Trao đổi bài giảng lớp K55A1T

Tháng Chín 9, 2013Tháng Chín 23, 2013datuan5pdes

Giáo trình chính tôi dùng để dạy các bạn có thể lấy ở

Giáo trình Lý thuyết hàm suy rộng

Phần bài tập tôi sẽ dùng

+bài tập tôi đã soạn

Bài tập môn Lý thuyết Hàm suy rộng

+ bài tập trong cuốn “The theory of generalised functions” của D. S. Jones, các bạn lấy theo đường link

https://app.box.com/s/brwrmtkp5kppvjip3edf

(chú ý file này đọc bằng phần mềm windjview).

Các bạn sinh viên có thể trao đổi với tôi bằng cách viết vào phần “Comments” ở cuối bài viết.

datuan5pdes Tháng Chín 10, 2013 / 3:08 chiều

Ngày 09/09/2013, tôi đã giới thiệu từ đâu xuất hiện hàm Dirac bằng hai cách:

+ cách thứ nhất: lấy đạo hàm hàm Heavisde,

+ cách thứ hai: chuyển qua giới hạn hàm dạng Gauss.

Các bạn có thể tham khảo thêm ở trang

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 16, 2013 / 10:00 chiều

Ngày 16/09/2013, tôi bắt đầu chính thức đi vào nội dung bài giảng. Tôi trình bày sự tồn tại của phân hoạch đơn vị. Trong một số trường hợp ta có phân hoạch đơn vị khá đẹp.

+) Trên đường thẳng thực với phủ mở gồm

$U_j=(j2\pi, (j+1)2\pi)$ , $j\in\mathbb Z$ ,

các bạn xem trong luận văn của Phạm Vân Hà

Click to access luanvanha3.pdf

+) Trên đường thẳng thực, bỏ đi điểm gốc, với phủ mở gồm

$U_j=\{x|\; 2^{j-1}<|x|<2^{j+1}\}$ , $j\in\mathbb Z$ ,

các bạn có thể xem trong bài

"Estimates for translation invariant operators in $L^p$ spaces", Acta Math., December 1960, Volume 104, Issue 1-2, pp 93-140

Click to access estimates-for-translation-invariant-operators-in-l-p-spaces.pdf

của L. Hormander.

Cả hai kiểu phân hoạch đơn vị trên đều được dùng trong

Click to access Joint-paper.pdf

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 17, 2013 / 8:02 sáng

Một số bài tập về giá

Cho f, g là các hàm liên tục xác định trên tập mở $\Omega$ trong $\mathbb R^n$ . Hãy chứng minh các khẳng định sau.

i) $supp(f_r)\subset rsupp(f)$ ,

$supp(T_h f)\subset h+supp(f)$ ,

trong đó $r>0, h\in \mathbb R^n$ , $f_r(x)=f(\frac{x}{r})$ , $T_h f(x)=f(x-h)$ và miền $\Omega$ bất biến với phép vị tự (trường hợp $r, f_r$ , chẳng hạn nón), hay bất biến với phép dịch chuyển (trường hợp $h, T_h f$ , chẳng hạn không gian con chứa $h$ ).

ii) $supp(f+g) \subset supp(f)\cup supp(g)$ ,

$supp(fg)\subset supp(f)\cap supp(g)$ .

iii) Nếu $f$ có đạo hàm riêng đến cấp k liên tục thì $supp(D^\alpha f)\subset supp(f)$ với $|\alpha|\le k$ .

iv) Nếu $f, g \in L^1(\Omega)$ thì $supp(f*g)\subset supp(f)+ supp(g)$ .

v) Khi nào các bao hàm thức trên là dấu ‘=’. Các khẳng định trên còn đúng khi các thay giả thiết liên tục của các hàm $f, g$ bằng giả thiết đo được với định nghĩa giá

$supp(f)=\{x\in\Omega|\; \forall r>0 \; m\{y\in B_r(x)\cap\Omega|\; f(y)\not=0\}>0\}.$

Một số bài về $\epsilon-$ lân cận của một tập hợp như sau.

Cho A, B là các tập con trong không gian. Hãy chứng minh các khẳng định sau.

i) Tập $A+\bar{B}_\epsilon(0)$ là tập đóng, còn $A+B_\epsilon(0)$ lại là tập mở. Các tập này đều chứa tập A.

ii) $A+B_{\epsilon_1}(0)+B_{\epsilon_2}(0)=A+B_{\epsilon_1+\epsilon_2}(0)$ .

iii) Nếu A là tập compact nằm trong tập mở B thì sẽ có số dương r để $A+B_r(0)\subset B$ .

Trả lời
nguyettt1196 Tháng Chín 20, 2013 / 5:21 chiều

Thưa thầy cho em hỏi một số vấn đề như sau:
Theo như bài giảng của thầy thì cách định nghĩa của các không gian D, E, S là:
(a) Không gian $D(\Omega)$ .
+Cho $\Omega$ mở $\mathbb{R}^n$ , ký hiệu $C_0^{\infty}(\Omega)$ là kg tuyến tính các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong $\Omega$ . Trong $C_0^{\infty}(\Omega)$ ta đưa vào một khái niệm về sự hội tụ như sau:
Ta nói rằng, dãy $\{\varphi_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ trong $C_0^{\infty}(\Omega)$ được gọi là hội tụ nếu:
(i)Tồn tại tập K compact chứa trong $\Omega$ mà $supp(\varphi_m)\subset K, m=1,2, \dots.$
(ii)Với mọi đa chỉ số $\alpha$ ta có $\lim_{m,l\to\infty} \sup_{K}|D^{\alpha}\varphi_m- D^{\alpha}\varphi_l|=0$ .
Không gian tuyến tính $C_0^{\infty}(\Omega)$ cùng với sự hội tụ được định nghĩa như trên được gọi là không gian $D(\Omega)$ .

(b) Không gian Montel $E(\mathbb{R}^n)$ .
Ký hiệu $C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ là kg tuyến tính các hàm khả vi vô hạn trong $\mathbb{R}^n$ . Trong $C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ ta đưa vào một khái niệm về sự hội tụ như sau:
Ta nói rằng, dãy $\{\varphi_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ trong $C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ được gọi là hội tụ nếu:
Với mọi đa chỉ số $\alpha$ ta có $\lim_{m,l\to\infty} \sup_{K}|D^{\alpha}\varphi_m- D^{\alpha}\varphi_l|=0$ .
Không gian tuyến tính $C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ cùng với sự hội tụ được định nghĩa như trên được gọi là không gian Montel $E(\mathbb{R}^n)$ .

