Định lý nhúng – Hàm lũy thừa

Trong bài Định lý nhúng ta có các phép nhúng sau

  • khi 2s\le n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [2, 2^*], 2^*=\dfrac{2n}{n-2s},
  • khi 2s>n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/2

trong đó s\in(0, 1], \Omega là miền mở với biên Lipschitz trong \mathbb R^n.

Với \Omegas như trên ta có phép nhúng tổng quát trong L^p, 1\le p<\infty như sau

  • khi ps\le n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [p, p^*], p^*=\dfrac{pn}{n-ps},
  • khi ps>n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/p.

Dưới đây ta sẽ dùng hàm lũy thừa |x|^{-\mu} làm phản ví dụ cho các phép nhúng trên. Cụ thể với ps<n ta tìm được \mu để

|x|^{-\mu}\in W^{s, p}(B_1)\setminus L^q(B_1), q\in(p_0, \infty],

trong đó p_0>p^*.

Như trong bài Lỗ hổng giữa các không gian \ell_p, L^p, khi n=1 ta có

  • |x|^{-\mu}\in L^q(0, 1) với \mu<1/q,
  • |x|^{-\mu}\not\in L^q(0, 1) với \mu\ge 1/q.

Một cách tổng quát ta cũng có

  • |x|^{-\mu}\in L^q(B_1) với \mu<n/q,
  • |x|^{-\mu}\not\in L^q(B_1) với \mu\ge n/q.

Ta sẽ chứng minh \mu cần tìm nằm trong khoảng

(n/q_0, n/p-s).

Với trường hợp s=1, p<n, tôi trình bày như trong cuốn

“Partial Differential Equations, 2nd”, trang 260, của L. C. Evans.

Trước hết tính toán các đạo hàm riêng của u(x)=|x|^{-\mu} tại x\not=0

u_{x_i}(x)=-\dfrac{\mu x_i}{|x|^{\mu+2}}.

Khi đó |\nabla u|=\dfrac{\mu}{|x|^{\mu+1}}\in L^1(B_1)\cap L^p(B_1), \mu\in(0, n/p-1).

Ta còn phải chứng minh

  • u\in L^p(B_1),
  • u_{x_i} là đạo hàm suy rộng của u trong B_1.

Do \mu\in(0, n/p-1)  nên u\in L^p(B_1). Để chứng minh u_{x_i} là đạo hàm suy rộng của u, lấy bất kỳ \phi\in C^\infty_0(B_1) ta sẽ chứng minh

\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}\int\limits_{B_1\setminus B_\epsilon} \left(u_{x_i}(x)\phi(x)+u(x)\phi_{x_i}(x)\right)dx=0.

Thật vậy, dùng tích phân từng phần với chú ý \phi, \phi_{x_i} đều bằng 0 trên \partial B_1 nên

\int\limits_{B_1\setminus B_\epsilon} \left(u_{x_i}(x)\phi(x)+u(x)\phi_{x_i}(x)\right)dx=\int\limits_{\partial B_\epsilon}u(x)\phi(x)\nu_i(x)dS,

với \nu(x)=(\nu_1(x), \dots, \nu_n(x)) là véc-tơ pháp tuyến trong, đơn vị của mặt cầu \partial B_\epsilon.

Chú ý, trên \partial B_\epsilonu(x)=|\epsilon|^{-\mu}, nên

\left|\int\limits_{\partial B_\epsilon}u(x)\phi(x)\nu_i(x)\right|\le ||\phi||_{L^\infty}\epsilon^{n-\mu-1}.

Từ đây không khó có điều phải chứng minh. Khi đó

|x|^{-\mu}\in W^{1, p}(B_1), \mu\in(0, n/p-1).

Không khó để thấy với \mu>n/q_0|x|^{-\mu}\not\in L^q(B_1). Đến đây ta hoàn thành chứng minh cho trường hợp s=1, n>p, q_0>p^*=\dfrac{np}{n-p}.

Dựa vào ví dụ này, L. C. Evans chỉ ra hàm v\in W^{1, p}(B_1)

v\not\in L^\infty(U), \forall U mở trong B_1.

