Định lý nhúng – Hàm lũy thừa

Trong bài Định lý nhúng ta có các phép nhúng sau

  • khi 2s\le n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [2, 2^*], 2^*=\dfrac{2n}{n-2s},
  • khi 2s>n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/2

trong đó s\in(0, 1], \Omega là miền mở với biên Lipschitz trong \mathbb R^n.

Với \Omegas như trên ta có phép nhúng tổng quát trong L^p, 1\le p<\infty như sau

  • khi ps\le n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [p, p^*], p^*=\dfrac{pn}{n-ps},
  • khi ps>n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/p.

Dưới đây ta sẽ dùng hàm lũy thừa |x|^{-\mu} làm phản ví dụ cho các phép nhúng trên. Cụ thể với ps<n ta tìm được \mu để Continue reading “Định lý nhúng – Hàm lũy thừa”

Bất đẳng thức Poincare (tiếp)

Trong bài viết trước

Các dạng bất đẳng thức Poincare 1-chiều

tôi tập trung vào việc trình bày bất đẳng thức Poincare trong trường hợp 1-chiều, cụ thể cho các hàm xác định trên một khoảng hữu hạn. Dưới đây tôi trình bày tiếp bất đẳng thức Poincare cho trường hợp hàm xác định trong miền không nhất thiết bị chặn: Continue reading “Bất đẳng thức Poincare (tiếp)”

Lấy vết hàm thuộc W^{1, p}

Trong các bài viết trước về vết, cụ thể

https://datuan5pdes.wordpress.com/2013/07/21/dinh-ly-vet/

nói về các định lý vết trong không gian H^s=W^{s, 2},

https://datuan5pdes.wordpress.com/2015/11/25/dinh-ly-nguoc-dinh-ly-vet/

nói về việc lấy ngược của vết.

Bài viết này quan tâm đến câu hỏi:

Lấy vết như nào? Hay thế nào là lấy vết?

Trước khi trả lời câu hỏi này ta xem ý nghĩa của câu hỏi này: Continue reading “Lấy vết hàm thuộc W^{1, p}”

Bất đẳng thức Harnack

Một trong các tính chất quan trọng của hàm điều hòa là bất đẳng thức Harnack. Với mỗi hàm u\in C(\Omega; \mathbb R), \Omega mở trong \mathbb R^n, ta đều có

\inf\limits_{U} u\le \sup\limits_{U}u,

với bất kỳ tập U compact tương đối trong \Omega, nghĩa là

\bar{U}\subset\Omega, \bar{U} compact.

Với hàm điều hòa không âm, A. Harnack chỉ ra có điều ngược lại theo cách sau

\sup\limits_U u \le C\inf\limits_U u,

với hằng số dương C phụ thuộc n, U, \Omega,

trong đó U là tập compact tương đối, liên thông trong \Omega.

Có nhiều cách để tiếp cận bất đẳng thức Harnack. Chẳng hạn như: Continue reading “Bất đẳng thức Harnack”