Trao đổi bài giảng GTĐH lớp K58TN

Tháng Chín 5, 2016Tháng Chín 5, 2016datuan5pdes

Hôm nay, 05/09/2016, tôi bắt đầu dạy môn Giải tích điều hòa cho K58TN.

Đề cương môn học các bạn xem

3_Phu luc 2-Mau de cuong hoc phan_GiaiTichDieuHoa

Tôi sẽ sử dụng cuốn

“An introduction to Harmonic Analysis”, Y. Katznelson,

như tài liệu chính.

datuan5pdes Tháng Chín 5, 2016 / 3:01 chiều

Về độ đo Borel và độ đo Borel phức, Định lý Fubini-Tonelli, Định lý đổi biến các bạn tham khảo cuốn

“Real Analysis: Modern techniques and their applications”, G. Folland,

hay

“Real and Complex Analysis”, W. Rudin.

Về giải tích điều hòa trừu tượng, liên quan đến nhóm tô-pô, độ đo Haar, các bạn tham khảo cuốn

“A course in abstract Harmonic Analysis”, G. Folland,

hay

“Fourier Analysis on Groups”,W. Rudin.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 12, 2016 / 1:49 chiều

Các bạn có thể tìm cuốn của Katznelson theo đường link

Click to access Katznelson%20Y.%20An%20Introduction%20To%20Harmonic%20Analysis%20(CUP,%202004)(299s)_MCf_.pdf

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 12, 2016 / 2:03 chiều

Tính bất biến chuẩn $||\cdot||_{L^p}$ của phép dịch chuyển chính là tích phân của hàm tuần hoàn trên mỗi chu kỳ như nhau. Có được tính bất biến này nhờ:

+ tính tuần hoàn của hàm,

+ tính bất biến với phép dịch chuyển của độ đo Lebesgue (đặc trưng của độ đo Haar).

Ta quan sát điều này qua hình ảnh:

Có

$\int_{-1}^2f_1(x)dx=\int_{-1}^0 f(x-1)dx+\int_0^2 f(x-1)dx.$

Do độ đo Lebesgue bất biến với phép dịch chuyển nên

$\int_0^2 f(x-1)dx=\int_{-1}^1 f(x)dx.$

Do $f$ tuần hoàn nên

$\int_{-1}^0f(x-1)dx=\int_{-1}^0 f(x+2)dx$ .

Lại tiếp tục dùng tính bất biến của độ đo ta sẽ dẫn đến điều phải chứng minh.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 12, 2016 / 2:28 chiều

Hôm nay 12/09/2016 tôi có nhờ một số bạn lên làm bài tập. Có thể thấy công việc lại là tính tích phân xác định.

Ngoài ra trong khi nói tiếp về lý thuyết có một vài bài tập sau:

1. Cho $B$ là không gian Banach trên trường phức, $\varphi:[0, 2\pi]\to B$ là hàm liên tục. Chứng minh rằng dãy

$S_n=\frac{2\pi}{n}\sum_{j=1}^n\varphi(j2\pi/n), n=1, 2, \dots,$

là dãy Cauchy trong $B.$

2. Cho $B$ là không gian Banach thuần nhất, $f\in B, \varphi\in C(\mathbb T).$ Chứng minh ánh xạ

$t\mapsto \varphi(t)f_t, f\in B,$

là ánh xạ liên tục từ $\mathbb T$ vào $B.$

Trong trường hợp $B=C(\mathbb T)$ hãy chứng minh dãy hàm

$S_n=\frac{2\pi}{n}\sum_{j=1}^n\varphi(j2\pi/n)f_{j2\pi/n}, n=1, 2, \dots,$

hội tụ đều đến tích phân Riemann

$\int \varphi(y)f(x-y)dy$

trên $\mathbb T.$

3. Cho dãy số thực hội tụ $\{a_n\}_{n\in\mathbb N}$ . Chứng minh dãy trung bình sau

$s_n=\dfrac{a_1+\cdots +a_n}{n}, n=1, 2, \dots,$

cũng hội tụ. Hơn nữa hai dãy này có cùng giới hạn.