Cụ thể, L. C. Evans lấy hàm

v(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty 2^{-j}|x-x_j|^{-\mu}

với x_j, j=1, 2, \dots là dãy điểm trù mật trong B_1.

Cũng có thể thấy

v\not\in L^q(U), q\in (q_0, \infty], \forall U mở trong B_1.

Thêm vài kỹ thuật nhỏ ta có thể thay B_1 bởi tập mở khác rỗng \Omega bất kỳ.

Câu hỏi: liệu có bao nhiêu hàm v như vậy?

Gần đây, PIER DOMENICO LAMBERTI và GIORGIO STEFANI chỉ ra rằng:

Cho p>nq\in(p^*, \infty]. Có không gian con đóng, vô hạn chiều trong W^{1, p}(\Omega) mà tất cả các phần tử khác 0 đều không đâu thuộc vào L^q. Chi tiết các bạn tham khảo

1605.00233

Ta chuyển sang trường hợp 0<s<1, ps<n, q_0>p^*=\dfrac{np}{n-ps}

\mu\in(n/q_0, n/p-s).

Dễ có

  • |x|^{-\mu}\in L^p(B_1),
  • |x|^{-\mu}\not\in L^q(B_1), q\in(q_0, \infty].

Ta còn phải chứng minh

I=\int\limits_{B_1}dy\int\limits_{B_1}f(x, y)dx<\infty

với

f(x, y)=\dfrac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+ps}}=\dfrac{\left||x|^\mu-|y|^\mu\right|^p}{|x|^{p\mu}|y|^{p\mu}|x-y|^{n+ps}}

 Để chứng minh đánh giá trên ta tách thành ba phần

I=\underbrace{\int_{B_1}dy\int_{D_1}f(x, y) dx}_{I_1}+\underbrace{\int_{B_1}dy\int_{D_2}f(x, y) dx}_{I_2}+\underbrace{\int_{B_1}dy\int_{D_3}f(x, y) dx}_{I_3}

với

cc16

  • D_1=B_1\cap\{|x-y|<|y|/2\},
  • D_2=B_1\cap\{|x|<|y|/4\},
  • D_3=B_1\cap\{|x-y|>|y|/2, |x|>|y|/4\}.

Với (x, y)\in D_1

  • |x|\thicksim |y|,
  • \left||x|^\mu-|y|^\mu\right| \lesssim |y|^{\mu-1}|x-y|

nên

f(x, y)\lesssim |y|^{-p(\mu+1)}|x-y|^{p-n-ps}.

Khi đó

I_1\lesssim \int\limits_{B_1}|y|^{-p(\mu+s)}dy.

Với (x, y)\in D_2

  • |x-y|\thicksim |y|,
  • \left||x|^\mu-|y|^\mu\right| \thicksim |y|^{\mu}

nên

f(x, y)\thicksim |x|^{-p\mu}|y|^{-n-ps}.

Khi đó

I_2\thicksim \int\limits_{B_1}|y|^{-p(\mu+s)}dy.

Với (x, y)\in D_3

\left||x|^\mu-|y|^\mu\right| \lesssim |x|^{\mu}

nên

f(x, y)\lesssim |y|^{-p\mu)}|x-y|^{-n-ps}.

Khi đó

I_3\lesssim \int\limits_{B_1}|y|^{-p(\mu+s)}dy.

Từ trên ta có điều phải chứng minh.

Bằng cách tương tự ta có thể chứng minh kết quả tương tự của PIER DOMENICO LAMBERTI và GIORGIO STEFANI.

2 thoughts on “Định lý nhúng – Hàm lũy thừa

  1. datuan5pdes

    Biến đổi Fourier của |x|^{-\mu}

    \mathcal F(|x|^{-\mu})(\xi)=C_{\mu, n}|\xi|^{-(n-\mu)} khi 0<\mu<n.

    Để chứng minh |x|^{-\mu}\in W^{s, p}(B_1) ta sẽ chứng minh

    |x|^{-\mu}\varphi(x)\in W^{s, p}(\mathbb R^n)

    với \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R^n)\varphi=1 trong B_1.

