Bất đẳng thức đẳng chu – Định lý Peter-Weyl dạng đơn giản

Trước hết ta nói sơ qua Định lý Peter-Weyl: Cho nhóm compact G. Khi đó không gian các hàm bình phương khả tích theo độ đo Haar L^2(G) được phân tích thành tổng trực giao của các biểu diễn unitary bất khả quy.

Trong bài này tôi chỉ đề cập đến hai nhóm compact đơn giản G=\mathbb T=\mathbb R/(2\pi\mathbb Z) (đường tròn đơn vị) và G=\mathbb Z_N=\mathbb Z/(N\mathbb Z) (các số dư khi chia cho N).

Khi đó Định lý Peter-Weyl được hiểu đơn giản như sau: Tiếp tục đọc “Bất đẳng thức đẳng chu – Định lý Peter-Weyl dạng đơn giản”

Số vô tỷ và p-adic

Trong phần trình bày về hàm đặc trưng trên trường p-adic của bạn L.Q.Tuấn, tôi có hỏi về sự không đầy đủ của tập số hữu tỷ theo khoảng cách |\cdot|_p. Câu hỏi này tương đương với việc chỉ ra một số vô tỷ trong \mathbb Q_p. Trường hợp đặc biệt p=\infty\mathbb Q_\infty chính là trường số thực \mathbb R, ta có độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân với cạnh góc vuông là 1 (đơn vị dài) là một trong những số vô tỷ được phát hiện sớm. Tuy nhiên trong \mathbb Q_2 ví dụ này không ổn theo nghĩa phương trình

x^2=2

vô nghiệm trong \mathbb Q_2.  Tiếp tục đọc “Số vô tỷ và p-adic”

Đa thức Hermite

Trong bài giảng về Giải tích điều hòa cho K58TN tôi có đề cập đến đa thức Hermite khi:

  • xây dựng biến đổi Fourier trong L^2(\mathbb R),
  • chứng minh bất đẳng thức Heisenberg.

Dưới đây tôi trình bày vài nét cơ bản về đa thức Hermite. Ta bắt đầu với dạng vật lý của đa thức Hermite

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\dfrac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right), n=0, 1, 2, \dots.

Ta thử tính cụ thể:

  • khi n=0H_0(x)=1,
  • khi n=1H_1(x)=-e^{x^2}(e^{-x^2})'=2x,
  • khi n=2H_2(x)=e^{x^2}\left(-2xe^{-x^2}\right)'=4x^2-2.

Một cách tổng quát

Tiếp tục đọc “Đa thức Hermite”

Không gian Sobolev trên đường tròn đơn vị

Bằng cách tham số hóa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng (phức)

\varphi\in\mathbb R \mapsto e^{i2\pi \varphi}\in\mathbb C

ta có thể xem hàm xác định trên đường tròn như hàm tuần hoàn trên đường thẳng thực, nghĩa là

f(e^{i2\pi \varphi})=f(\varphi).

Khi đó không gian Sobolev H^{1/2}(\mathbb S^1) gồm các hàm f\in L^2(\mathbb S^1) thỏa mãn

\int_0^1\int_0^1\dfrac{|f(\varphi)-f(\theta)|^2}{|\varphi-\theta|^2}d\theta d\varphi< +\infty

hay, bằng cách đổi biến \varphi=\theta+h,

\int_0^1\dfrac{dh}{h^2}\int_0^1|f(\theta+h)-f(\theta)|^2 d\theta < +\infty.

Sử dụng đẳng thức Parseval cho hàm g(\theta)=f(\theta+h)-f(\theta)\in L^2(\mathbb S^1)Tiếp tục đọc “Không gian Sobolev trên đường tròn đơn vị”

Định lý nhúng – Hàm lũy thừa

Trong bài Định lý nhúng ta có các phép nhúng sau

  • khi 2s\le n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [2, 2^*], 2^*=\dfrac{2n}{n-2s},
  • khi 2s>n thì W^{s, 2}(\Omega)=W^s(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/2

trong đó s\in(0, 1], \Omega là miền mở với biên Lipschitz trong \mathbb R^n.

Với \Omegas như trên ta có phép nhúng tổng quát trong L^p, 1\le p<\infty như sau

  • khi ps\le n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^q(\Omega), q\in [p, p^*], p^*=\dfrac{pn}{n-ps},
  • khi ps>n thì W^{s, p}(\Omega)\subset L^\infty(\Omega)\cap C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha=s-n/p.

Dưới đây ta sẽ dùng hàm lũy thừa |x|^{-\mu} làm phản ví dụ cho các phép nhúng trên. Cụ thể với ps<n ta tìm được \mu để Tiếp tục đọc “Định lý nhúng – Hàm lũy thừa”

Bất đẳng thức Poincare (tiếp)

Trong bài viết trước

Các dạng bất đẳng thức Poincare 1-chiều

tôi tập trung vào việc trình bày bất đẳng thức Poincare trong trường hợp 1-chiều, cụ thể cho các hàm xác định trên một khoảng hữu hạn. Dưới đây tôi trình bày tiếp bất đẳng thức Poincare cho trường hợp hàm xác định trong miền không nhất thiết bị chặn: Tiếp tục đọc “Bất đẳng thức Poincare (tiếp)”