Về bài báo “On Fourier coefficients and transforms …” của A. Zygmund

Bài báo “On Fourier coefficients and transforms of functions of two varibles“, Studia Mathematica 1974, Vol. 50, No. 2, pp. 289-201, của A. Zygmund xuất phát từ câu hỏi của C. Fefferman như sau.

Nhắc lại bất đẳng thức Bessel cho f\in L^2(Q), Q=(0, 1)^2 là hình vuông đơn vị trong mặt phẳng,

\big(\sum_{|\mu|=r}|c_\mu|^2\big)^{1/2}\leq ||f||_2, \forall r>0,

trong đó \mu=(\mu_1, \mu_2)\in \mathbb Z^2, và hệ số Fourier

c_\mu=\iint_{Q}e^{-i2\pi \mu\cdot x}f(x)dx_1dx_2, x=(x_1, x_2), \mu\cdot x=x_1\mu_1+x_2\mu_2.

C. Fefferman hỏi: Liệu bất đẳng thức sau Continue reading “Về bài báo “On Fourier coefficients and transforms …” của A. Zygmund”

Các đặc trưng của không gian Sobolev W^{s, p}

Trong bài trước

Các đặc trưng của không gian Sobolev W^{1, p}

tôi đã trình bày một số cách nhận biết hàm thuộc không gian W^{1, p}. Trong bài này tôi tiếp tục trình bày các cách nhận biết hàm thuộc không gian W^{s, p}(\mathbb R), 0< s < 1, p\ge 1.

Trước hết nhắc lại định nghĩa trong bài giảng (sử dụng biến đổi Fourier) cho trường hợp p=2:

Với s\in\mathbb R, không gian W^s(\mathbb R)=W^{s, 2}(\mathbb R) bao gồm các hàm f\in S' sao cho biến đổi Fourier \mathcal Ff là hàm đo được Lebesgue trên \mathbb R

\int_{\mathbb R}(1+|\xi|^2)^s|\mathcal Ff(\xi)|^2d\xi<\infty.\quad (1)

Có thể thấy ngay khi s>0f\in W^s(\mathbb R) thì f\in L^2(\mathbb R). Việc chuyển sang định nghĩa W^{s, p}(\mathbb R) không đơn giản thay 2 bởi p. Một trong các lý do:

  • Khi s là số nguyên không âm, trong giáo trình tôi đã chỉ ra cách định nghĩa trên cho W^s(\mathbb R) tương đương với cách định nghĩa bằng đạo hàm suy rộng, cụ thể W^s(\mathbb R) gồm các hàm f\in L^2(\mathbb R) mà tất cả các đạo hàm f^{(k)}\in L^2(\mathbb R), k=1, \dots, s.
  • Khi 0<s<1, trong bài “Không gian W^s(0, +\infty)-Bất đẳng thức Hardy” chỉ ra cách định nghĩa trên cho W^s(\mathbb R) tương đương với cách sau: W^s(\mathbb R) gồm các hàm f\in L^2(\mathbb R) thỏa mãn

\iint_{\mathbb R^2}\dfrac{|f(x)-f(y)|^2}{|x-y|^{1+2s}}dxdy<\infty.

Khi chuyển sang W^{s, p}(\mathbb R), p\ge 1, ta cũng có định nghĩa tương tự trên:

Continue reading “Các đặc trưng của không gian Sobolev W^{s, p}”

Không gian Campanato

Trước hết nhắc lại không gian Holder C^{0, \alpha}(\Omega), \alpha\ge 0, \Omega là tập mở trong \mathbb R^n, là không gian bao gồm các hàm liên tục, bị chặn trên \Omega thỏa mãn

|u(x)-u(y)|\le C|x-y|^\alpha, \forall x, y\in\Omega.

Để ý rằng khi \alpha > 1\Omega liên thông thì C^{0, \alpha}(\Omega) chỉ gồm các hàm hằng vì các đạo hàm riêng cấp 1 đều bằng 0. Trong bài “Khi nào hàm là hằng?“, tôi đã trình bày cách H. Brezis nhận biết hàm hằng nhờ tích phân:

“Với 1\le p<\infty” và hàm đo được f:\Omega\to\mathbb R thỏa mãn

\int_\Omega\int_\Omega \dfrac{|f(x)-f(y)|^p}{|x-y|^{n+p}}dxdy<\infty

thì f là hàm hằng.”