(c) Không gian Schwartz $S(\mathbb{R}^n)$ .
Ký hiệu $S(\mathbb{R}^n)$ là tập tất cả các hàm $\varphi(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ thỏa mãn điều kiện sau:
Với mọi đa chỉ số $\alpha,\beta$ tồn tại hằng số $C_{\alpha\beta}>0$ sao cho:
$\sup_{\mathbb{R}^n} |x^{\beta} D^{\alpha} \varphi(x)|\leq C_{\alpha\beta}$ .
Trong $S(\mathbb{R}^n)$ ta đưa vào khái niệm về sự hội tụ sau:
Ta nói rằng, dãy $\{\varphi_m(x)\}_{m=1}^{\infty}$ trong $S(\mathbb{R}^n)$ được gọi là hội tụ nếu:
Với mọi đa chỉ số $\alpha,\beta$ ta có $\lim_{m,l\to\infty} \sup_{\mathbb{R}^n}|x^{\beta}(D^{\alpha}\varphi_m- D^{\alpha}\varphi_l)|=0$ .
Tập $S(\mathbb{R}^n)$ cùng với sự hội tụ được định nghĩa như trên gọi là không gian Schwartz $S(\mathbb{R}^n)$ .
Nhưng em có đọc trong một số tài liệu tiếng anh thì người ta định nghĩa đơn giản như sau:
+ Không gian $D(\Omega)$ là không gian tuyến tính tất cả các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong $\Omega$ hoặc đơn giản hơn nữa là không gian bao gồm tất cả các hàm test.
+Không gian $E(\mathbb{R}^n)$ là không gian tuyến tính tất cả các hàm khả vi vô hạn trong $\mathbb{R}^n$ .
+Không gian $S(\mathbb{R}^n)$ là không gian tuyến tính tất cả các hàm khả vi vộ hạn trong $\mathbb{R}^n$ thỏa mãn điều kiện:
Với mọi đa chỉ số $\alpha,\beta$ tồn tại hằng số $C_{\alpha\beta}>0$ sao cho:
$\sup_{\mathbb{R}^n} |x^{\beta} D^{\alpha} \varphi(x)|\leq C_{\alpha\beta}$ .
Còn các khái niệm về sự hội tụ trong D,E,S thì người ta tách riêng. Vậy nếu khi làm bài em định nghĩa ngắn gọn như thế này có bị trừ điểm không? Em xin cảm ơn!

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 20, 2013 / 9:08 chiều
  
  Tôi không rõ câu hỏi cuối của em vì tôi không là người chấm! Có vài điểm lưu ý trong các định nghĩa em đưa ra.
  
  i)Trong một số định nghĩa em viết chung chung
  
  $\sup_{\mathbb R^n}|x^\alpha(D^\alpha \varphi_k- D^\alpha\varphi_l)|$ .
  
  Các hàm trong biểu thức lấy giá trị tại đâu? Việc lấy sup theo biến nào?
  
  Trong giáo trình tôi dạy, tôi không dùng cách này để định nghĩa sự hội tụ mà tôi dùng cách này để định nghĩa dãy Cauchy. Nhờ vậy tôi mới phải chứng minh tính đầy đủ của các không gian này. Em xem lại giáo trình của tôi
  
  Click to access hsr11.pdf
  
  ii) Cách định nghĩa không gian thứ hai, chưa cho khái niệm hội tụ ngay, mới chỉ xác định các không gian véc-tơ. Trên các không gian véc-tơ này có nhiều cách xây dựng khái niệm hội tụ nên cần gắn vào chúng một khái niệm hội tụ xác định để không bị hiểu nhầm.
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 23, 2013 / 9:17 sáng

Sáng nay 23/09/2013, tôi đã trình bày hộ bạn Nguyễn Đức Hưng phần không gian $\mathcal D.$ Tôi hy vọng những lần tới không phải làm công việc như này.

Trong không gian $\mathcal D$ khi kiểm tra khái niệm hội tụ:

+ nếu bỏ điều kiện giá ta sẽ có khái niệm hội tụ hoàn toàn khác, yếu hơn hội tụ $\mathcal D$ , chẳng hạn ví dụ

$\varphi_m(x)=\rho(x-m)$ ;

+ nếu điều kiện dãy các đạo hàm riêng hội tụ đều được thay bằng dãy hàm hội tụ đều ta cũng có khái niệm hội tụ khác, yếu hơn hội tụ trong $\mathcal D$ , chẳng hạn ví dụ

$\varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(mx)$ .

Tóm lại ta cần kiểm tra đầy đủ hai điều kiện trong định nghĩa.

Về tính chất tôi còn thiếu tính chất một dãy hội tụ trong $\mathcal D$ thì dãy đạo hàm riêng của nó cũng sẽ hội tụ trong $\mathcal D.$

Một chú ý nữa: khi chứng minh một kết quả ta cần xác định:

+ ta cần chứng minh điều gì?

+ ta có điều gì?

Các bạn trình bày không gian $\mathcal D'$ lưu ý về chuyện bạn Nguyễn Đức Hưng và sớm gặp tôi trong tuần này vào thứ Hai và thứ Sáu.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 23, 2013 / 9:23 sáng
  
  Chú ý
  
  $\rho^{,}(0)=0$ và $\rho^{,}(mx)\to 0$ khi $m\to \infty, x\not=0$ .
  
  Do đó trên $\mathbb R$
  
  $\varphi_m^{,}$ hội tụ điểm về $0$ .
  
  Tuy nhiên
  
  $\varphi^{,}_m$ không hội tụ đều đến $0$ trên $\mathbb R.$
  
  Các bạn thử xem lý do vì sao lại thế?
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 23, 2013 / 1:33 chiều

Một số bài tập liên quan đến không gian $\mathcal D$ .

Kiểm tra lại các ví dụ tôi đã đưa trên lớp. Cụ thể gồm các ví dụ sau.

VD1: Dãy hàm $\varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(x), x\in\mathbb R$ hội tụ đến $0$ trong $\mathcal D.$

VD2: Dãy hàm $\varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(mx), x\in\mathbb R$ thỏa mãn điều kiện (1) nhưng không thỏa mãn điều kiện (2) trong phần định nghĩa khái niệm hội tụ trong $\mathcal D$ .

VD3: Dãy hàm $\varphi_m(x)=\dfrac{1}{m}\rho(x-m), x\in\mathbb R$ thỏa mãn điều kiện (2) nhưng không thỏa mãn điều kiện (1) trong phần định nghĩa khái niệm hội tụ trong $\mathcal D$ .

Bạn Nguyễn Đức Hưng có đưa tôi một ví dụ khác khá giống ví dụ 3 như sau

Xét dãy hàm

$g_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m \dfrac{1}{k}\rho(x-k)$ .

Chứng tỏ rằng dãy hàm $g_m$ thỏa mãn điều kiện (2) nhưng không thỏa mãn điều kiện (1) trong phần định nghĩa khái niệm hội tụ trong $\mathcal D$ .

Ngoài các phép toán: phép toán tuyến tính, phép nhân với hàm khả vi vô hạn, phép lấy đạo hàm riêng là các phép toán liên tục dãy trên không gian $\mathcal D$ , nghĩa là chúng biến dãy hội tụ thành dãy hội tụ, các biến đổi sau đây cũng có tính chất như vậy.

+ Phép dịch chuyển: $T_h: \mathcal D(\mathbb R)\to \mathcal D(\mathbb R), T_h\varphi(x)=\varphi(x-h)$ trong đó $h$ là số thực cho trước, là ánh xạ tuyến tính liên tục dãy.

Từ đó ta có: quá trình lấy đạo hàm là một quá trình liên tục trong $\mathcal D(\mathbb R).$ Cụ thể

$\dfrac{1}{h}(T_h\varphi(x)-\varphi(x))$ hội tụ đến $\varphi^{,}(x)$ trong $\mathcal D$ khi $h\to 0,$

với mỗi hàm $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ cho trước.
+ Phép co giãn: $D_r: \mathcal D(\mathbb R)\to \mathcal D(\mathbb R), D_r\varphi(x)=\varphi(\frac{x}{r})$ trong đó $r$ là số thực dương cho trước, là ánh xạ tuyến tính liên tục dãy.

Bài tập: Kiểm tra lại các khẳng định trên.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 23, 2013 / 2:15 chiều

Tôi quên chưa hỏi lớp trưởng về danh sách lớp và danh sách các nhóm bài tập. Lưu ý bài tập lần 1 này sẽ nộp vào khoảng giữa tháng 10/2013. Lớp trưởng lớp K55A1T sớm đưa tôi các danh sách này.