Ngoài ra các bạn nên làm các bài tập cuối mỗi mục trong sách của Katznelson.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 12, 2016 / 3:29 chiều

Về thuật ngữ “nhân khả tổng” Katznelson dùng “summability kernels”. Trong

“Fourier Analysis: an introduction”, E. M. Stein, R. Shakharchi,

lại dùng “good kernels”,

còn trong

“Introduction to Fourier Analysis and Wavelets”, M. A. Pinsky,

lại dùng “approximate identity”.

Trên lớp tôi có đưa ví dụ:

+ nhân Dirichlet $D_n$ không khả tổng,

+ nhân Fejer $K_n$ khả tổng.

Ngoài nhân Poisson

$P_r(x)=1+2\sum_{j=1}^\infty r^j\cos(jx)$

cũng khả tổng.

Một số nhân khả tổng khác xây dựng từ nhân Fejer:

+ nhân Valle de Poussin $V_n=K_{2n+1}-K_n$ ,

+ nhân Jackson $J_n=||K_n||_{L^2}^{-2}K_n^2$ .

Ngoài ra trong bài giảng tôi còn nói: đồng cấu nhóm liên tục

$\varphi: \mathbb R\to \mathbb C^*$

là biểu diễn 1-chiều phức của nhóm cộng $\mathbb R.$

Chú ý với nhóm hữu hạn ta gắn tô-pô rời rạc thì đồng cấu nhóm đương nhiên liên tục. Nhóm không hữu hạn như nhóm các số nguyên $\mathbb Z$ cũng vậy.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 16, 2016 / 11:05 sáng
  
  Về xấp xỉ đồng nhất, approximate identity, các bạn tham khảo thêm
  
  Xấp xỉ đồng nhất
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 12, 2016 / 7:59 chiều

Cho $f:\mathbb T\to\mathbb C$ xác định như bài 1/ tr. 6, sách Katznelson,

$f(x)=\begin{cases}\sqrt{2\pi} \; khi \; |x|<1/2, \\ 0 \; khi \; 1/2<|x|<\pi.\end{cases}$

Ký hiệu $f_1=f*f, f_2=f*f_1, \dots, f_n=f*f_{n-1}.$ Có thể thấy rằng

$f_n(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{x-1/2}^{x+1/2}f_{n-1}(t)dt.$

Khi đó ta có hình ảnh của việc lấy tích chập:

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 12, 2016 / 8:04 chiều
  
  Từ hình vẽ ta có cảm giác:
  
  $f_n$ hội tụ đều về $0$ trên $\mathbb T.$
  
  Các bạn thử giải thích xem sao?
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 19, 2016 / 2:56 chiều

Bài tập theo chủ đề:

– bạn P. M. Hoàng chọn: bài về việc đánh giá tốc độ hội tụ theo chuẩn, cụ thể các bài 1, 2, 5 trong section 3, chapter 1 trong sách của Katznelson;

– bạn T. M. Tâm chọn: phổ của toán tử unitary, liên quan đến section 7, chapter 1 trong sách Katznelson;

– bạn N. T. Trung chọn: định lý biểu diễn Riesz, đọc trong Rudin hoặc Folland;

– bạn L. Q. Tuấn chọn: bài về hàm đặc trưng, cụ thể các bài 7-16 trong section 1, chapter 1trong sách Katznelson.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 19, 2016 / 4:45 chiều

Đồ thị nhân Dirichlet $D_n(x)=\dfrac{\sin\left((n+1/2)x\right)}{\sin(x/2)}$

– khi $n=2$

– khi $n=3$

– khi $n=10$

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 20, 2016 / 5:28 chiều

Đồ thị nhân Fejer $K_n(x)=\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\sin(\frac{(n+1)x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}\right)^2$

– khi $n=2$

– khi $n=3$

-khi $n=10$

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 21, 2016 / 6:59 sáng

So sánh sự thay đổi của nhân Dirichlet và nhân Fejer

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 26, 2016 / 4:24 chiều

Hiện tượng Gibb liên quan đến hàm

$Si(x)=\dfrac{2}{\pi}\int_0^x \dfrac{\sin t}{t}dt$ .

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 26, 2016 / 6:02 chiều
  
  Hiện tượng Gibb của hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ , cho bởi
  
  $J(x)=\dfrac{\pi-x}{2\pi}, 0<x\le\pi$
  
  nhìn qua hình
  
  Một trong những điểm chú ý của hiện tượng Gibb nhìn được từ hình vẽ:
  
  – bước nhảy của hàm $J$ tại 0 bằng 1,
  
  – bước nhảy của chuỗi Fourier tại 0 là $Si(\pi)$ gần bằng 1.179.
  
