Không gian Sobolev trên đường tròn đơn vị

Bằng cách tham số hóa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng (phức)

\varphi\in\mathbb R \mapsto e^{i2\pi \varphi}\in\mathbb C

ta có thể xem hàm xác định trên đường tròn như hàm tuần hoàn trên đường thẳng thực, nghĩa là

f(e^{i2\pi \varphi})=f(\varphi).

Khi đó không gian Sobolev H^{1/2}(\mathbb S^1) gồm các hàm f\in L^2(\mathbb S^1) thỏa mãn

\int_0^1\int_0^1\dfrac{|f(\varphi)-f(\theta)|^2}{|\varphi-\theta|^2}d\theta d\varphi< +\infty

hay, bằng cách đổi biến \varphi=\theta+h,

\int_0^1\dfrac{dh}{h^2}\int_0^1|f(\theta+h)-f(\theta)|^2 d\theta < +\infty.

Sử dụng đẳng thức Parseval cho hàm g(\theta)=f(\theta+h)-f(\theta)\in L^2(\mathbb S^1)

\int_0^1|f(\theta+h)-f(\theta)|^2d\theta=\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat{g}(n)|^2

trong đó hệ số Fourier

\hat{g}(n)=\int_0^1 g(x)e^{-i2\pi n x}dx=(e^{i2\pi n h}-1)\hat{f}(n).

Khi đó, với f\in L^2(\mathbb S^1), ta có f\in H^{1/2}(\mathbb S^1) khi và chỉ khi

\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat{f}(n)|^2 \int_0^1 \dfrac{|e^{i2\pi nh}-1|^2}{h^2}dh<+\infty.

Lại đổi biến \omega=nh

\int_0^1 \dfrac{|e^{i2\pi nh}-1|^2}{h^2}dh=|n|\int_0^{|n|}\dfrac{|e^{i2\pi \omega}-1|^2}{\omega^2}d\omega\thicksim |n|.

Do đó H^{1/2}(\mathbb S^1) là không gian gồm hàm f\in L^2(\mathbb S^1) thỏa mãn

\sum_{n\in\mathbb Z}|n|\cdot|\hat{f}(n)|^2<+\infty.

Ta đã chứng minh được sự tương đương của định nghĩa không gian Sobolev trên đường tròn theo chuẩn Gagliardo và theo cách như trình bày trong “Luận văn P.V.Hà”.

Cách định nghĩa không gian Sobolev trên đường tròn nhờ hệ số Fourier có thể coi như gợi ý của Gelfand cho Brezis về mối nối giữa “winding number” và hệ số Fourier. Nó mở ra một số vấn đề hấp dẫn mà tôi sẽ kể tiếp ở đoạn sau.

Với f\in C^1(\mathbb S^1; \mathbb S^1) có “winding number” được xác định bởi

wind(f)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb S^1}\dfrac{f'(z)}{f(z)}dz.

Ví dụ đa thức f(z)=z^k, k\in\mathbb Z,wind(f)=k chính là bậc của đa thức f. Một cách tổng quát wind(f) là một số nguyên.

Lại dùng đẳng thức Parseval và chú ý (f')\hat{}(n)=2\pi i \hat{f}(n), 1/f=\bar{f} ta có

wind(f)=\sum_{n\in\mathbb Z}n|\hat{f}(n)|^2. \quad\quad(1)

Lại do C^1(\mathbb S^1; \mathbb S^1) trù mật trong H^{1/2}(\mathbb S^1; \mathbb S^1) nên (1) có thể dùng làm định nghĩa “winding number” cho các hàm trong H^{1/2}(\mathbb S^1; \mathbb S^1). Ngoài ra, Nirenberg và Brezis xây dựng được lý thuyết bậc cho hàm VMO(\mathbb S^1; \mathbb S^1).H^{1/2}(\mathbb S^1; \mathbb S^1)\subset VMO(\mathbb S^1; \mathbb S^1). Ta có câu hỏi: hai cách xây dựng “winding number”: thứ nhất dùng hệ số Fourier như trên, thứ hai dùng cách xây dựng như hàm VMO; có cho cùng kết quả không?

