Lấy vết hàm thuộc W^{1, p}

Trong các bài viết trước về vết, cụ thể

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/07/21/dinh-ly-vet/

nói về các định lý vết trong không gian H^s=W^{s, 2},

https://datuan5pdes.wordpress.com/2015/11/25/dinh-ly-nguoc-dinh-ly-vet/

nói về việc lấy ngược của vết.

Bài viết này quan tâm đến câu hỏi:

Lấy vết như nào? Hay thế nào là lấy vết?

Trước khi trả lời câu hỏi này ta xem ý nghĩa của câu hỏi này:

Ta xuất phát từ bài toán biên Dirichlet cho phương trình Laplace

\begin{cases}\Delta u =0 \; trong \; \Omega,\\ u\Big|_{\partial\Omega}=\varphi,\end{cases}

trong đó \Omega\subset\mathbb R^n là miền bị chặn, với biên \partial\Omega trơn.

Trong các giáo trình phương trình đạo hàm riêng cho sinh viên, ta thường tìm nghiệm tốt, còn gọi là cổ điển, nghĩa là

u\in C^2(\Omega)\cap C(\bar{\Omega}).

Khi đó việc lấy vết đơn giản là lấy giá trị trên biên. Cụ thể hơn u\Big|_{\partial\Omega} là giá trị của nghiệm u trên biên \partial\Omega. Tuy nhiên trong một số trường hợp khi tìm được nghiệm rồi việc lấy giá trị trên biên của nghiệm không đơn giản. Chẳng hạn như ta thấy dưới đây:

– Khi \Omega=B_1(0) là hình tròn đơn vị có tâm tại gốc, công thức nghiệm có dạng chuỗi

u(r, \theta)=a_0+\sum\limits_{n=1}^\infty r^n(a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)).

Các hệ số a_n, b_n là các hệ số Fourier của giá trị biên \varphi(\theta), tuy nhiên ngay cả khi \varphi liên tục nói chung ta không có

chuỗi u(1, \theta) hội tụ!

Lúc này việc lấy vết không đơn giản nữa! Giá trị trên biên lúc này được hiểu theo cách lấy giới hạn từ trong ra như sau:

\lim\limits_{r\to 1^-}u(r, \theta)=\varphi(\theta).

Khi \varphi không liên tục việc lấy giá trị biên còn phức tạp hơn, giới hạn trên chỉ xảy ra hầu khắp nơi.

– Khi \Omega là miền có biên gồm các điểm chính quy (regular point) bằng phương pháp Perron ta xây dựng được nghiệm là hàm điều hòa trong \Omega. Việc lấy giá trị biên khi \varphi liên tục cũng cần được hiểu là quá trình lấy giới hạn từ bên trong

\lim\limits_{y\to x\atop y\in\Omega}u(y)=\varphi(x), x\in\partial\Omega.

Với bài toán biên Dirichlet cho phương trình phức tạp hơn một chút, chẳng hạn phương trình Poisson

\Delta u=f trong \Omega

với vế phải cho trước f\in L^p(\Omega), 1\le p < \infty,

thì nghiệm tìm được nói chung không trơn, như trường hợp nghiệm của phương trình Laplace, mà chỉ thuộc không gian Sobolev W^{1, p}(\Omega). Giá trị trên biên hay điều kiện biên Dirichlet được hiểu như nào? Nó cho ta điều gì?

Chẳng hạn khi f\in L^2(\Omega) và điều kiện biên Dirichlet

u\Big|_{\partial\Omega}=0

giúp ta chuyển từ việc giải phương trình đạo hàm riêng sang việc tìm nghiệm trong H^1_0(\Omega) của phương trình

\int\limits_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla \varphi(x)dx=-\int\limits_\Omega f(x)\varphi(x)dx, \varphi\in H^1_0(\Omega).

Tại sao lại chuyển được như vậy?

Quay trở lại việc trả lời câu hỏi: lấy vết như nào? Ta bắt đầu với trường hợp \Omega=(0, 1)\subset\mathbb R^1. Với u\in W^{1, p}(0, 1) lấy vết

u\Big|_{x=0}u\Big|_{x=1}

được hiểu như nào?

Thật may, khi u\in W^{1, p}(0, 1) thì nó có một đại diện \bar{u}\in C([0, 1]), nghĩa là

u=\bar{u} hầu khắp nơi trong (0, 1).

Khi đó việc lấy vết được hiểu như sau

u\Big|_{x=0}=\bar{u}(0)u\Big|_{x=1}=\bar{u}(1).

Đến đây ta lại mắc vào việc xác định đại diện \bar{u} như nào? Có mấy đại diện như vậy?

Từ tính chất đại diện và tính liên tục ta có tính duy nhất của đại diện \bar{u}. Các bạn thử giải thích kỹ thêm chỗ này?

Để xác định đại diện liên tục ta cần đến khái niệm điểm Lebesgue.

Điểm x_0\in(0, 1) được gọi là điểm Lebesgue của u nếu

\lim\limits_{h\to 0_+}\dfrac{1}{2h}\int\limits_{(x_0-h, x_0+h)\cap(0, 1)}|u(y)-u(x_0)|dy=0.

Với x_0\in(0, 1) là điểm Lebesgue của u, đại diện liên tục được xác định bởi

\bar{u}(x)=u(x_0)+\int_{x_0}^x u'(y)dy.

Tuy nhiên, ta gặp câu hỏi có bao nhiêu điểm Lebesgue? Với mỗi điểm Lebesgue có cho ta cùng một đại diện?

Định lý Lebesgue về đạo hàm cho ta câu trả lời: tập các điểm Lebesgue có phần bù có độ đo không. Nói cách khác có rất nhiều điểm Lebesgue.