  Vẽ hình này nhờ Maple như sau:
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 26, 2016 / 9:06 chiều

Hàm

$g(t)=\begin{cases}\dfrac{1}{\sin(t/2)}-\dfrac{2}{t} \; khi \; t\in[-\pi, \pi]\setminus\{0\},\\ 0 \; khi \; t=0,\end{cases}$

có đồ thị

là hàm khả vi liên tục, với đạo hàm của nó có đồ thị

Chú ý $g'(0)=1/12.$

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 28, 2016 / 6:39 sáng

Một bạn có hỏi: hàm liên tục thì có biến phân bị chặn không?

Phản ví dụ như sau:

$f(t)=\begin{cases}\sqrt{t}\sin(\pi^2/t)\; khi \; t\in(0, \pi],\\ 0 \; khi \; t\in(-\pi, 0]. \end{cases}$

Hàm này liên tục nhưng dao động mạnh tại gốc:

Đây cũng là so sánh dấu hiệu Dini và dấu hiệu Jordan về hội tụ điểm của tổng Dirichlet. Chi tiết các bạn xem trong tiểu luận của T.Q.Phong, trang 29-30:

Tiểu luận TQPhong

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 3, 2016 / 3:21 chiều

Ta có phép nhúng

$C^1([0, \pi])\subset AC([0, \pi])\subset Lip([0, \pi])\subset BV([0, \pi])$

trong đó $AC([0, \pi])$ là không gian các hàm liên tục tuyệt đối, $Lip([0, \pi])$ không gian các hàm Lipschitz.

Chú ý rằng không gian các hàm Holder $C^\alpha([0, \pi]), 0< \alpha < 1,$ không nằm trong $BV([0, \pi])$ . Tuy nhiên theo dấu hiệu Dini chuỗi Fourier của hàm Holder hội tụ về đúng hàm đó.

Cũng cần chú ý thêm: hàm khả vi chưa chắc có biến phân bị chặn, chẳng hạn hàm $f:[-\pi, \pi]\to\mathbb R$

$f(x)=\begin{cases}x^2\sin(\pi^3/x^2)\; khi \; x\not=0,\\ 0\; khi \; x=0.\end{cases}$

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 4, 2016 / 5:54 sáng
  
  Tôi nhầm: Ta không có phép nhúng
  
  $AC([0, \pi])\subset Lip([0, \pi])$ .
  
  Chẳng hạn hàm $f(x)=\sqrt{x}$ liên tục tuyệt đối và không Lipschitz.
  
  Ta có
  
  $Lip([0, \pi])\subset AC([0, \pi])$ .
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 10, 2016 / 3:02 chiều

Khi bạn Trung trình bày về các định lý Riesz, tôi có hỏi về tính Hausdorff. Các bạn có thể tham khảo thêm về các tiên đề tách (separation axiom)

https://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom

Bổ đề Urysohn liên quan trực tiếp đến tính chuẩn tắc của không gian tô-pô:

https://en.wikipedia.org/wiki/Urysohn%27s_lemma

Chú ý không gian Hausdorff compact địa phương có thể không chuẩn tắc. Chẳng hạn

http://math.stackexchange.com/questions/235729/locally-compact-hausdorff-space-that-is-not-normal

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 10, 2016 / 3:14 chiều

Về biến phân toàn phần của độ đo phức các bạn tham khảo

Click to access complex.pdf

hay

https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_measure

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 10, 2016 / 4:11 chiều

Về phổ liên tục, phổ rời rạc của toán tử unitary sinh bởi phép biến đổi bảo toàn độ đo các bạn tham khảo trang 48 và 68 trong cuốn

“An Introduction to Ergodic Theory”, Peter Walters.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 17, 2016 / 5:07 chiều

Hôm nay tôi chuyển sang phần tích phân Fourier trên đường thẳng. Một trong các điểm khác cơ bản so với chuỗi Fourier: đường thẳng không compact. Điều này dẫn đến việc định nghĩa biến đổi Fourier trong $L^2(\mathbb R)$ gặp đôi chút khó khăn. Tôi trình bày ba cách tiếp cận:

C1: sử dụng việc xấp xỉ bởi hàm giảm nhanh;

C2: sử dụng việc xấp xỉ bởi các hàm đơn giản;

C3: sử dụng hàm Hermite.

