33 thoughts on “Trao đổi bài giảng GTĐH lớp K58TN

  1. datuan5pdes

    Về độ đo Borel và độ đo Borel phức, Định lý Fubini-Tonelli, Định lý đổi biến các bạn tham khảo cuốn

    “Real Analysis: Modern techniques and their applications”, G. Folland,

    hay

    “Real and Complex Analysis”, W. Rudin.

    Về giải tích điều hòa trừu tượng, liên quan đến nhóm tô-pô, độ đo Haar, các bạn tham khảo cuốn

    “A course in abstract Harmonic Analysis”, G. Folland,

    hay

    “Fourier Analysis on Groups”,W. Rudin.

  2. datuan5pdes

    Tính bất biến chuẩn ||\cdot||_{L^p} của phép dịch chuyển chính là tích phân của hàm tuần hoàn trên mỗi chu kỳ như nhau. Có được tính bất biến này nhờ:

    + tính tuần hoàn của hàm,

    + tính bất biến với phép dịch chuyển của độ đo Lebesgue (đặc trưng của độ đo Haar).

    Ta quan sát điều này qua hình ảnh:

    dich chuyen

    \int_{-1}^2f_1(x)dx=\int_{-1}^0 f(x-1)dx+\int_0^2 f(x-1)dx.

    Do độ đo Lebesgue bất biến với phép dịch chuyển nên

    \int_0^2 f(x-1)dx=\int_{-1}^1 f(x)dx.

    Do f tuần hoàn nên

    \int_{-1}^0f(x-1)dx=\int_{-1}^0 f(x+2)dx.

    Lại tiếp tục dùng tính bất biến của độ đo ta sẽ dẫn đến điều phải chứng minh.

  3. datuan5pdes

    Hôm nay 12/09/2016 tôi có nhờ một số bạn lên làm bài tập. Có thể thấy công việc lại là tính tích phân xác định.

    Ngoài ra trong khi nói tiếp về lý thuyết có một vài bài tập sau:

    1. Cho B là không gian Banach trên trường phức, \varphi:[0, 2\pi]\to B là hàm liên tục. Chứng minh rằng dãy

    S_n=\frac{2\pi}{n}\sum_{j=1}^n\varphi(j2\pi/n), n=1, 2, \dots,

    là dãy Cauchy trong B.

    2. Cho B là không gian Banach thuần nhất, f\in B, \varphi\in C(\mathbb T). Chứng minh ánh xạ

    t\mapsto \varphi(t)f_t, f\in B,

    là ánh xạ liên tục từ \mathbb T vào B.

    Trong trường hợp B=C(\mathbb T) hãy chứng minh dãy hàm

    S_n=\frac{2\pi}{n}\sum_{j=1}^n\varphi(j2\pi/n)f_{j2\pi/n}, n=1, 2, \dots,

    hội tụ đều đến tích phân Riemann

    \int \varphi(y)f(x-y)dy

    trên \mathbb T.

    3. Cho dãy số thực hội tụ \{a_n\}_{n\in\mathbb N}. Chứng minh dãy trung bình sau

    s_n=\dfrac{a_1+\cdots +a_n}{n}, n=1, 2, \dots,

    cũng hội tụ. Hơn nữa hai dãy này có cùng giới hạn.

    Ngoài ra các bạn nên làm các bài tập cuối mỗi mục trong sách của Katznelson.

  4. datuan5pdes

    Về thuật ngữ “nhân khả tổng” Katznelson dùng “summability kernels”. Trong

    “Fourier Analysis: an introduction”, E. M. Stein, R. Shakharchi,

    lại dùng “good kernels”,

    còn trong

    “Introduction to Fourier Analysis and Wavelets”, M. A. Pinsky,

    lại dùng “approximate identity”.

    Trên lớp tôi có đưa ví dụ:

    + nhân Dirichlet D_n không khả tổng,

    + nhân Fejer K_n khả tổng.

    Ngoài nhân Poisson

    P_r(x)=1+2\sum_{j=1}^\infty r^j\cos(jx)

    cũng khả tổng.

    Một số nhân khả tổng khác xây dựng từ nhân Fejer:

    + nhân Valle de Poussin V_n=K_{2n+1}-K_n,

    + nhân Jackson J_n=||K_n||_{L^2}^{-2}K_n^2.

