Giả thuyết HRT

datuan5pdes

Trong giáo trình Giải tích điều hòa ta biết đến Định lý Wiener – Tauberian có cách phát biểu sau:

Cho f\in L^1(\mathbb R). Khi đó điều kiện cần và đủ để L^1(\mathbb R) sinh bởi các dịch chuyển T_af, a\in\mathbb R, của f là

\hat{f}(\xi)\not=0, \forall \xi\in\mathbb R.

Ở đây T_af(x)=f(x-a) là dịch chuyển của f.

Giả thuyết HRT (Heil – Ramanathan – Topiwala conjecture) quan tâm đến tính độc lập tuyến tính. Cụ thể, năm 1996, các ông đưa ra giả thuyết sau:

Cho f\in L^2(\mathbb R)\setminus\{0\} và tập hữu hạn các điểm trong mặt phẳng \Lambda. Khi đó các hàm M_bT_af, (a, b)\in\Lambda, độc lập tuyến tính.

Ở đây M_bg(x)=e^{ibx}g(x). Ngoài ra tính độc lập tuyến tính được hiểu như sau: 

Nếu c_{(a, b)}\in\mathbb C, (a, b)\in\Lambda, thỏa mãn

\sum_{(a, b)\in\Lambda}c_{(a, b)}M_bT_af(x)=0, a.e. x\in \mathbb R,

thì c_{(a, b)}=0, \forall (a, b)\in\Lambda.

Quay trở lại Định lý Wiener – Tauberian, với f\in L^1(\mathbb R)\cap L^2(\mathbb R), khi các dịch chuyển T_af, a\in\mathbb R, sinh ra L^1(\mathbb R). Hỏi các dịch chuyển này có độc lập tuyến tính không?

Đây là tình huống \Lambda đặc biệt: các điểm nằm trên cùng một đường song song với trục hoành Oa.  

Các bạn có thể tìm hiểu thêm về giả thuyết HRT qua bài viết của Dustin G. Mixon.

Bình luận về bài viết này

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.