Hội tụ trong hàm suy rộng qua ảnh động

Nhắc lại hàm \rho:\mathbb R\to\mathbb R, trong giáo trình xác định bởi

\rho(x)=\begin{cases}Ce^{\frac{1}{x^2-1}}\; khi \; |x|<1, \\ 0 \; otherwise,\end{cases}

trong đó C=(\int_{-1}^1 e^{\frac{1}{x^2-1}}dx)^{-1}.

Dưới đây ta dùng hàm \rho(x) và hàm Gauss \Psi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2} để xây dựng các dãy hội tụ trong \mathcal D, \mathcal E, S, S', \mathcal E', \mathcal D'.

Ta bắt đầu bằng hình ảnh hội tụ trong \mathcal D:

Hội tụ

Hình ảnh trên mô tả sự hội tụ sau

\mathcal D_-\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\rho=0.

Ta tiếp tục với hình ảnh hội tụ trong S, và không hội tụ trong \mathcal D

Hội tụ

Hình ảnh trên mô tả dãy hàm

\dfrac{1}{n}\Psi(x-n), n tăng.

Tiếp theo là hình ảnh hội tụ trong \mathcal E, và không hội tụ trong S

Hội tụ

Hình ảnh này mô tả dãy hàm

\rho(x-n), n tăng.

Sự hội tụ trong các ví dụ trên đều là hội tụ về 0 của các dãy hàm cơ bản. Dĩ nhiên sự hội tụ đó cũng được hiểu theo nghĩa suy rộng một cách tương ứng như sau:

– Hội tụ trong \mathcal D thì hội tụ trong tất cả các không gian còn lại.

– Hội tụ trong S và hội tụ trong \mathcal E, như trên thì chỉ hội tụ trong \mathcal D', S' chứ không hội tụ trong hội tụ trong \mathcal E'.

Phần tiếp, ta quan sát các dãy hội tụ đến hàm Dirac.

Hội tụ trong \mathcal E' đến hàm Dirac

Hội tụ

Hình ảnh trên mô tả dãy

n\rho(nx), n tăng.

Hội tụ trong S', không hội tụ trong \mathcal E'

Hội tụ

Hình ảnh trên mô tả dãy

n\Psi(nx), n tăng.

Để xây dựng dãy hàm hội tụ trong \mathcal D', không hội tụ trong S' ta xuất phát từ hàm e^x\in \mathcal D' \setminus S'. Tôi biết hàm này khi dạy K53A1T. Trước đó K49A1T cũng có bạn đưa ra ví dụ kiểu này.

Hình ảnh

Hội tụ

mô tả dãy

\dfrac{1}{n}e^x, n tăng.

Ta có thể nhìn hình ảnh khác

Dp_ht_1

mô tả dãy

(1-\theta(x-n))e^x, n tăng. Trong đó \theta(x) là hàm Heaviside.

Kết thúc bài viết bằng hai hình ảnh

Hội tụ

Hội tụ

Hai hình ảnh này mô tả sự hội tụ về đâu? trong đâu?

One thought on “Hội tụ trong hàm suy rộng qua ảnh động

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s