Hôm nay, ngày 08/02/2012, tôi bắt đầu dạy môn “Bài toán biên elliptic” cho lớp Cao học khóa 2010-2012.
Tôi có thể dùng một trong các tài liệu sau:
“Lectures on Elliptic Boundary Value Problems” của Shamuel Agmon,
“Lectures on Elliptic Partial Differential Equations” của Jacques – Louis Lions,
“Direct Methods in the Theory of Elliptic Equations” của Jindrich Necas.
Khi nào có đường link lấy các cuốn sách trên tôi sẽ gửi.
Ngoài ra cuốn sách sau có thể dùng để tham khảo chi tiết hơn
“Non-Homogeneous Boundary Value Problems and Applications” của Jacques – Louis Lions và Enrico Magenes.
Các bạn lớp CH 10-12 có thể trao đổi với tôi về môn học qua phần phản hồi (“Comments”) ở phía dưới.
Lý thuyết Hàm Suy Rộng 
Các đường link của ba cuốn sách:
http://www.box.com/s/845r3gsxop5ensq77h4o
Click to access tifr10.pdf
http://www.box.com/s/zftsu4z3dvex32p3x0k7
Cuốn sau đây của Hans Triebel cũng rất tốt
“Interpolation theory, Functions spaces Differential operators”.
Đường link
http://www.box.com/s/aynl96i5o9lu2u08qt74
Em chào thày, em là sv K54, hiện đang học môn PT ĐHR thày dạy. Trong quá trình kiểm tra lại phần học, em thấy có một vấn đề như thế này.
Ta có một phép thay biến s=f(x,y), t=g(x,y) trong đó f,g là có thể coi là nghiệm của phương trình đặc trưng của lớp PT cấp 2. Sau đó, ta có phép đặt u(x,y)=v(s,t) để chuyển về dạng chính tắc. Tuy nhiên có 2 vấn đề như sau:
1- Hàm v như trên có thể không xác định ở một số điểm. Để nó xác định, thì x, y cũng có thể viết được dưới dạng hàm của s,t. Để điều đó xảy ra, thì Jacobian phải khác 0 tại điểm đang xét. Điều này thì không phải lúc nào cũng đúng, đặc biệt với các PT mà hệ số không hằng. Như vậy, theo thày có cách nào khác để mô tả v không?
2- Câu hỏi của em cũng liên quan đến ODE một chút. Em cũng đã hỏi thày trên lớp. Đó chính là miền xác định của s,t. Ta biết rằng phương trình vi phân thường, không phải lúc nào cũng có nghiệm trên toàn R, mặc dù nghiệm đó có thể duy nhất trong một khoảng đủ tốt nào đó. Như vậy làm thế nào để sau khi đưa về dạng chính tắc, mà ta có thể giải được và đi tới kết luận đó là nghiệm bài toán. Chẳng hạn $\latex u_{st}=0$ không xảy ra trên toàn $\ latex R^2 $ Nếu tập giá trị của (s,t) mà trù mật trong $\latex R^2 $ ta có thể lí luận bằng sự liên tục. Tuy nhiên, nếu điều này không xảy ra thì có cách nào vượt qua được khó khăn này không?
Câu hỏi của em có vẻ cũng không phải trọng tâm của bài lắm nhưng mà vì lúc nào bài tập thấy nó không thỏa mãn lắm nên em muốn hỏi cho rõ. Em cảm ơn thày.
Để trả lời các câu hỏi của em có lẽ nên qua thực hành cụ thể kiểm chứng thì tốt hơn.
Có một câu trả lời không hoàn toàn chính xác:
“Giải phương trình vi phân = Mò mẫm nghiệm của nó + thử lại+..”.
Vâng. Cụ thể là trong phần bài tập về nhà. Bài số 3. Ta tìm ra được đường cong đặc trưng là y+x+cos(x)=C và y+x-cos x=C.
Ta xét phép đặt s=y+x+cos(x), t=y+x-cos(x). Theo cách thông thường ta đặt u(x,y)=v(s,t). Tuy nhiên từ phương trình ta có thể thấy:
Như vậy hàm v (hàm đối với s và t) ở trên kia, miền xác định chỉ là một dải. Sau khi rút gọn thì phương trình sẽ chỉ xảy ra ở trên dải đó. Với những điểm ở trong thì ta có thể giải bình thường. Nhưng với những điểm trên biên ( tức là |s-t|=2, hay khi đó sin(x)=0, tức là Jabcobian bằng 0) ta lại gặp một chút vướng.
Sau khi viết ra cái này, em cũng hình dung cách giải quyết vấn đề trong bài toán này. Nhưng mà có vẻ nó không phải lúc nào cũng dễ dàng như trong trường hợp này, khi ta có thể xác định được miền (s,t).
Cảm nhận của em “không phải lúc nào cũng dễ dàng như trong trường hợp này” là đúng!
Nói chung việc giải phương trình vi phân, đặc biệt là giải ra nghiệm hiển, là rất khó! Trước mắt ta tập làm quen một vài phương pháp giải trong một vài trường hợp đơn giản để học cách ứng xử của một số phương trình vi phân.
Em không biết cách viết Latex, nhờ thày sửa hộ em bài viết trên cho dễ nhìn!
Vâng. Em cảm ơn thày nhiều. Có gì khúc mắc em sẽ hỏi thêm!
prime
Kính gửi Thầy Tuấn! Hiện tại em xin đăng ký viết bài giữa kỳ
BT2: Các kết quả chính về không gian Sôbolev
em rất muốn Thầy có thể cho em một cuốn sách về vấn đề này và Thầy có thể hướng dẫn cách viết: đặt vấn đề và thực hiện như thế nào cho hợp lý bởi BT2: rất rộng.
Thầy phản hồi giúp em qua: hoangduchung@hus.edu.vn
Em xin cảm ơn Thầy!
Thứ 4, ngày 29/02/2012, ta gặp nhau và sẽ bàn cụ thể về bài tập này.
Tiện đây, hôm đấy các bạn lớp Cao học 2010-2012 cho tôi danh sách các nhóm và các nhóm nhận bài tập nhóm cụ thể.
Các bạn lớp CH 10-12 làm về “Một số hướng nghiên cứu bài toán biên elliptic” có thể lấy trong
“Elliptic Problems in Nonsmooth Domains” của P. Grisvard,
“Elliptic and parabolic Equations With Discontinuous Coefficients” của A. Maugeri, P. K. Palagachev, L. G. Softova.
Lấy các tài liệu trên qua đường link
http://www.box.com/s/447a0bb4b74375f8ffdd
http://www.box.com/s/17aee59492efd8e97d58