    Với p=2, ta cần chứng minh

    (1+|\xi|)^{2s}|\mathcal F\left(|x|^{-\mu}\varphi(x)\right)(\xi)|^2\in L(\mathbb R^n).

    Với 0<\mu<n/2-s ta cần chứng minh

    |\mathcal F\left(|x|^{-\mu}\varphi(x)\right)(\xi)|=C_{\mu, n}\left|\int\limits_{\mathbb R^n}|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}\hat{\varphi}(\eta)d\eta\right|\lesssim |\xi|^{\mu} khi |\xi|>1,

    |\mathcal F\left(|x|^{-\mu}\varphi(x)\right)(\xi)|<C khi |\xi|<1.

    Tách
    +) khi |\xi|> 1:

    \int\limits_{\mathbb R^n}g(\xi, \eta)d\eta=\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|< 2|\xi|}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_1(\xi)}+\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|> 2|\xi|}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_2(\xi)},

    +) khi |\xi|< 1:

    \int\limits_{\mathbb R^n}g(\xi, \eta)d\eta=\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|< 2}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_1(\xi)}+\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|> 2}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_2(\xi)}.

    với g(\xi, \eta)=|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}|\hat{\varphi}(\xi)|.

    Chú ý \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R^n) nên

    +) \sup\limits_{\xi\in\mathbb R^n}|\hat{\varphi}(\xi)|\le C< \infty,

    +) |\hat{\varphi}(\xi)|\le C|\xi|^{-\mu-1}.

    Do đó, khi |\xi|< 1

    I_1(\xi)\le C\left|\int\limits_{|\xi-\eta|<2}|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}d\eta\right|< \infty,

    và khi |\xi| > 1

    I_1(\xi)\lesssim \int\limits_{|\xi-\eta|<2|\xi|}|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}d\eta\thicksim |\xi|^\mu.

    Ngoài ra khi |\xi-\eta| > 2|\xi|

    \dfrac{3}{2}|\xi-\eta|>|\eta||\eta|> |\xi|.

    Do đó, khi |\xi|> 1

    I_2(\xi)\lesssim \int_{|\eta|> 1}|\eta|^{-(n+1)}d\eta < \infty.

    Còn khi |\xi| < 1

    I_2(\xi) \lesssim \int_{|\xi-\eta|>2}|\xi-\eta|^{-n-1}d\eta< \infty.

    1. datuan5pdes

      Chứng minh trên còn lỗ hổng: đánh giá

      |\mathcal F(|x|^{-\mu}\varphi(x))|(\xi)\lesssim |\xi|^\mu khi |\xi|\ge 1

      chưa đủ!

      Ta cần đánh giá mạnh hơn

      |\mathcal F(|x|^{-\mu}\varphi(x))|(\xi)\lesssim |\xi|^{\mu-n} khi |\xi|\ge 1.

      Để dẫn đến đánh giá này ta tách tích phân như sau:

      \int_{\mathbb R^n}g(\xi, \eta)d\eta=\underbrace{\int_{|\xi-\eta|\le |\xi|/2} g(\xi, \eta)d\eta}_{I_1}+\underbrace{\int_{|\xi-\eta|\ge |\xi|/2}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_2}.

      Khi |\xi-\eta|\le |\xi|/2|\eta|\ge |\xi|/2:

      sobolev

      Do đó |\hat{\varphi}(\eta)|\lesssim |\eta|^{-N} \lesssim |\xi|^{-N}

      I_1 \lesssim \int_{|\xi-\eta|\le |\xi|/2}|\xi-\eta|^{\mu-n}|\xi|^{-N}d\eta\lesssim |\xi|^{-N+\mu}.

      Khi |\xi-\eta|\ge |\xi|/2|\xi-\eta|^{\mu-n}\lesssim |\xi|^{\mu-n}.Do đó

      I_2 \lesssim \int_{|\xi-\eta|\ge |\xi|/2}|\xi|^{\mu-n}|\hat{\varphi}(\eta)|d\eta \lesssim |\xi|^{\mu-n}.

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s