Về cơ bản tính chất của biến đổi Fourier và chuỗi Fourier có nhiều điểm tương đồng. Trong một vài chứng minh tôi có sử dụng kết quả của chuỗi Fourier để chứng minh cho biến đổi Fourier.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 17, 2016 / 5:16 chiều

Bài tập tiếp:

– bạn Trung: tìm hiểu độ đo Haar,

– bạn Tâm: tìm hiểu về Định lý Bochner về biến đổi Fourier của độ đo Borel,

– bạn Tuấn: tìm hiểu hàm đặc trưng trên trường p-adic.

Tuần tới, hai bạn Tuấn, Hoàng chuẩn bị trình bày.

Tôi xem bài nộp của Trung, Tâm thấy: các bạn chưa chi tiết thêm ý hiểu của mình, đôi khi còn bỏ những chi tiết quan trọng. Tuần sau tôi sẽ trả lại và hy vọng các bạn sửa lại bài viết cho hợp lý hơn.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 17, 2016 / 5:26 chiều

Khi chứng minh bất đẳng thức, khá gần bất đẳng thức Heisenberg, tôi có sử dụng:

nếu $f\in L^2(\mathbb R)$ có $\xi\hat{f}(\xi)\in L^2(\mathbb R)$

thì $f$ liên tục tuyệt đối, khả vi hầu khắp nơi và $f'\in L^2(\mathbb R)$ có

$\mathcal F(f')(\xi)=2\pi i\xi \hat{f}(\xi).$

Tuy nhiên, chú ý $f'\in L^2(\mathbb R)$ và không biết có hay không

$f'\in L^1(\mathbb R).$

Khi đó tôi mắc phải:

tại sao $\lim_{|x|\to\infty}f(x)=0$ ?

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 17, 2016 / 5:31 chiều

Một điểm khác trong bài giảng liên quan đến “tổng Riemann”

$\sum_{n\in\mathbb Z}e^{2\pi i x \frac{n}{2T} }\hat{f}(\frac{n}{2T})\dfrac{1}{2T}$

hội tụ đến tích phân

$\int_{\mathbb R}e^{2\pi i x\xi}\hat{f}(\xi)d\xi$

khi $T\to\infty$ .

Các bạn thử giải thích chi tiết khi $\hat{f}\in S(\mathbb R)$ .

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 24, 2016 / 2:43 chiều

Hôm nay hai bạn Tuấn và Hoàng đã trình bày bài tập lần 1.

Bài tập lần 2:

– Bạn Trung: tìm hiểu việc xây dựng độ đo Haar trên nhóm compact địa phương, đặc biệt là các nhóm cụ thể nhóm nhân $\mathbb R\setminus\{0\}, \mathbb C\setminus\{0\}, GL(n, \mathbb R)$ và nhóm $\mathbb Q_p$ . Bạn tham khảo mục 2.2 trong cuốn “A course in abstract harmonic analysis” của G. Folland.

– Bạn Tâm: tìm hiểu về biến đổi Fourier của độ đo Borel. Bạn tham khảo mục VI. 2 trong sách “An introduction to harmonic analysis” của Y. Katznelson.

– Bạn Tuấn: tìm hiểu về hàm đặc trưng của nhóm $\mathbb Q_p$ .Bạn tham khảo mục 4.1 trong cuốn “A course in abstract harmonic analysis” của G. Folland.

– Bạn Hoàng: tìm hiểu về xấp xỉ bởi đa thức lượng giác. Bạn tham khảo mục I.8 trong sách “An introduction to harmonic analysis” của Y. Katznelson.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 1, 2016 / 7:59 chiều

Bài tập lần 1 của bạn Tuấn:

– Bài 11 về dạng mũ của đồng cấu nhóm liên tục: đã làm chưa đúng trên lớp nhưng sửa lại vẫn không đúng. Ý đầu của bài là tập ảnh nằm trên đường tròn bạn làm đúng. Ý sau ngoài dạng $\phi(t)=e^{it}$ còn có các dạng

$\phi(t)=e^{int}$ với $n\in\mathbb Z.$

Để có điều này ta xét nhóm con hạt nhân $\phi^{-1}(\{1\})$ .