Trả lời
hà đức thái Tháng Chín 27, 2013 / 9:22 chiều

em thưa thầy các định nghĩa “good funtion” vaf “fairy good function” ở trong quyển The_Theory_of_Generalised_Function của D.S.Jone s khi dịch sang tiếng việt thì nó là gì ạ. Và tại sao trong định nghĩa của hàm “good function” lại cần dấu giá trị tuyệt đối ở phần hàm ạ.(vì trong R thì hàm trị tuyệt đối f tiến đến 0 và f tiến đến 0 khi x tới một giá trị nào đó kể cả vô cùng là tương đương nhau nếu f liên tục)

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 27, 2013 / 9:35 chiều
  
  “Good function” là hàm giảm nhanh, vì nó giảm nhanh hơn mọi đa thức khi $|x|\to\infty$ .
  
  “Fairly good function” là hàm tăng chậm, vì nó tăng chậm hơn một đa thức nào đó khi $|x|\to\infty$ .
  
  Đúng là có dấu trị tuyệt đối hay không là như nhau.
  
  Một điểm cần chú ý: trong cuốn của D. S. Jones không nói đến các không gian $\mathcal D, \mathcal E$ .
  
  Trả lời
  - hà đức thái Tháng Chín 27, 2013 / 10:10 chiều
    
    khái niệm trị tuyệt đối của x tiến đến dương vô cùng ohải hiểu thế nào ạ
  - datuan5pdes Tháng Chín 27, 2013 / 10:17 chiều
    
    Chẳng hạn
    
    $\lim\limits_{|x|\to\infty}f(x)=0$
    
    nếu với mỗi $\epsilon>0$ đều tìm được $R=R(\epsilon)>0$
    
    sao cho
    
    $|f(x)|\le\epsilon$ khi $|x|>R.$
    
    Có thể hình dung một cách hình học: đồ thị của hàm tiến về 0 ở cả hai đầu đường thẳng thực một cách “đều”.
hà đức thái Tháng Chín 27, 2013 / 11:54 chiều

tức là nếu lim khi trị tuyệt đối của x tiến đến dương vô cùng của f bằng 0 thì lim khi x tiến đến âm và dương vô cùng của f cũng phải bằng 0 đúng không ạ. Chiều ngược lại tức là nếu lim x tiến đến âm và x tiến đến dương vô cùng của f bằng 0 thì lim tri tuyệt đối của x tiến đến vô cùng của f bằng 0 có đúng không ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 28, 2013 / 7:44 sáng
  
  Đơn giản hơn, em có thể hiểu
  
  f(x) tiến về 0 khi x tiến ra dương vô cùng
  
  và
  
  f(x) tiến về 0 khi x tiến ra âm vô cùng.
  
  Trả lời
hà đức thái Tháng Chín 28, 2013 / 10:26 sáng

em thưa thầy các ký hiệu $f \in K_{p}$ trong sách của D.S.Jone nghĩa là gì ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 28, 2013 / 12:13 chiều
  
  Định nghĩa và một số tính chất của không gian $K_p$ em có thể xem ở trang 58 trong sách của D. S. Jones. Tôi nói qua định nghĩa:
  
  $f\in K_p, 1\le p<+\infty$ nếu
  
  $f$ là hàm đo được trên đường thẳng thực và thỏa mãn
  
  có một số tự nhiên $N$ để
  
  $\int\limits_{\mathbb R} \dfrac{|f(x)|^p}{(1+x^2)^N}dx<\infty.$
  
  Ví dụ 22 trang 32 trong giáo trình của tôi ứng với trường hợp $p=1$ .
  
  Trả lời
hà đức thái Tháng Chín 28, 2013 / 10:28 sáng

tức là f thuộc vào không gian Kp thì không gian Kp là không gian gì ạ

Trả lời
hà đức thái Tháng Chín 28, 2013 / 4:02 chiều

em thưa thầy trong bài 8 í (iii) thì hàm dưới dấu tích phân là sgn(x.$e^{-x^{2}}$) hay là hàm (sgnx). $e^{-x^{2}}$ ạ.

Trả lời
- hà đức thái Tháng Chín 28, 2013 / 4:04 chiều
  
  bài 8 ý (iii) trang 65 ạ.
  
  Trả lời
  - datuan5pdes Tháng Chín 28, 2013 / 4:10 chiều
    
    Muốn gõ được công thức em đọc bên phải trang web có hướng dẫn cách gõ. Trưa nay tôi đã sửa lại công thức em gõ.
    
    Bài 8, ý (iii), tính toán một chút ta sẽ thấy
    
    $sgn(x)e^{-x^2}=sgn(xe^{-x^2}).$
    
    Tuy nhiên để đúng ý bài muốn hỏi, ta nên hiểu:
    
    $\int\limits_{-\infty}^\infty sgn\; xe^{-x^2}dx=\langle sgn\; x, e^{-x^2}\rangle$ .
    
    Nói cách khác: tính giá trị của hàm suy rộng $sgn(x)$ tại $e^{-x^2}.$
hà đức thái Tháng Chín 28, 2013 / 4:14 chiều

nếu vậy thì có thêm phần e^(- x bình phương) vào để làm gì ạ vì sgn(x)=sgn(x.e^(-x bình phương)) ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 28, 2013 / 4:22 chiều
  
  Tôi nhầm:
  
  $sgn(x)e^{-x^2}\not=sgn(xe^{-x^2})$ !
  
  Trả lời
haducthai Tháng Chín 28, 2013 / 6:08 chiều

thế đề bài của bài 8 ý (iii) thì hàm trong dấu tích phân là hàm gì ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 28, 2013 / 6:10 chiều
  
  Hàm dưới dấu tích phân
  
  $sgn(x) e^{-x^2}$ .
  
  Lúc này hàm thông thường sgn(x) được xem như hàm suy rộng tác động lên hàm cơ bản $e^{-x^2}$ .
  
  Trả lời
hà đức thái Tháng Chín 29, 2013 / 12:58 chiều

Em thưa thầy trong tờ bài tập phát cho các nhóm thì thầy bảo tất cả các nhóm đều làm bài tập chương 1. Thì các bài tập chương 1 đấy nằm trong sách nào ạ và mỗi nhóm phải làm hết tất cả các bài trong đấy hay chỉ cần làm bao nhiêu bài thôi ạ

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 29, 2013 / 2:19 chiều
  
  Bài tập chương 1 nằm trong giáo trình của tôi, cụ thể
  
  Click to access btc1.pdf
  
  Nhóm nào cũng phải làm hết bài tập phần này, gồm 9 bài tập.
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 30, 2013 / 9:40 sáng

Hôm nay 30/09/2013, bạn Hà Đức Thái trình bày về không gian các hàm suy rộng. Vì thời gian hạn chế nên tôi yêu cầu bạn không trình bày phần các phép toán tuyến tính và phép nhân với một hàm khả vi vô hạn. Phần này các bạn xem trong giáo trình, có gì thắc mắc hoặc hỏi tôi hoặc trao đổi với bạn Thái. Tiếp theo bạn Thái trình bày đạo hàm suy rộng. Phần nguyên hàm suy rộng bạn Thái sẽ trình bày trong tuần tới. Như vậy trong tuần tới, ngày 07/10/2013:

– bạn Thái trình bày phần nguyên hàm suy rộng,

– bạn Lê Đức Nhiên trình bày phần cấp, sự hội tụ và địa phương hoá.

