Biến đổi Riesz – Thế vị Riesz

Biến đổi Riesz (Riesz transform), như trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2015/03/06/bien-doi-riesz-tich-phan-ky-di/

là sự mở rộng biến đổi Hilbert sang nhiều chiều.

Thế vị Riesz xuất hiện ở nhiều nơi, chẳng hạn như trong việc nghiên cứu số chiều Hausdorff trong bài

https://datuan5pdes.wordpress.com/2015/08/12/dong-nhat-thuc-hecke/

Cả biến đổi Riesz và thế vị Riesz được M. Riesz tìm ra như các công cụ để nghiên cứu lý thuyết thế vị (potential theory). Sơ qua về M. Riesz:

– là em trai của F. Riesz, và hai anh em có định lý chung “Brothers Riesz Theorem”,

– là người không có thiện cảm với lý thuyết hàm suy rộng,

– là thầy hướng dẫn của L. Hormander, người có nhiều đóng góp vào việc cho thấy ý nghĩa của lý thuyết hàm suy rộng.

Dưới đây tôi đưa ra một vài mối quan hệ giữa biến đổi Riesz và thế vị Riesz.

Nhắc lại:

– biến đổi Riesz R_j, j=1, \dots, n là toán tử dạng tích chập với hạch

      C_n\dfrac{x_j-y_j}{||x-y||^{n+1}},

 và cũng là toán tử dạng nhân Fourier với nhân

\hat{R_j}(\xi)=-i\dfrac{\xi_j}{||\xi||};

  – thế vị Riesz I_\alpha, 0 < \alpha < n  là toán tử tích phân dạng chập với hạch

C_{\alpha, n} \dfrac{1}{||x||^{n-\alpha}}

và cũng là toán tử dạng nhân Fourier với nhân

\hat{I_\alpha}(\xi)=c_{\alpha, n}\dfrac{1}{||\xi||^\alpha}.

Các C_n, C_{\alpha, n}, c_{\alpha, n} là các hằng số phụ thuộc vào số chiều n\alpha.

 Với f\in S(\mathbb R^n) ta có:

+ Thế vị Riesz I_\alpha(f), 0<\alpha<n, được hiểu như sau:

I_\alpha(f)(x)=C_{\alpha, n}\int_{\mathbb R^n}||x-y||^{\alpha-n}f(y)dy=(-\Delta)^{-\alpha/2} f(x),

với (-\Delta)^{-\alpha/2} là toán tử nhân Fourier với nhân c_{\alpha, n}||\xi||^{-\alpha}.

+ Biến đổi Riesz R(f)=(R_1, \dots, R_n)(f) được hiểu như sau

R(f)(x)=C_n\int_{\mathbb R^n}\dfrac{x-y}{||x-y||^n}f(y)dy=\mathcal F^{-1}\left(-i\dfrac{\xi}{||\xi||}\mathcal Ff\right)(x).

Ta có mối quan hệ đầu tiên giữa biến đổi Riesz và thế vị Riesz:

với f\in S(\mathbb R^n), n\ge 2,

(i) I_1(R\cdot \nabla f)=f,

(ii) R(f)=-\nabla I_1(f).

Tính chất tương tự như (i)

f(x)=\dfrac{1}{\omega_n}\int_{\mathbb R^n}\nabla f(x-y)\cdot \dfrac{y}{||y||^n}dy

dẫn đến

|f(x)|\le I_1(|\nabla f|)(x).

Từ đó, bằng việc sử dụng bất đẳng thức Hardy-Littlewood-Sobolev cho thế vị Riesz

||I_\alpha(f)||_{q}\le A_{p, n}||f||_p

với f\in S(\mathbb R^n), 0<\alpha<n, 1<p<q<\infty, 1/q=1/p-\alpha/n,

ta thu được bất đẳng thức Sobolev, 1<p<q<\infty, 1/q=1/p-1/n,

||f||_q\le C_{p, n}||\nabla f||_p,

hay ta có phép nhúng liên tục

W^{1, p}(\mathbb R^n)\hookrightarrow L^q(\mathbb R^n).

Bất đẳng thức Hardy-Littlewood-Sobolev chính là L_p đánh giá cho thế vị Riesz và chỉ cho trường hợp 1<p<n/\alpha. Để có đánh giá này S. L. Sobolev sử dụng bất đẳng thức sắp xếp lại của F. Riesz (Riesz rearrangement inequality). Trong bài này tôi không đi sâu vào vấn đề này mà quan tâm đến trường hợp p=1.

Stein-Weiss, bằng việc sử dụng không gian Hardy đã đưa ra L_p đánh giá mở rộng cho trường hợp p=1. Cụ thể với 1\le p<n/\alpha, f\in H^p(\mathbb R^n) ta có

||I_\alpha(f)||_q\le A_{p, n}(||f||_p+||R(f)||_p), 1/q=1/p-\alpha/n.

Ở đây, không gian H_p(\mathbb R^n)=\{f\in L^p(\mathbb R^n):\; Rf\in L^p(\mathbb R^n; \mathbb R^n)\}. Khi p>1, từ tính chất bị chặn trong không gian L^p(\mathbb R^n) của biến đổi Riesz ta có H^p(\mathbb R^n)=L^p(\mathbb R^n). Riêng p=1, không gian H^1(\mathbb R^n) thực sự nằm trong L^1(\mathbb R^n). Cũng cần nói thêm, không gian Hardy H^p được đưa ra và đặt tên bởi F. Riesz năm 1923.

 Gagliardo và Nirenberg, một cách độc lập, đưa ra cách tiếp cận khác cho trường hợp p=1. Cụ thể hai ông có đánh giá

||I_1(f)||_q\le A_n||Rf||_1, 1/q=1-1/n

với f\in S(\mathbb R^n) sao cho Rf\in L^1(\mathbb R^n; \mathbb R^n). Chú ý

n/(n-1)>1I_\alpha=I_{\alpha-1}I_1, 1\le\alpha<n,

sử dụng kết quả trên và bất đẳng thức Hardy-Littlewood-Sobolev hai ông đưa ra đánh giá

||I_\alpha(f)||_{q}\le A_{\alpha, n}||Rf||_1, 1/q=1-\alpha/n

với f\in S(\mathbb R^n) sao cho Rf\in L^1(\mathbb R^n; \mathbb R^n).

Gần đây Armin Schikorra, Daniel Spector, and Jean Van Schaftingen đã chứng minh kết quả trên cho trường hợp 0<\alpha<1. Chi tiết các bạn xem bài

http://arxiv.org/pdf/1411.2318v3.pdf

One thought on “Biến đổi Riesz – Thế vị Riesz

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s