– Bài 13, 15 chưa làm. Bài 13 sử dụng Định lý Steinhauss. Bạn tham khảo

Steinhauss

Bài 15 xét tập

$E_1=\{t:\; |\phi(t)|< 1\}, E_2=\{t:\; |\phi(t)|> 1\}$ .

Nếu hoặc $\mu(E_1)>0$ hoặc $\mu(E_2)>0$ dẫn đến điều vô lý vì khi đó

có số tự nhiên N để $NE_1=\mathbb T$ hoặc $NE_2=\mathbb T.$

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Một 5, 2017 / 1:03 chiều
  
  Bài 11 cần thêm bước chứng minh có $\alpha\in \mathbb R$ để
  
  $\phi(t)=e^{i\alpha t}, \forall t.$
  
  Bạn Trung chứng minh điều này bằng việc lấy $x_0\in\mathbb T$ mà $x_0/(2\pi)\not\in\mathbb Q.$ Chú ý $|\phi(x_0)|=1$ nên có $y_0\in\mathbb R$ để
  
  $\phi(x_0)=e^{iy_0}.$
  
  Lấy $\alpha=y_0/x_0.$ Từ tính bảo toàn cấu trúc nhóm có
  
  $\phi(kx_0)=e^{i\alpha kx_0}, k\in\mathbb Z$ .
  
  Tiếp tục dùng tính liên tục của $\phi$ và tính trù mật của tập $\mathbb Z x_0$ trong $\mathbb T$ ta có điều phải chứng minh.
  
  Trả lời
  - datuan5pdes Tháng Một 5, 2017 / 4:55 chiều
    
    Trong phần bài tập bạn L. Q. Tuấn còn trình bày lời giải cho bài 16 như sau:
    
    Đồng cấu nhóm đo được $\phi: \mathbb T\to \mathbb S^1$ là hàm thuộc $L^\infty$ nên có hệ số Fourier
    
    $\hat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi}\int e^{-inx}f(x)dx$ .
    
    Với mỗi $x_0\in\mathbb T$ cố định, đổi biến $x=x_0+y$ có
    
    $\hat{f}(n)=\dfrac{1}{2\pi} f(x_0)e^{-ixn_0}\int e^{-iny}f(y)dy=f(x_0)e^{-inx_0}\hat{f}(n).\quad (1)$
    
    Tích phân cả hai vế theo $x_0$ có
    
    $\hat{f}(n)=\hat{f}(n)\hat{f}(n)$
    
    nên $\hat{f}(n)=0$ hoặc $1.$
    
    Nếu $\hat{f}(n)=0, \forall n\in\mathbb Z,$ thì $f=0.$ Vô lý.
    
    Nếu có $n_0\in\mathbb Z$ để $\hat{f}(n_0)=1$ thì từ (1) có
    
    $f(x_0)=e^{in_0x_0}, \forall x_0\in\mathbb T.$
    
    Từ đây ta có ngay lời giải cho bài 11.
  - datuan5pdes Tháng Mười Hai 3, 2018 / 9:59 chiều
    
    Cách này có vấn đề vì có thể lấy hoặc $y_0$ hoặc $y_0+k2\pi$ . Khi đó $\alpha$ sẽ như nào?
    
    Quay trở lại việc xét nhóm hạt nhân $K=\phi^{-1}(\{1\})$ .
    
    TH1. Nếu nhóm $K$ có vô số phần tử thì nó trù mật trong $\mathbb T$ nên từ tính liên tục ta có $\phi(t)=1.$
    
    TH2. Nếu nhóm này có hữu hạn phần tử thì nó là nhóm cyclic, nghĩa là có số tự nhiên $n$ sao cho
    
    $K=\{k\frac{2\pi}{n}, k=0, 1, \cdots, n-1\}.$
    
    Khi đó $\phi(\pi/n)=-1$ và $\phi(\pi/(2n))\in\{\pm i\}.$ Đây chính là điểm để xem
    