Như hôm nay tôi hỏi bạn Nguyễn Viết Đại về phần không gian $\mathcal E.$ Bạn chưa chuẩn bị gì. Tránh tình trạng này, bạn Võ Thị Hạnh nên sớm đọc về phần không gian $\mathcal E'$ để tuần sau có thể trao đổi với tôi được. Cũng như vậy với các bạn trình bày tiếp theo. Rất mong các bạn chuẩn bị sớm.

Phần bài tập các bạn sẽ nộp vào 21/10/2013. Các bạn sẽ lên chữa bài tập để chuẩn bị cho kiểm tra giữa kỳ vào đầu tháng 11/2013.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Chín 30, 2013 / 10:05 sáng

Tôi xem qua danh sách lớp và danh sách nhóm thấy một số vấn đề.

– Bạn Nguyễn Đức Hưng nhận trình bày không gian $\mathcal D$ không có trong danh sách lớp.

– Bạn Trần Thị Soa làm bài tập cùng nhóm 6 không có trong danh sách lớp.

– Bạn Cao Văn Ninh có trong danh sách lớp nhưng không tham gia nhóm bài tập nào?

Chú ý nếu bạn Ninh không tham gia nhóm bài tập nào thì điểm thường xuyên sẽ là 0 điểm.

Lớp trưởng lớp K55A1T xem lại các trường hợp trên giúp tôi.

Trả lời
- Trần Nhâm Tháng Mười 8, 2013 / 8:44 chiều
  
  Thầy ơi, bạn Cao Văn Ninh chuyển trường được 1 năm rồi, chắc tại lớp danh sách ở văn phòng khoa chưa hủy thầy ạ
  
  Trả lời
  - datuan5pdes Tháng Mười 8, 2013 / 8:47 chiều
    
    Cảm ơn em.
haducthai Tháng Chín 30, 2013 / 4:14 chiều

em thưa thầy cho em hỏi là trong bài tập 6 chương 1 trong giáo trình của thầy thì định nghĩa sự hội tụ đấy như nào ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Chín 30, 2013 / 6:05 chiều
  
  Bài 6 có hai ý:
  
  – kiểm tra sự hội tụ trong $\mathcal D'$ , theo ngôn ngữ $\delta-\epsilon$ , chẳng hạn câu 6(i),
  
  lấy $\varphi\in\mathcal D'$ cố định,
  
  lấy $\delta>0$ bất kỳ, cần tìm $\epsilon_0>0$ để
  
  $\forall \epsilon\in (0, \epsilon_0)$ có $|\langle \dfrac{1}{\sqrt{\pi\epsilon}}e^{-\frac{x^2}{\epsilon}}, \varphi\rangle -\varphi(0)|<\delta.$
  
  – kiểm tra hội tụ trong $S'$ .
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 3, 2013 / 2:25 chiều

Trong phần trình bày của bạn Hà Đức Thái hôm 30/09/2013 có một điểm khá thú vị khi nói về biến của “hàm”. Bạn có nói: với hàm đo được việc thay đổi giá trị của hàm tại một điểm hay trên một tập có độ đo không (biến của hàm hiểu theo nghĩa thông thường, là phần tử trong không gian hữu hạn chiều) không thay đổi tính chất của hàm ban đầu, tuy nhiên khi coi nó là hàm suy rộng thì việc thay đổi giá trị của nó tại một điểm (hay là một hàm trong không gian các hàm cơ bản) thì việc thay đổi sẽ làm tính chất của hàm thay đổi. Sự thú vị ở đây: thông thường khi thấy hai sự việc khác nhau ở một điểm nào đó ta kết luận nó khác nhau. Vậy với hàm đo được ta nên hiểu biến của nó là gì để có sự thông thường này?

Một ý nữa, hàm Heaviside không có đạo hàm thông thường tại gốc, tuy nhiên nó có đạo hàm suy rộng. Nhớ rằng đạo hàm suy rộng lại là hàm suy rộng và biến của nó là hàm cơ bản nên quay trở lại khúc mắc về đạo hàm tại gốc cần hiểu là gì? Ta nhớ lại rằng việc tính đạo hàm tại một điểm nhằm xem sự biến thiên của hàm xung quanh điểm đó. Đạo hàm suy rộng lúc này giúp ta nhìn lại việc đó bằng cách quan sát tác động của đạo hàm suy rộng vào các hàm cơ bản mà giá trị của nó tập trung ở gần điểm gốc (nghĩa là nó chỉ khác $0$ ở gần gốc).

Trả lời
hà đức thái Tháng Mười 5, 2013 / 9:50 sáng

thưa thầy cho em hỏi là trong định nghĩa giới hạn theo ngôn ngữ $\delta-\epsilon$ thì số $\epsilon_{0}$ chỉ phụ thuộc vào $\delta$ hay phụ thuộc vào cả $\delta$ và $\latex \varphi_{0}$. Tức là số $\latex \epxilon_{0}$ chung cho mọi $\latex varphi$ hay mỗi $\latex varphi$ có một số khác nhau ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 5, 2013 / 10:53 sáng
  
  $\epsilon_0$ phụ thuộc cả $\delta$ và $\varphi$ , nói chung sẽ không giống nhau với mỗi hàm $\varphi$ . Có thể thấy ngay điều này nhờ tính thuần nhất của hàm suy rộng.
  
  Khi gõ công thức chữ latex không có dấu \ phía trước và epsilon chứ không phải epxilon.
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 6, 2013 / 9:39 chiều

Một số bài tập về sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng các bạn có thể tham khảo

https://datuan5pdes.wordpress.com/?s=h%E1%BB%99i+t%E1%BB%A5

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 7, 2013 / 10:12 sáng

Hôm nay, 07/10/2013, bạn Hà Đức Thái trình bày nốt phần nguyên hàm suy rộng. Việc tìm nguyên hàm suy rộng nói chung là việc khó hơn tính đạo hàm suy rộng. Trong một vài trường hợp, cụ thể khi kiểm tra, ta có thể mò nguyên hàm suy rộng được.

Sau đó bạn Lê Đức Nhiên trình bày phần cấp của hàm suy rộng. Tuần tới bạn Nhiên sẽ trình bày sự hội tụ trong $\mathcal D'$ và địa phương hóa. Như vậy tuần sau:

– bạn Nhiên trình bày phần còn lại của mình,

– bạn Nguyễn Viết Đại trình bày không gian $\mathcal E$ .

Chú ý phần tính cấp của hàm suy rộng là một trong những phần khó. Nếu cấp bằng 0 công việc khá dễ. Tuy nhiên cấp bằng 1 bắt đầu khó vì ta phải làm hai việc:

– chứng minh hàm suy rộng không có cấp 0,

– chứng minh nó có cấp không lớn hơn 1.

Phần khó nằm ở việc chứng minh nó không có cấp 0 vì ở đây ta phải mò mẫm tìm hàm!

Bạn Nhiên có phát biểu điều kiện cần và đủ để một phiếm hàm tuyến tính trở thành một hàm suy rộng trên $\Omega$ là

nó có cấp hữu hạn trên bất kỳ tập con compact $K$ của $\Omega$ .

Cần chú ý trong Định lý này hai điểm sau.

– Nếu bỏ chữ compact Định lý nói chung là sai vì có những hàm suy rộng có cấp vô hạn trên $\Omega$ .

– Với mỗi tập con compact $K$ khác nhau thì cấp của hàm suy rộng trên đó nói chung khác nhau.

Lưu ý bạn Hoàng Cao Khải, trình bày không gian $S$ , nên đọc trước để tuần sau có thể gặp tôi.