    Ngoài ra trong bài giảng tôi còn nói: đồng cấu nhóm liên tục

    \varphi: \mathbb R\to \mathbb C^*

    là biểu diễn 1-chiều phức của nhóm cộng \mathbb R.

    Chú ý với nhóm hữu hạn ta gắn tô-pô rời rạc thì đồng cấu nhóm đương nhiên liên tục. Nhóm không hữu hạn như nhóm các số nguyên \mathbb Z cũng vậy.

  5. datuan5pdes

    Bài tập theo chủ đề:

    – bạn P. M. Hoàng chọn: bài về việc đánh giá tốc độ hội tụ theo chuẩn, cụ thể các bài 1, 2, 5 trong section 3, chapter 1 trong sách của Katznelson;

    – bạn T. M. Tâm chọn: phổ của toán tử unitary, liên quan đến section 7, chapter 1 trong sách Katznelson;

    – bạn N. T. Trung chọn: định lý biểu diễn Riesz, đọc trong Rudin hoặc Folland;

    – bạn L. Q. Tuấn chọn: bài về hàm đặc trưng, cụ thể các bài 7-16 trong section 1, chapter 1trong sách Katznelson.

    1. datuan5pdes

      Hiện tượng Gibb của hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ 2\pi, cho bởi

      J(x)=\dfrac{\pi-x}{2\pi}, 0<x\le\pi

      nhìn qua hình

      Gibb

      Một trong những điểm chú ý của hiện tượng Gibb nhìn được từ hình vẽ:

      – bước nhảy của hàm J tại 0 bằng 1,

      – bước nhảy của chuỗi Fourier tại 0 là Si(\pi) gần bằng 1.179.

      Vẽ hình này nhờ Maple như sau:

      Gibb

  6. datuan5pdes

    Một bạn có hỏi: hàm liên tục thì có biến phân bị chặn không?

    Phản ví dụ như sau:

    f(t)=\begin{cases}\sqrt{t}\sin(\pi^2/t)\; khi \; t\in(0, \pi],\\ 0 \; khi \; t\in(-\pi, 0]. \end{cases}

    Hàm này liên tục nhưng dao động mạnh tại gốc:

    lien tuc - bien phan khong bi chan

    Đây cũng là so sánh dấu hiệu Dini và dấu hiệu Jordan về hội tụ điểm của tổng Dirichlet. Chi tiết các bạn xem trong tiểu luận của T.Q.Phong, trang 29-30:

    Tiểu luận TQPhong

  7. datuan5pdes

    Ta có phép nhúng

    C^1([0, \pi])\subset AC([0, \pi])\subset Lip([0, \pi])\subset BV([0, \pi])

    trong đó AC([0, \pi]) là không gian các hàm liên tục tuyệt đối, Lip([0, \pi]) không gian các hàm Lipschitz.

    Chú ý rằng không gian các hàm Holder C^\alpha([0, \pi]), 0<  \alpha < 1, không nằm trong BV([0, \pi]). Tuy nhiên theo dấu hiệu Dini chuỗi Fourier của hàm Holder hội tụ về đúng hàm đó.

    Cũng cần chú ý thêm: hàm khả vi chưa chắc có biến phân bị chặn, chẳng hạn hàm f:[-\pi, \pi]\to\mathbb R

    f(x)=\begin{cases}x^2\sin(\pi^3/x^2)\; khi \; x\not=0,\\ 0\; khi \; x=0.\end{cases}

  8. datuan5pdes

    Khi bạn Trung trình bày về các định lý Riesz, tôi có hỏi về tính Hausdorff. Các bạn có thể tham khảo thêm về các tiên đề tách (separation axiom)

    https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom

    Bổ đề Urysohn liên quan trực tiếp đến tính chuẩn tắc của không gian tô-pô:

    https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn%27s_lemma

    Chú ý không gian Hausdorff compact địa phương có thể không chuẩn tắc. Chẳng hạn

    http://math.stackexchange.com/questions/235729/locally-compact-hausdorff-space-that-is-not-normal

  9. datuan5pdes

    Về phổ liên tục, phổ rời rạc của toán tử unitary sinh bởi phép biến đổi bảo toàn độ đo các bạn tham khảo trang 48 và 68 trong cuốn

    “An Introduction to Ergodic Theory”, Peter Walters.

