta quan tâm đến bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace trong hình tròn

\Delta u=0, 0\le r< 1, \theta\in\mathbb T,

u(1, \theta)=f(\theta), \theta\in\mathbb T

có công thức nghiệm

u(r, \theta)=(P_r*f)(\theta)

với nhân Poisson

P_r(\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\sum\limits_{n\in\mathbb Z}r^{|n|}e^{in\theta}.

Tương tự trên ta cũng có họ \{P_r\}_{0\le r< 1} là xấp xỉ đồng nhất theo hướng r\to 1_-, với chú ý nhân Poisson thỏa mãn

P_r(\theta)\le \min\{\frac{2}{1-r}, \frac{1-r}{2\theta^2}\}, \forall r\in(0, 1), \theta\in\mathbb T.

One thought on “Xấp xỉ đồng nhất

  1. datuan5pdes

    Các xấp xỉ đồng nhất trong bài viết đều có dạng tích chập. Nếu ta xuất phát từ bài toán biên hỗn hợp cho phương trình truyền nhiệt

    u_t=u_{xx}, 0< x< \pi, t> 0,

    u(0, t)=u(\pi, t)=0, t> 0,

    u(x, 0)=f(x), 0\le x\le \pi

    ta có công thức nghiệm

    u(x, t)=\int_0^\pi K(x, y, t)f(y)dy

    với nhân

    K(x, y, t)=\dfrac{2}{\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty e^{-n^2t}\sin(nx)\sin(ny).

    Liệu ta có các kết quả giống trên không?

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s