    $\phi(t)=e^{int}$ hay $\phi(t)=e^{-int}.$
    
    Nếu $\phi(\pi/(2n))=i=e^{i\pi/2}$ mà $\phi(0)=1=e^{i\cdot 0}$
    
    nên dùng tính chất liên tục và bảo toàn cấu trúc nhóm ta có
    
    $\phi(t)=e^{int}$ khi $t=\pi/(2^mn).$
    
    Từ đó $\phi(t)=e^{int}.$
    
    TH còn lại $\phi(\pi/(2n))=-i=e^{-i\pi/2}$ , làm tương tự ta có
    
    $\phi(t)=e^{-int}$ .
  - datuan5pdes Tháng Mười Hai 3, 2018 / 10:46 chiều
    
    Để ý rằng $\phi: [0, 2\pi/n)\to\mathbb T^*$ là đơn ánh nên cũng là song ánh.
datuan5pdes Tháng Mười Một 1, 2016 / 8:18 chiều

Bài tập về đánh giá xấp xỉ tổng Fejer của bạn Hoàng nên làm rõ

+) $|\sin(nx)|\le n|\sin x|, n\in\mathbb N,$

+) $||K_n||^2_2=\dfrac{n(2n^2+1)}{3(n+1)^2}.$

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 14, 2016 / 7:08 chiều

Hôm nay khi trình bày công thức tổng Poisson tôi có nói về hàm zeta và sơ qua về việc dùng công thức Poisson dẫn đến phương trình hàm của hàm zeta. Tiếp đó nói về tập không điểm của hàm zeta không giao với đường $Re \;z=1$ . Đây là điểm chốt trong chứng minh của Hadamard và de la Valee-Poussin cho định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem). Nếu có thời gian tôi trình bày cách dùng kết quả trên về không điểm hàm zeta và lý thuyết Tauberian để chứng minh định lý số nguyên tố này. Lý thuyết Tauberian dẫn đến niềm tin của Hardy về chứng minh đơn giản cho định lý số nguyên tố. Năm 1948, Selberg và Erdos đã đưa ra chứng minh đơn giản mà không dùng đến hàm zeta. Các bạn tham khảo

https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem

PNT_ES1

ES_dispute

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 21, 2016 / 4:07 chiều

Bạn Trung trình bày về độ đo Haar trên nhóm compact địa phương còn mắc:

– định nghĩa chính xác nhóm compact địa phương,

– quá trình xây dựng đô đo Haar, cụ thể phiếm hàm tuyến tính dương.

Ngoài ra độ đo Haar cho trường p-adic được trình bày cuối mục 2.2, trang 47 sách Folland.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 21, 2016 / 4:08 chiều

Bạn Tâm trình bày về định lý Bochner cho độ đo xác suất trên đường thẳng thực còn hạn chế việc tính toán cụ thể trên ví dụ cụ thể.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 28, 2016 / 5:56 chiều

Bạn Hoàng trình bày về định lý Jackson. Chiều ngược lại cần sử dụng đến bất đẳng thức Bernstein và kỹ thuật tách tổng.

Chú ý: trong phần câu hỏi thi cuối kỳ các bạn chuẩn bị thêm việc chứng minh bất đẳng thức Bernstein:

$||P'_n||_{L^p}\le C_pn||P_n||_{L^p}$

với $P_n$ là đa thức lượng giác bậc n.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 28, 2016 / 6:22 chiều

Trong phần trình bày của bạn Tuấn có nói đến phần lẻ $\{x\}_p$ . Khi $x\in \mathbb Q\setminus\{0\}$ nó có biểu diễn

$x=p^{\gamma}\dfrac{u}{v},$

với $\gamma, u, v\in\mathbb Z$ thỏa mãn

$(u, p)=(v, p)=(u, v)=1$ .

Do $(u, p)=(v, p)=1$ nên có số nguyên $x_0\in\{1, \dots, p-1\}$ sao cho

$x_0v\equiv u \; (mod \; p)$ .

Khi đó có $w\in\mathbb Z$ sao cho

$u=x_0v+pw.$

Do $(u, v)=1$ nên $(w, v)=1.$

Lại phân tích $w=p^{\gamma_1}u_1, \gamma_1\in\mathbb Z_+, u_1\in\mathbb Z, (u_1, p)=(u_1, v)=1$ . Khi đó

$x=p^{\gamma}\left(x_0+p^{\gamma_1+1}\dfrac{u_1}{v}\right)$ .