Trả lời
haducthai Tháng Mười 7, 2013 / 10:46 sáng

em thưa thầy cái $\int_{mathbb R}\sqrt{\dfrac{2}{\pi\epsilon}}\cos(\dfrac{x^2}{\epsilon})$ bằng 1 có được dùng luôn không ạ. Còn nếu phải chứng minh thì cần dùng gì để chứng minh nó ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 7, 2013 / 1:27 chiều
  
  Tích phân Fresnel
  
  $\int\limits_{\mathbb R} \cos(x^2)dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
  
  được dùng luôn.
  
  Em có thể xem cách tính tích phân Fresnel theo thặng dư (trong hàm biến phức) ở
  
  Click to access fresnel_integrals.pdf
  
  Một cách khác, ta chú ý
  
  $\int\limits_0^\infty \cos(x^2)dx=\int\limits_0^\infty\dfrac{\cos t}{2\sqrt{t}}dt$ ,
  
  $\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_0^\infty e^{-tu^2}du=\dfrac{1}{\sqrt{t}}, t>0$ ,
  
  $\int\limits_0^\infty e^{-kt}\cos{t}dt\int\limits_0^\infty e^{-tu^2}du=\int\limits_0^\infty du \int\limits_0^\infty e^{-(k+u^2)t}\cos tdt, k\ge 0$ .
  
  Trả lời
Trần Nhâm Tháng Mười 8, 2013 / 8:41 chiều

Thầy ơi cho em hỏi hàm sech ( bài tập 1 chương 2 trang 58) được định nghĩa như thế nào vậy thầy?

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 8, 2013 / 8:48 chiều
  
  Em có thể xem định nghĩa ở
  
  http://vi.wikipedia.org/wiki/H%C3%A0m_hypebolic
  
  Trả lời
  - Trần Nhâm Tháng Mười 8, 2013 / 10:48 chiều
    
    em cảm ơn thầy ạ
datuan5pdes Tháng Mười 9, 2013 / 10:24 chiều

Một cách sinh ra hàm suy rộng Dirac khi hỏi tích phân phụ thuộc tham số sau

$\int\limits_{\mathbb R}e^{-ix\xi}dx$ là gì?

Một điểm chú ý khác: nếu một hàm có đạo hàm hoặc thông thường hoặc suy rộng bằng 0 thì nó là hằng số.

Vậy hàm Cantor, hàm đơn điệu, khác hằng số, có đạo hàm thông thường bằng 0 h.k.n thì đạo hàm suy rộng của nó là gì?

Trả lời
- hà đức thái Tháng Mười 10, 2013 / 10:29 chiều
  
  các hàm bậc thang như làm hàm phần nguyên cũng thuộc lớp các hàm ở trên đúng không ạ.
  
  Trả lời
  - datuan5pdes Tháng Mười 10, 2013 / 11:22 chiều
    
    Hàm phần nguyên là hàm đơn điệu, có đạo hàm bằng 0 h.k.n nhưng nó không liên tục mà gián đoạn loại I. Tại những điểm gián đoạn khi lấy đạo hàm sẽ sinh ra hàm Dirac.
    
    Với hàm Cantor là hàm liên tục, đạo hàm suy rộng của nó sẽ như nào? Chẳng hạn hàm $|x|$ khi lấy đạo hàm suy rộng không xuất hiện hàm Dirac!
datuan5pdes Tháng Mười 11, 2013 / 4:21 chiều

Câu hỏi tương tự: đạo hàm suy rộng của các hàm liên tục không khả vi mọi nơi (nowhere differential functions) là hàm suy rộng gì?

Các bạn có thể tìm hiểu các hàm liên tục không khả vi mọi nơi trong luận văn

Click to access LTU-EX-03320-SE.pdf

Cũng có bài báo tính đạo hàm cấp không nguyên của hàm Weierstrass, một trong các hàm liên tục không khả vi mọi nơi.

Click to access 9609016v2.pdf

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 14, 2013 / 11:14 sáng

Hôm nay 14/10/2013, bạn Nguyễn Viết Đại trình bày xong phần không gian $\mathcal E$ với kết thúc là ví dụ về một dãy hội tụ trong $\mathcal E$ nhưng không hội tụ trong $\mathcal D$ . Tuy nhiên ví dụ đưa ra khi $\Omega=\mathbb R$ . Với $\Omega$ khác thì ví dụ như nào? Bạn Đại cũng đưa ra một số cách kiểm tra sự hội tụ trong $\mathcal E$ với việc phân tích tập $\Omega$ thành hợp lồng nhau. Bạn Thái có nêu câu hỏi về sự phụ thuộc phân tích hay không? Câu trả lời không phụ thuộc. Trong quá trình kiểm tra sự tương đương giữa việc lấy sup trên bất kỳ tập compact K như trong Định nghĩa và trên các phân tích, bạn Đại đưa ra chứng minh phụ thuộc vào phân tích, bạn Thái đưa ra gợi ý có thể trích ra phủ hữu hạn từ phủ mở của một tập compact dẫn đến cách chứng minh không phụ thuộc phân tích.

Tiếp đến bạn Lê Đức Nhiên trình bày khái niệm hội tụ trong $\mathcal D'$ và hai ví dụ cụ thể. Một ví dụ chỉ cần dùng tính liên tục của hàm thử, ví dụ kia phức tạp hơn cần đến giá và tính khả vi của hàm thử và kỹ thuật tách tích phân. Bạn Thái có cách tách tích phân đơn giản hơn.

Phần địa phương hoá của bạn Nhiên sẽ chuyển một phần cho bạn Võ Thị Hạnh. Tuần sau bạn Hạnh bắt đầu không gian $\mathcal E'$ . Bạn Hoàng Cao Khải sẽ trình bày không gian $S$ tiếp đó. Sau đó ta sẽ chữa bài tập chuẩn bị thi giữa kỳ. Không gian $S'$ sẽ được trình bày sau khi thi giữa kỳ.

Chú ý tuần sau là hạn cuối nộp bài tập lần 1.

Trả lời
hà đức thái Tháng Mười 18, 2013 / 10:16 chiều

Em thưa thầy nếu một hàm suy rộng f có cấp bằng một số m cố định trên mọi tập K compact trong R thì cấp của f trên R có bằng 0 không a.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 19, 2013 / 8:52 sáng
  
  Nói chung là không, chẳng hạn đạo hàm của hàm Dirac $\delta^,$ có cấp 1 trên toàn đường thẳng thực. Nếu cấp của hàm suy rộng là m trên mọi tập compact K trong đường thẳng thực thì nó có cấp m trên toàn đường thẳng thực. Lý do hàm cơ bản có giá compact.
  
  Trả lời
  - hà đức thái Tháng Mười 19, 2013 / 9:31 sáng
    
    Em xin lỗi ở trên em ghi nhầm câu hỏi. Câu hỏi em định hỏi là nếu hàm f có cấp m cố định trong mọi tập K compact trong R thì f có suy ra f có cấp m trên R không ạ,và khi làm bài thì có đựợc dùng điều đấy ngay không hay phải chứng minh ạ. Thầy cho em hỏi thêm là trong phần bài làm thì có được sử dụng luôn các kết quả trong các ví dụ trong giáo trình của thầy không hay là phải chứng minh lại các kết quả đấy ạ.
  - datuan5pdes Tháng Mười 19, 2013 / 10:11 sáng
    
    Khi làm bài tập thì cần chứng minh lại, còn khi làm bài kiểm tra thì không.
Pingback: Cấp của hàm suy rộng | Lý thuyết Hàm Suy Rộng
datuan5pdes Tháng Mười 21, 2013 / 10:36 sáng

Hôm nay 21/10/2013, bạn Võ Thị Hạnh trình bày xong phần không gian $\mathcal E^,$ . Có hai khái niệm quan trọng

– giá của hàm suy rộng,

– sự hội tụ trong $\mathcal E^,$ .

