Địa phương hóa

Trong phần địa phương hóa trong bài giảng, với \Omega_i, i=1, 2, là các tập mở trong \mathbb R^n thỏa mãn \Omega_1\subset\Omega_2 thì

có thể coi \mathcal D(\Omega_1) như tập con của \mathcal D(\Omega_2),

khi đó ta có phép hạn chế hàm suy rộng f\in \mathcal D'(\Omega_2) thành

f\Big|_{\Omega_1}: \varphi\in \mathcal D(\Omega_1)\mapsto \langle f, \varphi\rangle.

Trong bài giảng tôi có nói phép hạn chế này giúp ta nhìn hàm suy rộng một cách địa phương. Nhờ phân hoạch đơn vị từ cách nhìn địa phương ta thu được cách nhìn toàn cục của mỗi hàm suy rộng. Tuy nhiên phép hạn chế này không là đơn ánh và cũng không toàn ánh. Trước hết ta quan sát tính không đơn ánh của phép hạn chế.Ngoài ra ta thấy tính không đơn ánh dẫn đến tình huống khá lạ trong không gian Sobolev.

Để chỉ ra tính không đơn ánh tôi đưa ra ví dụ mà phép hạn chế trên biến hàm suy rộng không tầm thường thành hàm suy rộng tầm thường. Cụ thể ta xét

\Omega_1=\mathbb R^2_+=\{x\in\mathbb R^2|\; x_2>0\}, \Omega_2=\mathbb R^2,

và hàm Dirac

\delta:\varphi\in \mathcal D(\mathbb R^2)\mapsto \varphi(0, 0).

Hàm Dirac \delta là hàm suy rộng không tầm thường trong \mathbb R^2. Khi hạn chế trên \mathbb R^2_+ thì

\varphi\in \mathcal D(\mathbb R^2_+)\varphi(0, 0)=0

nên \delta\Big|_{\mathbb R^2_+}=0\in\mathcal D'(\mathbb R^2_+).

Ta xem ví dụ này cho thấy điều gì trong không gian Sobolev?

Có thể thấy:

-) \delta\in (W^2(\mathbb R^2_+))'=\{f\in W^{-2}(\mathbb R^2)|\; supp\; f\subset\bar{\mathbb R}^2_+\}\subset \mathcal D'(\mathbb R^2) không là hàm suy rộng trên \mathbb R^2_+,

-) trong khi W^{-2}(\mathbb R^2_+)=(W^2_0(\mathbb R^2_+))'\subset \mathcal D'(\mathbb R^2_+).

Ở trên ta thấy phép hạn chế không là đơn ánh. Tiếp đến ta chỉ ra rằng phép hạn chế không là toàn ánh theo nghĩa:

có hàm suy rộng g\in \mathcal D'(\Omega_1) mà không có hàm suy rộng f\in \mathcal D'(\Omega_2) sao cho

g=f\Big|_{\Omega_1}.

Ta nhìn điều này qua ví dụ

\Omega_1=\mathbb R_+=\{x\in\mathbb R|\; x>0\}, \Omega_2=\mathbb R

g:\varphi\in\mathcal D(\mathbb R_+)\mapsto \sum\limits_{j=1}^n \varphi^{(j)}(1/j).

Không khó để thấy:

g\in \mathcal D'(\mathbb R_+).

Giả sử có f\in \mathcal D'(\mathbb R) sao cho

f\Big|_{\mathbb R_+}=g.

Lấy hàm bướu \rho:\mathbb R\to\mathbb R xác định bởi

\rho(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{x^2-1}}\; khi \; |x|<1, \\ 0 \; otherwise.\end{cases}

Lấy dãy

\varphi_j(x)=\dfrac{1}{j!}(x-1/j)^j\rho(j(j+1)x-(j+1))

+) supp\varphi_j=[1/(j+1), 2/j-1/(j+1)],

+) \varphi_j\in \mathcal D(\mathbb R_+),

+) \varphi_j \to 0 trong \mathcal D(\mathbb R),

+) |\langle f, \varphi_j\rangle|=\rho(0)\not=0

nên ta có điều mâu thuẫn.

 

 

 

 

One thought on “Địa phương hóa

  1. datuan5pdes

    Phép địa phương hóa dùng để làm gì?

    Trong giáo trình tôi chưa đưa ra được nhiều cái nhìn về phép địa phương hóa. Một trong các ý nghĩa của phép địa phương hóa là xây dựng hàm suy rộng trên đa tạp. Nói nôm na, hàm suy rộng trên đa tạp được xác định một cách địa phương là hàm suy rộng trên tập mở trong không gian Euclide. Chi tiết các bạn tham khảo trong Chương VI cuốn

    “The analysis of linear PDEs I” của L. Hormander,

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s