Về câu hỏi sau, các bạn thử xem có bao nhiêu cách trả lời?

Lại chú ý từ việc có đại diện liên tục ta luôn có giới hạn

\lim\limits_{h\to 0_+}\dfrac{1}{2h}\int\limits_{(x_0-h, x_0+h)\cap(0, 1)}u(y)dy, x\in(0, 1).

Từ đây ta có cách xác định đại diện liên tục bởi

\bar{u}(x)=\lim\limits_{h\to 0_+}\dfrac{1}{2h}\int\limits_{(x-h, x+h)\cap(0, 1)}u(y)dy, x\in(0, 1).

Khi đó việc lấy vết còn được hiểu theo cách sau

u\Big|_{x=0}=\lim\limits_{h\to 0_+}\dfrac{1}{h}\int\limits_{0}^h u(y)dy

u\Big|_{x=1}=\lim\limits_{h\to 0_+}\dfrac{1}{h}\int\limits_{1-h}^1 u(y)dy.

Trong trường hợp u là đại diện liên tục ta có thể hiểu việc lấy vết đơn giản là lấy giới hạn từ trong ra

u\Big|_{x=0}=\lim\limits_{x\to 0_+}u(x)

hay

\lim\limits_{r\to 0_+}\sup\limits_{x\in(0, r)}|u(x)-u\Big|_{x=0}|=0.

Ta cần đến ý sau vì với u\in W^{1, p}(0, 1) thì nói chung u có thể là đại diện không liên tục. Để cụ thể ta xét ví dụ về hàm 0 với đại diện

v(x)=\begin{cases} 1 \; khi \; x\in\mathbb Q,\\ 0 \; khi \; x\not\in\mathbb Q.\end{cases}

Lúc này sup được chuyển thành esssup, nghĩa là

\lim\limits_{r\to 0_+}ess\sup\limits_{x\in(0, r)}|u(x)-u\Big|_{x=0}|=0.

Cách viết này có ý nghĩa nhất định khi u\in W^{1, p}_0(0, 1).

Tuy nhiên sang trường hợp 2-chiều, chẳng hạn \Omega=B_1 là hình tròn đơn vị, tâm tại gốc, việc lấy vết nhờ cách viết trên lại không ổn. Ta sẽ thấy điều này qua ví dụ sau.

Lấy dãy điểm

x^{(j)}=(\sum\limits_{k=1}^j 2^{-k}, 0), j=1, 2, \dots

và hàm \rho:\mathbb R^2\to\mathbb R xác định bởi

\rho(x)=\begin{cases}e^{\frac{1}{|x|^2-1}}\; khi \; |x|< 1,\\ 0 \; otherwise.\end{cases}

Xét dãy hàm

\varphi_j(x)=2^j\rho\left(2^j(x-x^{(j)})\right)\in C^\infty_0(B_{2^{-j}}(x^{(j)}))

có chuỗi

u=\sum\limits_{j=1}^\infty \varphi_j\in W^{1, p}_0(B_1), 1\le p< 2,

còn

\lim\limits_{r\to 0^+}ess\sup\limits_{x\in B_r(1, 0)\cap B_1}|u(x)|=+\infty.

Ví dụ trên mới cho ta thấy việc lấy vết tại (1, 0) chưa ổn, còn các điểm khác trên biên vẫn ổn! Ta tiếp tục quan sát ví dụ sau với việc thêm phép quay góc

\theta_0=\alpha\pi, \alpha\in(0, 1)\setminus\mathbb Q.

Cụ thể, dãy điểm x^{(j)} được thay bởi dãy điểm

y^{(j)}=(\cos(j\theta_0)|x^{(j)}|, \sin(j\theta_0)|x^{(j)}|)

và dãy hàm

\psi_j(x)=2^j\rho(2^{j}(x-y^{(j)})).

Khi đó chuỗi hàm

v=\sum\limits_{j=1}^\infty \psi_j\in W^{1, p}_0(B_1), 1\le p< 2,

\lim\limits_{r\to 0^+}ess\sup\limits_{x\in B_r(x_0)\cap B_1}|u(x)|=+\infty

với bất kỳ x_0\in S_1 đường tròn đơn vị, tâm tại gốc.

Vậy lấy vết trong trường hợp này như nào?

Trả lời: lấy vết theo cách lấy tích phân.

Quay trở lại hai ví dụ trên, tính toán cụ thể ta thấy

\lim\limits_{r\to 0_+}\dfrac{1}{|B_r(1, 0)\cap B_1|}\iint\limits_{B_r(1, 0)\cap B_1}u(x)dx=0,

\lim\limits_{r\to 0_+}\dfrac{1}{|B_r(x_0)\cap B_1|}\iint\limits_{B_r(x_0)\cap B_1}u(x)dx=0, \; x_0\in S_1.

Việc lấy vết theo tích phân như trên còn đúng cho trường hợp tổng quát theo cách sau:

Với \Omega\subset\mathbb R^n là miền bị chặn với biên Lipschitz và u\in BV(\Omega), không gian các hàm có biến phân bị chặn. Khi đó với hầu hết x\in\partial\Omega, theo độ đo (n-1)-chiều, giới hạn

\lim\limits_{r\to 0_+}\dfrac{1}{|B_r(x)\cap \Omega|}\int\limits_{B_r(x)\cap \Omega}u(y)dy

tồn tại và hữu hạn.

Ta lấy vết của u theo cách lấy giới hạn này.

Kết quả này là Theorem 5.7, trang 208, sách

“Measure Theory and Fine Properties of Functions, Revised Edition, 2015” của L. C. Evans và R. F. Gariepy.

Chú ý rằng W^{1, p}(\Omega)\subset W^{1, 1}(\Omega)\subset BV(\Omega), 1\le p\le \infty.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s