Thật may mắn, Brezis đã đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên của Gelfand. Tuy nhiên Brezis không dừng câu chuyện ở đây. Ông tiếp tục đưa ra một số câu hỏi thú vị khác như sau:

Từ kết quả trên ta có thể thấy hệ quả sau đây cho dãy số phức \{a_n\}_{n\in\mathbb Z}\in\ell_2(\mathbb Z) thỏa mãn:

+) \sum_{n\in\mathbb Z}|n|\cdot|a_n|^2<+\infty, (dãy đã cho là hệ số Fourier của hàm f\in H^{1/2}(\mathbb S^1) nào đó)

+) \sum_{n\in\mathbb Z}|a_n|^2=1

\sum_{n\in\mathbb Z}a_n\bar{a}_{n+k}=0, k\in\mathbb Z\setminus\{0\},

(đảm bảo |f(z)|=1, z\in\mathbb S^1).

Khi đó

\sum_{n\in\mathbb Z}n|a_n|^2 là số nguyên.

Câu hỏi: liệu có cách suy luận trực tiếp để thu được kết quả trên không?

Chú ý rằng kết quả trên không tầm thường qua ví dụ sau của Jan Wiegerinck:

Xét g(t)=e^{i\pi t}, t\in[0, 1) có hệ số Fourier

\hat{g}(n)=\dfrac{2}{i\pi(2n-1)}

nên

\sum_{n\in\mathbb Z}n|\hat{g}(n)|^2=\dfrac{1}{2}!

Lý thuyết “winding number” xây dựng được cho cả hàm liên tục \varphi\in C(\mathbb S^1; \mathbb S^1). Tuy nhiên với hàm liên tục \varphi\in C(\mathbb S^1; \mathbb S^1) rất có thể

\sum_{n\in\mathbb Z}n|\hat{\varphi}(n)|^2 phân kỳ.

Câu hỏi: liệu một trong các cách lấy tổng sau:

\lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N n|\hat{\varphi}(n)|^2 hay \lim_{r\to 1^-}\sum_{n\in\mathbb Z}n|\hat{\varphi}(n)|^2 r^{|n|}

hội tụ đến “winding number”?

J. Korevaar cho câu trả lời phủ định: có những hàm liên tục với “winding number” là 0, nhưng các các lấy tổng trên có thể hội tụ đến giá trị bất kỳ!

Từ kết quả của Kahane:

“Trong C^{\alpha}(\mathbb S^1; \mathbb S^1), 1/3<\alpha<1, thì hệ số Fourier xác định duy nhất “winding number”.”

Brezis chỉ ra rằng điều này cũng đúng cho W^{1/3, 3}(\mathbb S^1; \mathbb S^1).

Câu hỏi: liệu hệ số Fourier có xác định “winding number” cho hàm liên tục không?

Bourgain-Kozma đã chỉ ra phản ví dụ.

Câu hỏi: liệu hệ số Fourier có xác định “winding number” cho hàm thuộc W^{1/p, p} không?

Brezis trả lời: khẳng định cho hàm thuộc C(\mathbb S^1; \mathbb S^1)\cap BV(\mathbb S^1; \mathbb S^1).

Bourgain-Brezis-Mironescu cho ta đánh giá

|wind(f)|\le C_p||\varphi||^p_{W^{1/p, p}}=C_p\int_0^1\dfrac{dh}{h^2}\int_0^1|f(\theta+h)-f(\theta)|^pd\theta.

Tiếp đến Brezis quan sát thấy, với f\in H^{1/2}(\mathbb S^1; \mathbb S^1)

|wind(f)|+\sum_{n\in\mathbb Z}n|\hat{f}(n)|^2\le \sum_{n\in\mathbb Z}|n|\cdot|\hat{f}(n)|^2.

Câu hỏi: nếu

\sum_{n\in\mathbb Z_+}n|\hat{f}(n)|^2<+\infty

thì

\sum_{n\in\mathbb Z}|n|\cdot |\hat{f}(n)|^2<+\infty?

Bourgain-Kahane cho câu trả lời khẳng định:

Với f\in VMO(\mathbb S^1; \mathbb S^1), 0<s<1.

Nếu

\sum_{n\in\mathbb Z_+}n^{2s}|\hat{f}(n)|^2<+\infty

thì

\sum_{n\in\mathbb Z}|n|^{2s}\cdot |\hat{f}(n)|^2<+\infty.

Đặc biệt khi s=1/2

\sum_{n\in\mathbb Z}|n|\cdot |\hat{f}(n)|^2\le 32 \sum_{n\in\mathbb Z_+}n|\hat{f}(n)|^2.

 

 

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s