Trước đây khá lâu Campanato đưa ra đặc trưng không gian Holder nhờ tích phân. Từ đó sinh ra không gian Campanato. Cụ thể như sau: Continue reading “Không gian Campanato”

Bất đẳng thức đẳng chu – Định lý Peter-Weyl dạng đơn giản

Trước hết ta nói sơ qua Định lý Peter-Weyl: Cho nhóm compact G. Khi đó không gian các hàm bình phương khả tích theo độ đo Haar L^2(G) được phân tích thành tổng trực giao của các biểu diễn unitary bất khả quy.

Trong bài này tôi chỉ đề cập đến hai nhóm compact đơn giản G=\mathbb T=\mathbb R/(2\pi\mathbb Z) (đường tròn đơn vị) và G=\mathbb Z_N=\mathbb Z/(N\mathbb Z) (các số dư khi chia cho N).

Khi đó Định lý Peter-Weyl được hiểu đơn giản như sau: Continue reading “Bất đẳng thức đẳng chu – Định lý Peter-Weyl dạng đơn giản”

Số vô tỷ và p-adic

Trong phần trình bày về hàm đặc trưng trên trường p-adic của bạn L.Q.Tuấn, tôi có hỏi về sự không đầy đủ của tập số hữu tỷ theo khoảng cách |\cdot|_p. Câu hỏi này tương đương với việc chỉ ra một số vô tỷ trong \mathbb Q_p. Trường hợp đặc biệt p=\infty\mathbb Q_\infty chính là trường số thực \mathbb R, ta có độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân với cạnh góc vuông là 1 (đơn vị dài) là một trong những số vô tỷ được phát hiện sớm. Tuy nhiên trong \mathbb Q_2 ví dụ này không ổn theo nghĩa phương trình

x^2=2

vô nghiệm trong \mathbb Q_2.  Continue reading “Số vô tỷ và p-adic”

Đa thức Hermite

Trong bài giảng về Giải tích điều hòa cho K58TN tôi có đề cập đến đa thức Hermite khi:

  • xây dựng biến đổi Fourier trong L^2(\mathbb R),
  • chứng minh bất đẳng thức Heisenberg.

Dưới đây tôi trình bày vài nét cơ bản về đa thức Hermite. Ta bắt đầu với dạng vật lý của đa thức Hermite

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\dfrac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right), n=0, 1, 2, \dots.

Ta thử tính cụ thể:

  • khi n=0H_0(x)=1,
  • khi n=1H_1(x)=-e^{x^2}(e^{-x^2})'=2x,
  • khi n=2H_2(x)=e^{x^2}\left(-2xe^{-x^2}\right)'=4x^2-2.

Một cách tổng quát

Continue reading “Đa thức Hermite”

Không gian Sobolev trên đường tròn đơn vị

Bằng cách tham số hóa đường tròn đơn vị trong mặt phẳng (phức)

\varphi\in\mathbb R \mapsto e^{i2\pi \varphi}\in\mathbb C

ta có thể xem hàm xác định trên đường tròn như hàm tuần hoàn trên đường thẳng thực, nghĩa là

f(e^{i2\pi \varphi})=f(\varphi).

Khi đó không gian Sobolev H^{1/2}(\mathbb S^1) gồm các hàm f\in L^2(\mathbb S^1) thỏa mãn

\int_0^1\int_0^1\dfrac{|f(\varphi)-f(\theta)|^2}{|\varphi-\theta|^2}d\theta d\varphi< +\infty

hay, bằng cách đổi biến \varphi=\theta+h,

\int_0^1\dfrac{dh}{h^2}\int_0^1|f(\theta+h)-f(\theta)|^2 d\theta < +\infty.

Sử dụng đẳng thức Parseval cho hàm g(\theta)=f(\theta+h)-f(\theta)\in L^2(\mathbb S^1)Continue reading “Không gian Sobolev trên đường tròn đơn vị”