Bất đẳng thức Harnack

Một trong các tính chất quan trọng của hàm điều hòa là bất đẳng thức Harnack. Với mỗi hàm u\in C(\Omega; \mathbb R), \Omega mở trong \mathbb R^n, ta đều có

\inf\limits_{U} u\le \sup\limits_{U}u,

với bất kỳ tập U compact tương đối trong \Omega, nghĩa là

\bar{U}\subset\Omega, \bar{U} compact.

Với hàm điều hòa không âm, A. Harnack chỉ ra có điều ngược lại theo cách sau

\sup\limits_U u \le C\inf\limits_U u,

với hằng số dương C phụ thuộc n, U, \Omega,

trong đó U là tập compact tương đối, liên thông trong \Omega.

Có nhiều cách để tiếp cận bất đẳng thức Harnack. Chẳng hạn như:

+ dùng công thức giá trị trung bình:

u(x)=\dfrac{1}{|B_R|}\int\limits_{B_R(x)}u(y)dy,

+ dùng công thức Poisson:

u(x)=\int\limits_{S_R}K(x, y)u(y)dS_y,

với K(x, y) là nhân Poisson,

+ dùng đánh giá gradient, còn được gọi là bất đẳng thức Harnack dạng vi phân cho hàm điều hòa dương trong B_R

\sup\limits_{B_{R/2}}|\nabla \ln u|\le \dfrac{C}{R}.

Bằng cách sử dụng đánh giá gradient, L. C. Evans đưa ra cách chứng minh đơn giản cho bất đẳng thức Harnack cho nghiệm của phương trình elliptic

\sum\limits_{i, j}a_{ij}(x)\partial^2_{x_ix_j}u=0

với các hệ số a_{ij} là các hàm trơn thỏa mãn tính elliptic đều

\sum\limits_{i, j=1}^n a_{ij}(x)\xi_i\xi_j\ge C|\xi|^2, \xi\in\mathbb R^n, x\in\Omega, trong đó C là hằng số.

Các bạn có tìm chứng minh này ở trang 351 trong cuốn “Partial Differential Equations, 2nd” của L. C. Evans.

Một chứng minh khác cho kết quả này được D. Gilbarg và N. Trudinger đưa ra, trang 41, trong cuốn sách

“Elliptic Partial Differential Equation of second order”, năm 2001.

Trước đó, bất đẳng thức Harnack cho trường hợp tổng quát hơn được J. Moser chứng minh năm 1961. Điều thú vị bất đẳng thức Harnack được J. Moser chứng minh nhờ các đánh giá J. Moser tìm được khi cố gắng đưa ra cách chứng minh khác, có lẽ đơn giản hơn, kết quả về tính Holder của nghiệm của phương trình elliptic dạng div với hệ số đo được của J. Nash và E. De Giorgi đưa ra một cách độc lập năm 1957. Kết quả này cho câu trả lời khẳng định cho bài toán thứ 19 của Hilbert

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_nineteenth_problem

Một số nhà toán học nói vui tiếc rằng Nash và De Giorgi cùng lúc đưa ra chứng minh cho kết quả này, nếu không thì có lẽ đã có giải thưởng Field cho kết quả quan trọng này.

Quay trở lại bất đẳng thức Harnack của J. Moser, J. Moser xét phương trình elliptic dạng div

\nabla \cdot(A(x)\nabla u)=0 trong \Omega,

trong đó A(x)=(a_{ij}(x))_{1\le i, j\le n} gồm các phần tử a_{ij} là các hàm đo được, bị chặn và thỏa mãn điều kiện elliptic đều.

Hàm u\in W^{1, 2}(\Omega) là nghiệm, theo nghĩa suy rộng, nếu

\int\limits_{\Omega} A(x)\nabla u(x)\cdot \nabla \varphi(x)dx=0, \varphi\in C^\infty_0(\Omega).

Khi đó J. Moser đưa ra bất đẳng thức Harnack sau:

Nếu nghiệm u là hàm không âm thì với bất kỳ miền U compact tương đối trong \Omega ta có

esssup_{U}\; u \le C\; essinf_U\; u,

với C là hằng số phụ thuộc n, U, \Omega và tính bị chặn cũng như elliptic của hệ số a_{ij}.

Để chứng minh bất đẳng thức dùng các đánh giá sau:

Với B(x_0, 4R)\subset \Omegau\in W^{1, 2}(\Omega) là nghiệm không âm.

+ Với p> 1

esssup_{B(x_0, R)}\; u\le C_1\left(\dfrac{p}{p-1}\right)^{2/p}\left(\dfrac{1}{|B_{2R}|}\int_{B(x_0, 2R)}u^p(x)dx\right)^{1/p},

trong đó C_1 là hằng số chỉ phụ thuộc n và tính bị chặn cũng như elliptic của hệ số a_{ij}.

+ Khi n\ge 30< p < \dfrac{d}{d-2} thì

\left(\dfrac{1}{|B_{2R}|}\int_{B(x_0, 2R)}u^p(x)dx\right)^{1/p}\le \dfrac{C_2}{(\frac{n}{n-2}-p)^2}essinf_{B(x_0, R)}\; u,

trong đó C_1 là hằng số chỉ phụ thuộc tính bị chặn cũng như elliptic của hệ số a_{ij}.

Khi n=20< p < \infty ta cũng có bất đẳng thức trên nhưng với hằng số

\dfrac{C_2}{(\frac{n}{n-2}-p)^2}

được thay bởi hằng số C_3 hằng số chỉ phụ thuộc n và tính bị chặn cũng như elliptic của hệ số a_{ij}.

Từ các đánh giá trên không khó để dẫn đến bất đẳng thức Harnack. Chi tiết các bạn có thể đọc trong, ở Chương 14,

“Partial Differential Equations, 3rd,” của J. Jost.

Mất khoảng 20 năm sau, N. V. Krylov và M. V. Safonov đưa ra chứng minh cho bất đẳng thức Harnack cho nghiệm của phương trình elliptic dạng

\sum\limits_{i, j=1}^n a_{ij}(x)\partial^2_{x_ix_j}u+ (phần cấp 1) =0

với a_{ij} là các hàm đo được, bị chặn và thỏa mãn điều kiện elliptic đều.

Krylov và Safonov đưa ra các đánh giá tương tự như của Moser:

Với B(x_0, 4R)\subset \Omegau\in W^{2, n}(\Omega) là nghiệm không âm.

+ Với p> 0

esssup_{B(x_0, R)}\; u\le C_1\left(\dfrac{1}{|B_{2R}|}\int_{B(x_0, 2R)}u^p(x)dx\right)^{1/p},

trong đó C_1 là hằng số chỉ phụ thuộc n, p và tính bị chặn cũng như elliptic của hệ số a_{ij}.

+ Tồn tại p> 0 sao cho

\left(\dfrac{1}{|B_{R}|}\int_{B(x_0, R)}u^p(x)dx\right)^{1/p}\le C_2\; essinf_{B(x_0, R)}\; u,

trong đó C_2 là hằng số chỉ phụ thuộc n và tính bị chặn cũng như elliptic của hệ số a_{ij}.

Chứng minh đánh giá trên của Krylov và Safonov có thể tìm thấy ở trang 246 trong sách của Gilbarg-Trudinger.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s