  10. datuan5pdes

    Hôm nay tôi chuyển sang phần tích phân Fourier trên đường thẳng. Một trong các điểm khác cơ bản so với chuỗi Fourier: đường thẳng không compact. Điều này dẫn đến việc định nghĩa biến đổi Fourier trong L^2(\mathbb R) gặp đôi chút khó khăn. Tôi trình bày ba cách tiếp cận:

    C1: sử dụng việc xấp xỉ bởi hàm giảm nhanh;

    C2: sử dụng việc xấp xỉ bởi các hàm đơn giản;

    C3: sử dụng hàm Hermite.

    Về cơ bản tính chất của biến đổi Fourier và chuỗi Fourier có nhiều điểm tương đồng. Trong một vài chứng minh tôi có sử dụng kết quả của chuỗi Fourier để chứng minh cho biến đổi Fourier.

  11. datuan5pdes

    Bài tập tiếp:

    – bạn Trung: tìm hiểu độ đo Haar,

    – bạn Tâm: tìm hiểu về Định lý Bochner về biến đổi Fourier của độ đo Borel,

    – bạn Tuấn: tìm hiểu hàm đặc trưng trên trường p-adic.

    Tuần tới, hai bạn Tuấn, Hoàng chuẩn bị trình bày.

    Tôi xem bài nộp của Trung, Tâm thấy: các bạn chưa chi tiết thêm ý hiểu của mình, đôi khi còn bỏ những chi tiết quan trọng. Tuần sau tôi sẽ trả lại và hy vọng các bạn sửa lại bài viết cho hợp lý hơn.

  12. datuan5pdes

    Khi chứng minh bất đẳng thức, khá gần bất đẳng thức Heisenberg, tôi có sử dụng:

    nếu f\in L^2(\mathbb R)\xi\hat{f}(\xi)\in L^2(\mathbb R)

    thì f liên tục tuyệt đối, khả vi hầu khắp nơi và f'\in L^2(\mathbb R)

    \mathcal F(f')(\xi)=2\pi i\xi \hat{f}(\xi).

    Tuy nhiên, chú ý f'\in L^2(\mathbb R) và không biết có hay không

    f'\in L^1(\mathbb R).

    Khi đó tôi mắc phải:

    tại sao \lim_{|x|\to\infty}f(x)=0?

  13. datuan5pdes

    Hôm nay hai bạn Tuấn và Hoàng đã trình bày bài tập lần 1.

    Bài tập lần 2:

    – Bạn Trung: tìm hiểu việc xây dựng độ đo Haar trên nhóm compact địa phương, đặc biệt là các nhóm cụ thể nhóm nhân \mathbb R\setminus\{0\}, \mathbb C\setminus\{0\}, GL(n, \mathbb R) và nhóm \mathbb Q_p. Bạn tham khảo mục 2.2 trong cuốn “A course in abstract harmonic analysis” của G. Folland.

    – Bạn Tâm: tìm hiểu về biến đổi Fourier của độ đo Borel. Bạn tham khảo mục VI. 2 trong sách “An introduction to harmonic analysis” của Y. Katznelson.

    – Bạn Tuấn: tìm hiểu về hàm đặc trưng của nhóm \mathbb Q_p.Bạn tham khảo mục 4.1 trong cuốn “A course in abstract harmonic analysis” của G. Folland.

    – Bạn Hoàng: tìm hiểu về xấp xỉ bởi đa thức lượng giác. Bạn tham khảo mục I.8 trong sách “An introduction to harmonic analysis” của Y. Katznelson.

  14. datuan5pdes

    Bài tập lần 1 của bạn Tuấn:

    – Bài 11 về dạng mũ của đồng cấu nhóm liên tục: đã làm chưa đúng trên lớp nhưng sửa lại vẫn không đúng. Ý đầu của bài là tập ảnh nằm trên đường tròn bạn làm đúng. Ý sau ngoài dạng \phi(t)=e^{it} còn có các dạng

    \phi(t)=e^{int} với n\in\mathbb Z.

