Định lý nhúng – Hàm lũy thừa

Trong bài Định lý nhúng ta có các phép nhúng sau

  • khi 2s\le n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [2, 2^*], 2^*=\dfrac{2n}{n-2s},
  • khi 2s>n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/2

trong đó s\in(0, 1], \Omega là miền mở với biên Lipschitz trong \mathbb R^n.

Với \Omegas như trên ta có phép nhúng tổng quát trong L^p, 1\le p<\infty như sau

  • khi ps\le n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [p, p^*], p^*=\dfrac{pn}{n-ps},
  • khi ps>n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/p.

Dưới đây ta sẽ dùng hàm lũy thừa |x|^{-\mu} làm phản ví dụ cho các phép nhúng trên. Cụ thể với ps<n ta tìm được \mu để

|x|^{-\mu}\in W^{s, p}(B_1)\setminus L^q(B_1), q\in(p_0, \infty],

trong đó p_0>p^*.

Như trong bài Lỗ hổng giữa các không gian \ell_p, L^p, khi n=1 ta có

  • |x|^{-\mu}\in L^q(0, 1) với \mu<1/q,
  • |x|^{-\mu}\not\in L^q(0, 1) với \mu\ge 1/q.

Một cách tổng quát ta cũng có

  • |x|^{-\mu}\in L^q(B_1) với \mu<n/q,
  • |x|^{-\mu}\not\in L^q(B_1) với \mu\ge n/q.

Ta sẽ chứng minh \mu cần tìm nằm trong khoảng

(n/q_0, n/p-s).

Với trường hợp s=1, p<n, tôi trình bày như trong cuốn

“Partial Differential Equations, 2nd”, trang 260, của L. C. Evans.

Trước hết tính toán các đạo hàm riêng của u(x)=|x|^{-\mu} tại x\not=0

u_{x_i}(x)=-\dfrac{\mu x_i}{|x|^{\mu+2}}.

Khi đó |\nabla u|=\dfrac{\mu}{|x|^{\mu+1}}\in L^1(B_1)\cap L^p(B_1), \mu\in(0, n/p-1).

Ta còn phải chứng minh

  • u\in L^p(B_1),
  • u_{x_i} là đạo hàm suy rộng của u trong B_1.

Do \mu\in(0, n/p-1)  nên u\in L^p(B_1). Để chứng minh u_{x_i} là đạo hàm suy rộng của u, lấy bất kỳ \phi\in C^\infty_0(B_1) ta sẽ chứng minh

\lim\limits_{\epsilon\to 0^+}\int\limits_{B_1\setminus B_\epsilon} \left(u_{x_i}(x)\phi(x)+u(x)\phi_{x_i}(x)\right)dx=0.

Thật vậy, dùng tích phân từng phần với chú ý \phi, \phi_{x_i} đều bằng 0 trên \partial B_1 nên

\int\limits_{B_1\setminus B_\epsilon} \left(u_{x_i}(x)\phi(x)+u(x)\phi_{x_i}(x)\right)dx=\int\limits_{\partial B_\epsilon}u(x)\phi(x)\nu_i(x)dS,

với \nu(x)=(\nu_1(x), \dots, \nu_n(x)) là véc-tơ pháp tuyến trong, đơn vị của mặt cầu \partial B_\epsilon.

Chú ý, trên \partial B_\epsilonu(x)=|\epsilon|^{-\mu}, nên

\left|\int\limits_{\partial B_\epsilon}u(x)\phi(x)\nu_i(x)\right|\le ||\phi||_{L^\infty}\epsilon^{n-\mu-1}.

Từ đây không khó có điều phải chứng minh. Khi đó

|x|^{-\mu}\in W^{1, p}(B_1), \mu\in(0, n/p-1).

Không khó để thấy với \mu>n/q_0|x|^{-\mu}\not\in L^q(B_1). Đến đây ta hoàn thành chứng minh cho trường hợp s=1, n>p, q_0>p^*=\dfrac{np}{n-p}.

Dựa vào ví dụ này, L. C. Evans chỉ ra hàm v\in W^{1, p}(B_1)

v\not\in L^\infty(U), \forall U mở trong B_1.

Cụ thể, L. C. Evans lấy hàm

v(x)=\sum\limits_{j=1}^\infty 2^{-j}|x-x_j|^{-\mu}

với x_j, j=1, 2, \dots là dãy điểm trù mật trong B_1.

Cũng có thể thấy

v\not\in L^q(U), q\in (q_0, \infty], \forall U mở trong B_1.

Thêm vài kỹ thuật nhỏ ta có thể thay B_1 bởi tập mở khác rỗng \Omega bất kỳ.

Câu hỏi: liệu có bao nhiêu hàm v như vậy?

Gần đây, PIER DOMENICO LAMBERTI và GIORGIO STEFANI chỉ ra rằng:

Cho p>nq\in(p^*, \infty]. Có không gian con đóng, vô hạn chiều trong W^{1, p}(\Omega) mà tất cả các phần tử khác 0 đều không đâu thuộc vào L^q. Chi tiết các bạn tham khảo

1605.00233

Ta chuyển sang trường hợp 0<s<1, ps<n, q_0>p^*=\dfrac{np}{n-ps}

\mu\in(n/q_0, n/p-s).

Dễ có

  • |x|^{-\mu}\in L^p(B_1),
  • |x|^{-\mu}\not\in L^q(B_1), q\in(q_0, \infty].