Lại làm như trên cho cặp $(u_1, v)$ . Cứ thế ta sẽ phân tích được

$x=p^{\gamma}(x_0+x_1p+x_2p^2+\dots),$

với $x_j\in\{0, 1, \dots, p-1\}, x_0\not=0$ .

Khi đó phần lẻ

$\{x\}_p=\begin{cases}0 \; khi \; \gamma \ge 0 \; hay \; x=0, \\ p^{\gamma}(x_0+x_1p+\cdots+x_{|\gamma|-1}p^{|\gamma|-1})\; khi \; \gamma < 0.\end{cases}$

Từ đây ta định nghĩa hàm

$\chi_p(x)=e^{i2\pi \{x\}_p}.$

Đây là điểm bạn Tuấn dừng lại ở buổi trình bày sáng này. Tập các hàm đặc trưng, đồng cấu nhóm liên tục

$\chi:\mathbb Q_p\to \mathbb C\setminus\{0\}$

chỉ gồm các hàm dạng

$\chi(x)=\chi_p(x\xi), \xi\in\mathbb Q_p.$

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Hai 5, 2016 / 6:15 chiều

Bài viết của bạn Tâm khá tốt, đặc biệt trình bày hai cách để chỉ ra độ đo Borel dương, hữu hạn có biến đổi Fourier là hàm liên tục, xác định dương:

– chuyển qua TH tuần hoàn (theo Katznelson),

– dùng biến đổi Gelfand (gần giống Folland).

Bạn Tuấn vẫn chưa đến hàm đặc trưng.

Bạn Trung chưa hiểu không gian $X$ là không gian tô-pô tích

$\Pi_{f\in C^+_0(G}X_f$ .

Khi đó từ tính bảo toàn thứ tự của $I_\phi$ ta có

$I_\phi\in X$ khi $\phi\in C^+_0(G)$ .

Thêm nữa việc xác định độ đo Haar trong một số TH được dẫn từ MĐ 2. 21, chứ không phải kiểm tra chúng thỏa mãn tính bất biến.

Bạn Hoàng viết khá tốt với phần thuận không “đơn giản” như đã trình bày trên lớp mà dùng đến bất đẳng thức Bohr, hay còn gọi là bất đẳng thức ngược Bernstein.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Hai 12, 2016 / 2:29 chiều

Hôm nay tôi đã kết thúc môn Giải tích điều hòa:

– tóm tắt lại quá trình chứng minh định lý số nguyên tố (Prime Number Theorem)

+ chuyển qua hàm Chebyshev, rồi chuyển từ việc chứng minh định lý sang chứng minh kết quả của Ingham,

+ chuyển từ việc chứng minh kết quả của Ingham qua việc chứng minh định lý Tauberian của Wiener thông qua việc sử dụng hàm zeta Riemann,

+ chứng minh định lý Tauberian của Wiener nhờ lý thuyết về đại số Banach.

Ngoài ra tôi trình bày về sơ lược về đại số Banach và một vài ứng dụng:

+ định lý Wiener về đại số $A(\mathbb T)$ , sau đó dẫn đến định lý Tauberian của Wiener,

+ định lý về đại số $A(\mathbb D)$ , sau đó đề cập đến định lý corona cho đại số $H^\infty(\mathbb D)$ ,

+ biến đổi Fourier trong $L^1(\mathbb R)$ chính là biến đổi Gelfand của đại số $L^1(\mathbb R)$ , từ đó dẫn đến

$||\hat{f}||_{\infty}=\lim_{n\to\infty}||f^{(n)}||^{1/n}_{L^!}$ ,

với $f^{(n)}=\underbrace{f*\cdots *f}_{n\; times}$ ,

+ chứng minh bất đẳng thức Bernstein cho không gian các hàm nguyên $B_\sigma$ .

Trả lời

Gửi phản hồi cho datuan5pdes Hủy trả lời

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.

	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	Ngọc Quỳnh trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…

Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Distributions

Trao đổi bài giảng GTĐH lớp K58TN

39 bình luận về “Trao đổi bài giảng GTĐH lớp K58TN”

Gửi phản hồi cho datuan5pdes Hủy trả lời

Chia sẻ:

Có liên quan

39 bình luận về “Trao đổi bài giảng GTĐH lớp K58TN”

Gửi phản hồi cho datuan5pdes Hủy trả lời