    Để có điều này ta xét nhóm con hạt nhân \phi^{-1}(\{1\}).

    – Bài 13, 15 chưa làm. Bài 13 sử dụng Định lý Steinhauss. Bạn tham khảo

    Steinhauss

    Bài 15 xét nhóm

    \{0\}\cup\{t:\; |\phi(t)|\not=1\}.

  15. datuan5pdes

    Hôm nay khi trình bày công thức tổng Poisson tôi có nói về hàm zeta và sơ qua về việc dùng công thức Poisson dẫn đến phương trình hàm của hàm zeta. Tiếp đó nói về tập không điểm của hàm zeta không giao với đường Re \;z=1. Đây là điểm chốt trong chứng minh của Hadamard và de la Valee-Poussin cho định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem). Nếu có thời gian tôi trình bày cách dùng kết quả trên về không điểm hàm zeta và lý thuyết Tauberian để chứng minh định lý số nguyên tố này. Lý thuyết Tauberian dẫn đến niềm tin của Hardy về chứng minh đơn giản cho định lý số nguyên tố. Năm 1948, Selberg và Erdos đã đưa ra chứng minh đơn giản mà không dùng đến hàm zeta. Các bạn tham khảo

    https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

    PNT_ES1

    ES_dispute

  16. datuan5pdes

    Bạn Trung trình bày về độ đo Haar trên nhóm compact địa phương còn mắc:

    – định nghĩa chính xác nhóm compact địa phương,

    – quá trình xây dựng đô đo Haar, cụ thể phiếm hàm tuyến tính dương.

    Ngoài ra độ đo Haar cho trường p-adic được trình bày cuối mục 2.2, trang 47 sách Folland.

  17. datuan5pdes

    Bạn Hoàng trình bày về định lý Jackson. Chiều ngược lại cần sử dụng đến bất đẳng thức Bernstein và kỹ thuật tách tổng.

    Chú ý: trong phần câu hỏi thi cuối kỳ các bạn chuẩn bị thêm việc chứng minh bất đẳng thức Bernstein:

    ||P'_n||_{L^p}\le C_pn||P_n||_{L^p}

    với P_n là đa thức lượng giác bậc n.

  18. datuan5pdes

    Trong phần trình bày của bạn Tuấn có nói đến phần lẻ \{x\}_p. Khi x\in \mathbb Q\setminus\{0\} nó có biểu diễn

    x=p^{\gamma}\dfrac{u}{v},

    với \gamma, u, v\in\mathbb Z thỏa mãn

    (u, p)=(v, p)=(u, v)=1.

    Do (u, p)=(v, p)=1 nên có số nguyên x_0\in\{1, \dots, p-1\} sao cho

    x_0v\equiv u \; (mod \; p).

    Khi đó có w\in\mathbb Z sao cho

    u=x_0v+pw.

    Do (u, v)=1 nên (w, v)=1.

    Lại phân tích w=p^{\gamma_1}u_1, \gamma_1\in\mathbb Z_+, u_1\in\mathbb Z, (u_1, p)=(u_1, v)=1. Khi đó

    x=p^{\gamma}\left(x_0+p^{\gamma_1+1}\dfrac{u_1}{v}\right).

    Lại làm như trên cho cặp (u_1, v). Cứ thế ta sẽ phân tích được

    x=p^{\gamma}(x_0+x_1p+x_2p^2+\dots),

    với x_j\in\{0, 1, \dots, p-1\}, x_0\not=0.

    Khi đó phần lẻ

    \{x\}_p=\begin{cases}0 \; khi \; \gamma \ge 0 \; hay \; x=0, \\ p^{\gamma}(x_0+x_1p+\cdots+x_{|\gamma|-1}p^{|\gamma|-1})\; khi \; \gamma < 0.\end{cases}

    Từ đây ta định nghĩa hàm

    \chi_p(x)=e^{i2\pi \{x\}_p}.

    Đây là điểm bạn Tuấn dừng lại ở buổi trình bày sáng này. Tập các hàm đặc trưng, đồng cấu nhóm liên tục

    \chi:\mathbb Q_p\to \mathbb C\setminus\{0\}

    chỉ gồm các hàm dạng

    \chi(x)=\chi_p(x\xi), \xi\in\mathbb Q_p.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s