Ta còn phải chứng minh

I=\int\limits_{B_1}dy\int\limits_{B_1}f(x, y)dx<\infty

với

f(x, y)=\dfrac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+ps}}=\dfrac{\left||x|^\mu-|y|^\mu\right|^p}{|x|^{p\mu}|y|^{p\mu}|x-y|^{n+ps}}

 Để chứng minh đánh giá trên ta tách thành ba phần

I=\underbrace{\int_{B_1}dy\int_{D_1}f(x, y) dx}_{I_1}+\underbrace{\int_{B_1}dy\int_{D_2}f(x, y) dx}_{I_2}+\underbrace{\int_{B_1}dy\int_{D_3}f(x, y) dx}_{I_3}

với

cc16

  • D_1=B_1\cap\{|x-y|<|y|/2\},
  • D_2=B_1\cap\{|x|<|y|/4\},
  • D_3=B_1\cap\{|x-y|>|y|/2, |x|>|y|/4\}.

Với (x, y)\in D_1

  • |x|\thicksim |y|,
  • \left||x|^\mu-|y|^\mu\right| \lesssim |y|^{\mu-1}|x-y|

nên

f(x, y)\lesssim |y|^{-p(\mu+1)}|x-y|^{p-n-ps}.

Khi đó

I_1\lesssim \int\limits_{B_1}|y|^{-p(\mu+s)}dy.

Với (x, y)\in D_2

  • |x-y|\thicksim |y|,
  • \left||x|^\mu-|y|^\mu\right| \thicksim |y|^{\mu}

nên

f(x, y)\thicksim |x|^{-p\mu}|y|^{-n-ps}.

Khi đó

I_2\thicksim \int\limits_{B_1}|y|^{-p(\mu+s)}dy.

Với (x, y)\in D_3

\left||x|^\mu-|y|^\mu\right| \lesssim |x|^{\mu}

nên

f(x, y)\lesssim |y|^{-p\mu)}|x-y|^{-n-ps}.

Khi đó

I_3\lesssim \int\limits_{B_1}|y|^{-p(\mu+s)}dy.

Từ trên ta có điều phải chứng minh.

Bằng cách tương tự ta có thể chứng minh kết quả tương tự của PIER DOMENICO LAMBERTI và GIORGIO STEFANI.

One thought on “Định lý nhúng – Hàm lũy thừa

  1. datuan5pdes

    Biến đổi Fourier của |x|^{-\mu}

    \mathcal F(|x|^{-\mu})(\xi)=C_{\mu, n}|\xi|^{-(n-\mu)} khi 0<\mu<n.

    Để chứng minh |x|^{-\mu}\in W^{s, p}(B_1) ta sẽ chứng minh

    |x|^{-\mu}\varphi(x)\in W^{s, p}(\mathbb R^n)

    với \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R^n)\varphi=1 trong B_1.

    Với p=2, ta cần chứng minh

    (1+|\xi|)^{2s}|\mathcal F\left(|x|^{-\mu}\varphi(x)\right)(\xi)|^2\in L(\mathbb R^n).

    Với 0<\mu<n/2-s ta cần chứng minh

    |\mathcal F\left(|x|^{-\mu}\varphi(x)\right)(\xi)|=C_{\mu, n}\left|\int\limits_{\mathbb R^n}|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}\hat{\varphi}(\eta)d\eta\right|\lesssim |\xi|^{\alpha} khi |\xi|>1,

    |\mathcal F\left(|x|^{-\mu}\varphi(x)\right)(\xi)|<C khi |\xi|<1.

    Tách
    +) khi |\xi|> 1:

    \int\limits_{\mathbb R^n}g(\xi, \eta)d\eta=\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|< 2|\xi|}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_1(\xi)}+\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|> 2|\xi|}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_2(\xi)},

    +) khi |\xi|< 1:

    \int\limits_{\mathbb R^n}g(\xi, \eta)d\eta=\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|< 2}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_1(\xi)}+\underbrace{\int\limits_{|\xi-\eta|> 2}g(\xi, \eta)d\eta}_{I_2(\xi)}.

    với g(\xi, \eta)=|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}|\hat{\varphi}(\xi)|.

    Chú ý \varphi\in C^\infty_0(\mathbb R^n) nên

    +) \sup\limits_{\xi\in\mathbb R^n}|\hat{\varphi}(\xi)|\le C< \infty,

    +) |\hat{\varphi}(\xi)|\le C|\xi|^{-\mu-1}.

    Do đó, khi |\xi|< 1

    I_1(\xi)\le C\left|\int\limits_{|\xi-\eta|<2}|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}d\eta\right|< \infty,

    và khi |\xi| > 1

    I_1(\xi)\lesssim \int\limits_{|\xi-\eta|<2\eta}|\xi-\eta|^{-(n-\mu)}d\eta\thicksim |\xi|^\mu.

    Ngoài ra khi |\xi-\eta| > 2|\xi|

    \dfrac{3}{2}|\xi-\eta|>|\eta||\eta|> |\xi|.

    Do đó, khi |\xi|> 1

    I_2(\xi)\lesssim \int_{|\eta|> 1}|\eta|^{-(n+1)}d\eta < \infty.

    Còn khi |\xi| < 1

    I_2(\xi) \lesssim \int_{|\xi-\eta|>2}|\xi-\eta|^{-n-1}d\eta< \infty.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s