Trong phần giá có vài điểm lưu ý sau.

– Nếu hàm suy rộng là hàm liên tục thì giá theo nghĩa nào cũng là một. Cũng như vậy với hàm khả tích địa phương.

– Việc tìm giá có hai bước

+ định tính: cảm giác xem giá của nó là tập nào? Phần này thường nhận dạng biểu hiện thông thường của hàm suy rộng.

+ định lượng: chứng minh một cách logic điều trên. Phần này có hai ý:

– chứng minh hàm suy rộng bằng 0 tại những điểm không thuộc giá, ta cần xây dựng tập mở chứa điểm đang xét và không giao với giá;

– chứng minh hàm suy rộng khác 0 tại điểm thuộc giá, với mỗi lân cận cần xây dựng hàm khả vi vô hạn có giá nằm trong lân cận đang xét. Ta thường xuất phát từ hàm $\rho$ . Lưu ý không thể xuất phát từ đa thức.

Sự khó khăn tính giá suy rộng so với giá hàm liên tục cho thấy sự khác nhau $f(x)\not=0$ và $f\not=0$ tại x.

Phần sự hội tụ các bạn nên so sánh cặp $\mathcal D, \mathcal D^,$ và $\mathcal E, \mathcal E^,$ . Phần này bạn Hạnh chưa kịp đưa ra ví dụ so sánh thì hết giờ. Ngoài ra với sự hội tụ được đưa ra ta có không gian $\mathcal E^,$ là đầy đủ. Ý nghĩa của tính đầy đủ nằm ở việc kiểm tra sự hội tụ. Thay vì xem nó hội tụ đến đâu ta xem nó có là dãy Cauchy hay không?

Tuần sau bạn Hoàng Cao Khải sẽ trình bày không gian S. Sau đó ta chữa bài tập chuẩn bị thi giữa kỳ.

Hiện mới có một nhóm nộp bài tập. Tôi nhờ lớp trưởng thu các nhóm còn lại để sáng thứ 6 nộp cho tôi.

Trả lời
- Hạnh Minh Tháng Mười 21, 2013 / 8:01 chiều
  
  Vâng ạ, em cảm ơn thầy đã nhận xét rút kinh nghiệm và tóm tắt bài giảng ạ.
  
  Trả lời
hà đức thái Tháng Mười 21, 2013 / 7:52 chiều

Em thưa thầy cho em muốn hỏi là hôm nay khi nói về tính khả metric và bất khả chuẩn của không gian E thầy có nói đến khái niệm một tập “bị chặn”.Thầy có thể nói rõ hơn khái niệm này được không ạ, nếu có một định nghĩa về khái niệm tập bị chặn trong E thì càng tốt ạ. Và thầy có thể miêu tả hoặc cho công thức thì càng tốt về ánh xạ dùng để định nghĩa metric trong không gian E không ạ Cuối cùng là thầy có một ví dụ hay bài tập nào về tính metric của không gian E để có thể thấy là nếu hạn chế ánh xạ dùng để định nghĩa metric trong E trên không gian D thì không còn đủ tính chất của một metric nữa không ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 21, 2013 / 8:24 chiều
  
  Em có thể tham khảo bài
  
  Cơ sở lân cận – Tập bị chặn trong các không gian hàm cơ bản
  
  và
  
  Giới hạn xạ ảnh – Giới hạn cảm sinh
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 25, 2013 / 11:12 sáng

Tôi vừa xem qua phần bài tập nhóm. Tôi thấy hình như các bạn không làm bài trong cuốn

https://app.box.com/s/brwrmtkp5kppvjip3edf

Nếu đúng như vậy điểm bài tập lần này của các nhóm sẽ dưới 50%.

Trả lời
haducthai Tháng Mười 25, 2013 / 3:52 chiều

em tưởng thầy bảo bài tập nhóm nộp lần 1 chỉ làm hết 9 bài trong sách giáo trình thầy soạn thôi ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 25, 2013 / 3:58 chiều
  
  Bài tập tôi đã cho đến nay được một tháng rồi. Các bạn “tưởng” nhưng không hỏi xem mình “tưởng” như thế có đúng không? Bài tập lần 1 gồm tất cả các bài tôi giao trong tờ “Bài tập lần 1”
  
  https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2013/10/bc3a0i-te1baadp-hc3a0m-suy-re1bb99ng-k55a1t_le1baa7n-1.doc
  
  Trả lời
  - haducthai Tháng Mười 25, 2013 / 6:00 chiều
    
    lúc xem tờ bài tập bọn em không hiểu được hết ý của thầy nên làm thiếu thầy có thể gia hạn nộp bài tập đến buổi thứ hai tuần sau cho bọn em bổ sung nốt được không ạ.
  - datuan5pdes Tháng Mười 25, 2013 / 6:27 chiều
    
    Tôi cho các bạn đến cuối tuần sau nộp phần còn lại. Hy vọng các bạn thay đổi được chữ ‘tưởng’!
haducthai Tháng Mười 25, 2013 / 7:07 chiều

dạ vâng bọn em cảm ơn thầy ạ.

Trả lời
haducthai Tháng Mười 26, 2013 / 1:29 sáng

em thưa thầy bài 99 trang 14 sách D.S.Joins thì phải hiểu như nào ạ, và các bài tập 18 trang 103 25 trang 107 42 trang 120 và 1 trang 132 thì các tích phân, đạo hàm và chuỗi số hiểu theo nghĩa thông thường hay hiểu theo nghĩa nào ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười 26, 2013 / 11:53 sáng
  
  Các phép lấy đạo hàm và lấy giới hạn đều theo nghĩa suy rộng với chú ý không gian hàm cơ bản là không gian các hàm giảm nhanh. Cụ thể như sau.
  
  Cho các hàm suy rộng tăng chậm $f, F$ (các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm giảm nhanh). Ta có $f=DF$ đạo hàm suy rộng của $F$ nếu
  
  $\langle f, \varphi\rangle=-\langle F, D\varphi\rangle, \forall \varphi\in S.$
  
  Ta nói chuỗi hàm suy rộng tăng chậm $\sum\limits_{n=1}^\infty \gamma_n, \gamma_n\in S^,$ hội tụ nếu
  
  tồn tại giới hạn $\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=1}^N\langle\gamma_n, \varphi \rangle, \forall\varphi\in S.$
  
  Còn tích phân trong bài 18/trang 103 là các tích phân suy rộng.
  
  Bài 14/trang 99 (không có bài 99 trang 14) em tham khảo Định lý 4.2 ở ngay phía trên.
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười 28, 2013 / 6:09 chiều

Hôm nay 28/10/2013, bạn Hoàng Cao Khải do chuẩn bị chưa tốt nên tôi đã dừng và chuyển sang chữa bài tập. Sang tuần tới ta sẽ tiếp tục chữa bài tập. Các bạn lưu ý chuẩn bị các bài tập trong cuốn của D. S. Jones.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 4, 2013 / 2:12 chiều

Hôm nay 04/11/2013, tôi tiếp tục chữa bài tập. Trước khi chữa tôi có nhắc lại cách kiểm tra một phiếm hàm có là hàm suy rộng $\mathcal D', \mathcal E', S'$ cũng như sự hội tụ của một dãy trong các không gian này. Lưu ý trong $\mathcal E', S'$ có hai cách tiếp cận. Ngoài ra khi kiểm tra sự hội tụ ta còn có tiêu chuẩn Cauchy.

Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 6, 2013 / 3:34 chiều

Em thưa thầy cho em hỏi là trong bài kiểm tra thì các kết quả trong các phần ví dụ trong sách giáo trình của thầy như f thuộc vào L 1 loc thì f là hàm suy rộng, hay là f thuộc vào $K_{p}$ thì f là hàm tăng chậm,giá của một hàm liên tục theo nghĩa thông thường và theo nghĩa suy rộng là như nhau,… thì có được dùng ngay không ạ hay là phải chứng minh lại.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 6, 2013 / 3:38 chiều
  
  Các kết quả đó được sử dụng và không cần chứng minh khi làm các bài kiểm tra. Chú ý khi sử dụng cần kiểm tra xem chẳng hạn hàm có thuộc $L^1_{loc}$ hay không?
  
  Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 9, 2013 / 5:58 chiều

Thầy cho em hỏi bài này làm như nào ạ.Cho f đi từ D((0,1)) vào C như sau:

= $\sum\limits_{k=1}^\infty\int\limits^{1/k}_{1/(k+1)}\varphi(x)dx$
tìm một dãy hàm $f_{n}$ suy rộng có giá compact trong (0,1) sao cho $f_{n}$ hội tụ về f trong D'((0,1)).

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 9, 2013 / 6:07 chiều
  
  Dãy hàm $f_n$ được xác định bởi
  
  $\langle f_n, \varphi\rangle=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{n}{n+1}}\varphi(x)dx+\sum\limits_{k=2}^n \int\limits_{\frac{1}{k+1}}^{\frac{1}{k}}\varphi(x)dx.$
  
  Lúc đó supp $f_n=[1/(n+1), n/(n+1)].$
  
  Lưu ý $\varphi\in \mathcal D(0, 1)$ thì supp $\varphi$ là tập compact trong $(0, 1).$ Khi đó sẽ có số tự nhiên $n=n(\varphi)>1$ để
  
  supp $\varphi\subset[1/(n+1), n/(n+1)].$
  
  Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 9, 2013 / 6:16 chiều

Hay quá em chưa biết làm thế nào để xử lý được [1/2 ; 1] hóa ra là dùng các đoạn [1/2 ; n/(n+1)].

Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 11, 2013 / 11:32 sáng

Em thưa thầy cho em hỏi. Bài hôm nay kiểm tra sự hội tụ trong S’ của $\sum\limits_{n=1}^\infty nf(x-n,y-2n)$ .
Đặt $A_{n} =[n,n+1]\times[2n,2n+1]$ ;n=1,2,…
Đặt $f_{n}=f(x-n,y-2n)$ ; n=1,2,…
với f(x-n,y-2n)=1 nếu (x,y) thuộc $A_{n}$ và f(x-n,y-2n)=0 nếu (x,y) không thuộc $A_{n}$ .
xét $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R^{2})$ thỏa mãn:
$\varphi(x,y) >=0$ , với mọi (x,y)
$\varphi(x,y) =1$ , với mọi (x,y) thuộc $A_{1}$ .
(theo mệnh đề 1.3 thì hàm trên luôn tồn tại).
$\langle nf_{n},\varphi >= \int\limits_{A_{1}}n\varphi(x,y)dxdy = \int\limits_{A_{1}}ndxdy> = n\times S_{A_{1}} = n > 0$ .
điều trên đúng với mọi n=1,2,3,… nên $nf_{n}$ không hội tụ về 0 trong $\mathcal D'(mathbb R^{2})$ dẫn đến $nf_{n}$ không hội tụ về 0 trong $\mathcal S'(\mathbb R^{2})$ do đó chuỗi phân kỳ. Phần làm trên của em có chỗ nào bị nhầm ạ.

Trả lời
- haducthai Tháng Mười Một 11, 2013 / 11:35 sáng
  
  À rồi em thấy chỗ em bị nhầm rồi ạ. Các tập $A_{n}$ trong phần chọn của em nó không lồng nhau nên phần đánh giá bị sai.
  
  Trả lời
  - datuan5pdes Tháng Mười Một 11, 2013 / 6:11 chiều
    
    Chính vì $A_n$ không lồng nhau mà chuỗi đang xét không hội tụ trong $\mathcal E'$ .
    
    Bài này đánh giá đơn giản như sau. Lấy $\varphi\in S$ có
    
    $\lim\limits_{(x, y)\to\infty}(1+x^2+y^2)^2\varphi(x, y)=0.$
    
    Do đó có hằng số C để
    
    $|\varphi(x, y)|\le (1+x^2+y^2)^{-2}, \forall (x, y).$
    
    Khi đó
    
    $|\langle f_n, \varphi\rangle|=|\iint\limits_{n-1<x<n+1\atop 2n-1<y<2n+1}n\varphi(x, y)dxdy|\le$
    
    $\le \iint\limits_{n-1<x<n+1\atop 2n-1<y<2n+1}\dfrac{n}{(1+x^2+y^2)^2}dxdy$
    
    $\le \dfrac{C}{n^3}.$
    
    Từ đó dùng Weierstrass ta có chuỗi đang xét hội tụ trong $S'$ .
haducthai Tháng Mười Một 11, 2013 / 7:06 chiều

Vâng ạ cái đánh giá thì lúc thầy bảo sáng nay em cũng nghĩ ra luôn rồi ạ, nó cũng gần tương tự như mấy bài về kiểm tra sự hội tụ của chuỗi trong không gian S’ của quyển D.S>Joins chỉ khác ở số chiều không gian thôi. Em cũng hơi tiếc khi làm nhầm, nhưng bù lại thì em có thêm được một bài học. Thầy cho em hỏi là khi chúng ta học thì chúng ta suy rộng hàm số theo nghĩa biến thì liệu có thể tìm được một cái gì đó giống như “đồ thị suy rộng” không ạ. Hay là có một cách nào khác ngoài việc phải tính toán, ước lượng cụ thể mới biết được tính hội tụ của dãy hàm, chuỗi hàm gióng như là việc nhìn vào dáng điệu của dãy hàm và chuỗi hàm đó như ở hàm thông thường không ạ.Tại vì khi gặp phải câu hỏi kiểm tra sự hội tụ của chuỗi hàm suy rộng thì thường em không “cảm giác” trước được nó có hội tụ hay không nên khi làm thường gặp khó khăn và mất nhiều thời gian. Có một “kinh nghiệm” nào về cảm giác các chuỗi hàm suy rộng hội tụ trong các không gian D’ và S’ không ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 11, 2013 / 8:38 chiều
  
  “Đồ thị suy rộng” thì tôi chưa biết. Tuy nhiên trong bài em hỏi nếu vẽ đồ thị thông thường sẽ thấy độ tăng của chuỗi cỡ đa thức bậc nhất.
  
  Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 11, 2013 / 7:11 chiều

À mà theo em thì chuỗi hàm trong bài trên nó không hội tụ vì hợp các giá của các hàm không bị chặn chứ không phải lý do chính là chúng không lồng nhau ạ. Và thỉng thoảng em có gõ mấy công thức theo latex vào lên đây thì nó hay bị hiện lỗi không phải dạng thông thường gì gì đó và nó không hiện lên thì em gõ nhầm các công thức đấy ở phần nào ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 11, 2013 / 8:41 chiều
  
  Khi gõ công thức em thường thiếu dấu \ trước các chữ latinh và sum, mathbb, v.v. Những cái đó cần dấu \ để phần mềm LaTeX hiểu được. Ngoài ra em cần viết tách các chữ ra.
  
  Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 11, 2013 / 11:33 chiều

À còn một điều em thấy hơi khó hiểu trong buổi kiểm tra sáng nay mà em quên không hỏi là tại sao khi phát đề thầy phát từ dưới lên còn khi thu bài lại thu từ trên xuống ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 12, 2013 / 12:41 sáng
  
  Lúc đó bên dưới mỗi bàn hai người nên tôi nghĩ dễ phát đề hơn.
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 12, 2013 / 9:08 chiều

Bạn lớp trưởng lớp K55A1T giúp tôi gửi cho các nhóm file bài tập lần 2

https://datuan5pdes.files.wordpress.com/2013/11/bc3a0i-te1baadp-hc3a0m-suy-re1bb99ng-k55a1t_le1baa7n-2.doc

Thứ Hai, 18/11/2013 tôi sẽ gửi bản in cho lớp trưởng.

Bài tập lần này sẽ nộp vào tuần 13, khoảng đầu tháng 12/2013.

Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 16, 2013 / 11:37 chiều

Thầy cho em hỏi là hàm đơn vị trong phép lấy tích chập của các hàm suy rộng là hàm Dirac đúng không ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 17, 2013 / 11:57 sáng
  
  Đúng rồi.
  
  Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 17, 2013 / 1:09 chiều

Trong phần nói về tích chập thầy có bảo tích chập là 1 kỹ thuật hay dùng trong giải tích để biến 1 hàm không trơn thành hàm trơn, nhưng các hàm suy rộng đều có đạo hàm suy rộng mọi cấp rồi vậy ta cần quan tâm đến tích chập giữa các hàm suy rộng để làm gì ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 17, 2013 / 2:38 chiều
  
  Đây là câu hỏi hay và khó. Một trong các câu trả lời: giải phương trình đạo hàm riêng khi vế phải là hàm suy rộng. Người ta tìm nghiệm cơ bản của các phương trình rồi dùng tích chập để giải. M. Riesz từng nói với L. Schwartz rằng nghiệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đều là hàm khả tích địa phương. Thế thì cần gì phải nghiên cứu hàm suy rộng? Cũng như vậy: xây dựng tích chập giữa các hàm suy rộng làm gì? Sau khi về hưu, L. Hormander đã xây dựng phương trình có nghiệm cơ bản không khả tích địa phương. Em có thể xem bài tưởng nhớ Lars Hormander của Nicolas Lerner (trang 31)
  
  Click to access matapli100_Hormander.pdf
  
  Bài báo của L. Hormander về tính chất khả tích địa phương của nghiệm cơ bản
  
  Click to access on-local-integrability-of-fundamental-solutions.pdf
  
  Trả lời
thaithai Tháng Mười Một 24, 2013 / 9:52 sáng

Em thưa thầy cho em hỏi vấn đề ngoài lề một chút ạ. Lần trước thầy có bảo với em là trên viện toán có lớp hình học đại số của thầy Phùng Hồ Hải thì thầy có biết thời gian chính xác của lớp hay xemina đấy không ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 24, 2013 / 11:38 sáng
  
  Em lên Viện Toán hỏi trực tiếp thì tốt hơn. Cái tôi biết cách đây vài tháng.
  
  Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Một 25, 2013 / 11:31 sáng

Hôm nay 25/11/2013, tôi kết thúc phần trình bày nội dung lý thuyết môn “Lý thuyết Hàm suy rộng và không gian Sobolev” cho lớp K55A1T. Từ tuần sau tôi sẽ gọi các bạn sinh viên lên chữa bài tập để lấy điểm thường xuyên. Tuần sau sẽ chữa Bài tập lần 1.

Sau giờ học, bạn Thái có hỏi tôi một bài trong Bài tập Chương 2. Bài này chính là một Bổ đề trong cuốn “Methods of the Theory of Generalized functions” của V. S. Vladimirov (trang 44). Đường link

https://app.box.com/s/84znrjg2o9a1s1zjrbf1

Lúc bạn Thái hỏi tôi nghĩ theo hai hướng:

– dùng Weierstrass: xấp xỉ hàm liên tục trên một đoạn hữu hạn bởi đa thức,

– dùng khai triển Taylor.

Cách 1: vướng việc xấp xỉ của đạo hàm?

Cách 2: vướng sự hội tụ của chuỗi Taylor?

Trong sách của V. S. Vladimirov dùng cách 1. Tôi nghĩ họ sẽ xấp xỉ từ đạo hàm trước?

Trả lời
haducthai Tháng Mười Một 27, 2013 / 7:03 chiều

Thầy có biết xemina thứ 5 hàng tuần do thầy Mậu chủ trì là ở phòng nào trong nhà T1 không ạ.

Trả lời
- datuan5pdes Tháng Mười Một 27, 2013 / 7:56 chiều
  
  Những việc như này em nên tìm hiểu qua thầy Mậu chẳng hạn. Hỏi trực tiếp tốt hơn là nghe trả lời gián tiếp.
  
  Ngoài ra, em nên vào các trang web chẳng hạn
  
  http://viasm.edu.vn/hoat-dong-kh/hoat-dong-khoa-hoc/sinh-hoat-chuyen-de/
  
  hay
  
  http://viasm.edu.vn/hoat-dong-kh/hoat-dong-khoa-hoc/
  
  để tìm hiểu.
  
  Trả lời
Pingback: Định lý xấp xỉ Weierstrass | Lý thuyết Hàm Suy Rộng
datuan5pdes Tháng Mười Hai 2, 2013 / 6:30 chiều

Hôm nay 02/12/2013 tôi bắt đầu gọi các bạn lên chữa bài tập. Tôi mới bắt đầu chữa các bài nhóm đã làm. Tuần tới tôi sẽ yêu cầu chữa cả các bài nhóm chưa làm. Các bạn lưu ý xem những gì nhóm đã làm và chưa làm trong lần 1 để chuẩn bị. Sáng thứ 6, 06/12/2013 bạn lớp trưởng lớp K55A1T nhớ nộp các bài tập nhóm lần 2 cho tôi.

Trả lời
datuan5pdes Tháng Mười Hai 16, 2013 / 10:36 chiều

Hôm nay 16/12/2013 tôi đã kết thúc môn Hàm suy rộng. Thầy Trần Thế Dũng có ngỏ ý muốn giúp các bạn sinh viên lớp K55A1T. Nếu các bạn thấy cần thì liên hệ trực tiếp với thầy Dũng. Về điểm thường xuyên:

– bạn nào có mặt sáng nay tôi đều cộng vào điểm thường xuyên 5,0 điểm,

– bạn nào xung phong lên bảng mỗi lần được 5,0 điểm,

– bạn nào bị gọi lên bảng làm được bài mỗi lần được 3,0 điểm.

Sáng thứ Tư tới, ngày 18/12/2013 bạn lớp trưởng có thể liên lạc với tôi để lấy bảng điểm cho lớp.

Trả lời

Gửi phản hồi cho datuan5pdes Hủy trả lời

Trang web này sử dụng Akismet để lọc thư rác. Tìm hiểu cách xử lý bình luận của bạn.

	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	Ngọc Quỳnh trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…
	datuan5pdes trong Trao đổi môn PTĐHR nâng cao lớ…

Lý thuyết Hàm Suy Rộng

Distributions

Trao đổi bài giảng lớp K55A1T

94 bình luận về “Trao đổi bài giảng lớp K55A1T”

Gửi phản hồi cho datuan5pdes Hủy trả lời

Chia sẻ:

Có liên quan

94 bình luận về “Trao đổi bài giảng lớp K55A1T”

Gửi phản hồi cho datuan5pdes Hủy trả lời